高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計 第九節(jié) 幾何概型習(xí)題 理試題

第九節(jié)幾何概型[基礎(chǔ)達標(biāo)]一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2015·北京海淀區(qū)期末考試)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示.向圖中的矩形區(qū)域隨機投入100粒豆子,記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù).通過10次這樣的試驗,算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均數(shù)約為33,由此可估計f(x)dx的值約為 ()A. B.C. D.1.A【解析】豆子落入陰影部分的概率應(yīng)為,由題可知f(x)dx=S陰影=S矩形×.2.(2016·珠海摸底)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是 ()A. B.C. D.2.B【解析】因為矩形的面積為2,半徑為1的半圓的面積為,所求概率為.3.(2015·安慶三模)某高二學(xué)生練習(xí)籃球,每次投籃命中率約30%,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該生投籃命中的概率;先用計算器產(chǎn)生0到9之間的整數(shù)值的隨機數(shù),指定0,1,2表示命中,3,4,5,6,7,8,9表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表3次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下隨機數(shù):807956191925271932813458569683431257393027556488730113527989據(jù)此估計該生3次投籃恰有2次命中的概率約為()A.0.15 B.0.25 C.0.2 D.0.183.C【解析】隨機數(shù)共有20組,其中表示3次投籃恰有2次命中的有191,271,027,113,共4組,所以估計概率為=0.2.4.(2015·天津紅橋區(qū)模擬)在區(qū)間[-1,1]上隨機取一個數(shù)x,使cos的值介于0到之間的概率為 ()A. B. C. D.4.A【解析】當(dāng)0≤cosx≤時,-x≤-x≤,解得-1≤x≤-≤x≤1,所以所求概率為.5.(2015·山東實驗中學(xué)診斷)某人隨機地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的邊界),則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為 ()A. B. C. D.以上全錯5.B【解析】設(shè)正三角形的邊長為1,則其外接圓的半徑R=,則所求概率為.6.(2015·黃山二模)已知Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},A是由直線y=0,x=a(0<a≤1)和曲線y=x3圍成的曲邊三角形的平面區(qū)域,若向區(qū)域Ω上隨機投一點P,點P落在區(qū)域A內(nèi)的概率是,則a的值為 ()A. B. C. D.6.D【解析】根據(jù)題意,區(qū)域Ω即邊長為1的正方形,面積為1×1=1,區(qū)域A即曲邊三角形,面