高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第七節(jié) 空間角與距離的求解習(xí)題 理試題

第七節(jié)空間角與距離的求解[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題(每小題5分,共25分)1.正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中點(diǎn),CD等于,則頂點(diǎn)A1到平面CDC1的距離為 ()A. B.1C. D.1.B【解析】由題意可得該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,且AD⊥平面CDC1,AA1∥平面CDC1,所以頂點(diǎn)A1到平面CDC1的距離等于頂點(diǎn)A到平面CDC1的距離,即為AD=1.2.一條直線與平面α成60°角,則這條直線與平面內(nèi)的直線所成角的取值范圍是 ()A.[0°,90°] B.(0°,45°] C.[60°,180°] D.[60°,90°]2.D【解析】由線面角的定義可得答案.3.如圖所示,在四面體ABCD中,E,F分別是AC與BD的中點(diǎn),若CD=2AB=4,EF⊥BA,則EF與CD所成角為()A.90°B.45°C.60°D.30°3.D【解析】取AD的中點(diǎn)G,連接FG,EG,則EF⊥FG,∠FEG是EF和CD所成角.又FG=1,EG=2,所以∠FEG=30°,即EF和CD所成角為30°.4.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和45°,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為 ()A. B.C. D.4.A【解析】設(shè)BC=1,則由∠CB1C1=60°可得CC1=,B1C=2.由∠DC1D1=45°可得D1C1=,DC1=.連接AB1,則DC1∥AB1,所以異面直線B1C和C1D所成角即為∠AB1C.在△AB1C中,因?yàn)锳B1=,B1C=2,AC=2,由余弦定理可得cos∠AB1C=.5.二面角α-l-β的棱l上有一點(diǎn)P,射線PA在α內(nèi),且與棱l成45°角,與面β成30°角,則二面角α-l-β的大小為 ()A.30°或150° B.45°或135°C.60°或120° D.90°5.B【解析】過(guò)點(diǎn)A作AO⊥β,垂足是O,在平面α內(nèi)作AB⊥l,垂足是B.連接BO,則由二面角定義可得∠ABO即為二面角α-l-β的平面角或其補(bǔ)角.設(shè)AO=1,直角三角形APO中,∠APO=30°,則AP=2.在直角三角形APB中,∠APB=45°,則AB=,所以∠ABO=45°,故二面角α-l-β的大小為45°或135°.二、填空題(每小題5分,共15分)6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,點(diǎn)D在棱BB1上,若BD=1,則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為.

6.【解析】由題意可得點(diǎn)D到平面AA1C1C的距離為,且|AD|=,所以直線AD與平面AA1C1C所成角θ的正弦值sinθ=,則cosθ=,tanθ=.7.△BCD為正三角形,A為△BCD所在平面外一點(diǎn),且AB=AC=AD,若△ABC的面積與△BCD的面積之比為2∶3,則面ABC與面BCD所成的二面角的度數(shù)為.

7.60°【解析】設(shè)面ABC與面BCD所成角為θ,則由題意可得cosθ=,所以θ=60°.8.已知Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在平面α內(nèi),斜邊AB∥α,AB=2,AC,BC分別和平面α成45°和30°角,則AB到平面α的距離為.

8.2【解析】設(shè)AB到平面α的距離為h,則BC=2h,AC=h,則(2h)2+(h)2=24,解得h=2,即AB到平面α的距離為2.三、解答題(共25分)9.(12分)(2016·貴陽(yáng)六中期中考試)已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D,又知BA1⊥AC1.(1)求證:AC1⊥平面A1BC;(2)求二面角A-A1B-C的余弦值.9.【解析】(1)∵A1D⊥平面ABC,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC,∴BC⊥平面AA1C1C,得BC⊥AC1,又BA1⊥AC1,∴AC1⊥平面A1BC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以平行BC的直線為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由(1)知AC1⊥平面A1BC,則AC1⊥A1C,∴四邊形ACC1A1為菱形,∴A1D=.設(shè)n=(x0,y0,z0)為平面A1AB的法向量,=(2,2,0),=(0,-1,-),則令x0=3,則n=(3,-3,).設(shè)面A1BC的法向量為m=(x,y,z),=(0,-1,),=(2,0,0),∴令z=1,則m=(0,,1),故cos<m,n>==-,根據(jù)法向量的方向可知二面角A-A1B-C的余弦值為-.10.(13分)(2015·包頭測(cè)試)如圖,已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1A=AB=2,點(diǎn)E是棱AB上一點(diǎn),且=λ.(1)證明:D1E⊥A1D;(2)若二面角D1-EC-D的余弦值為,求CE與平面D1ED所成的角.10.【解析】(1)以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),A1(2,0,2),B1(2,4,2),C1(0,4,2),D1(0,0,2).因?yàn)?λ,所以E,于是=(-2,0,-2)所以·(-2,0,-2)=0,故D1E⊥A1D.(或用幾何法先證出A1D⊥平面D1AE,然后證出A1D⊥D1E)(2)因?yàn)镈1D⊥平面ABCD,所以平面DEC的一個(gè)法向量為n1=(0,0,2).又=(0,-4,2),設(shè)平面D1CE的法向量為n2=(x,y,z),則n2·=2x+y=0,n2·=-4y+2z=0,所以向量n2的一個(gè)解是.因?yàn)槎娼荄1-EC-D的余弦值為,則,解得λ=1.因?yàn)棣?1,所以E(2,2,0),故=(0,0,2),=(2,2,0),=(2,-2,0),因此=0,=0,故CE⊥平面D1ED.即CE與平面D1ED所成角為.[高考沖關(guān)]1.(5分)(2015·銀川一中四模)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長(zhǎng)為的正三角形.若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為 ()A. B. C. D.1.B【解析】設(shè)底面正三角形ABC的中心為Q,則由題意易知PQ⊥底面ABC,則PA與平面ABC所成角為∠PAQ.又該三棱柱的體積V=S△ABCh=h=,h=,則|PQ|=,又|AQ|=1,在直角三角形APQ中,tan∠PAQ=,∠PAQ=.2.(5分)(2015·浙江高考)如圖,已知△ABC,D是AB的中點(diǎn),沿直線CD將△ACD翻折成△A'CD,所成二面角A'-CD-B的平面角為α,則()A.∠A'DB≤αB.∠A'DB≥αC.∠A'CB≤αD.∠A'CB≥α2.B【解析】取極限思維:當(dāng)沿直線CD翻折180°,此時(shí)α=0°,排除選項(xiàng)A,C;當(dāng)沿直線CD翻折0°,此時(shí)α=180°,排除選項(xiàng)D.3.(5分)(2015·四川高考)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,則cosθ的最大值為.3.【解析】根據(jù)題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0,0),E(1,0,0),F(2,1,0),并設(shè)M(0,t,2)(0≤t≤2),則=(2,1,0),=(-1,t,2),則cosθ=.當(dāng)t=2時(shí),cosθ=0;當(dāng)t≠2時(shí),即0≤t<2,令m=2-t,則t=2-m,且,所以cosθ=,則當(dāng),即m=2時(shí),cosθ取得最大值.4.(12分)(2015·陜西高考)如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖2.(1)證明:CD⊥平面A1OC;(2)若平面A1BE⊥平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值.4.【解析】(1)在圖1中,因?yàn)锳B=BC=1,AD=2,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=,所以BE⊥AC.即在圖2中,BE⊥OA1,BE⊥OC,從而B(niǎo)E⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,又由(1)知,BE⊥OA1,BE⊥OC,所以∠A1OC為二面角A1-BE-C的平面角,所以∠A1OC=.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED,所以B,E,A10,0,,C,得,=(-,0,0).設(shè)平面A1BC的法向量n1=(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2=(x2,y2,z2),平面A1BC與平面A1CD夾角為θ,則取n1=(1,1,1);取n2=(0,1,1),從而cosθ=|cos<n1,n2>|=,即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為. 5.(13分)(2015·重慶一中月考)如圖,已知三棱錐A-OCB中,AO⊥底面BOC,且∠BAO=∠CAO=,AB=4,點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn),記二面角B-AO-C的大小為θ.(1)求三棱錐A-OCB體積V的最大值;(2)當(dāng)θ=時(shí),求二面角C-OD-B的余弦值.5.【解析】(1)由條件,∠BOC即為二面角B-AO-C的平面角,即為θ,V=×BO×OC×sinθ×AO=sinθ≤,所以當(dāng)θ=時(shí),V取得最大值.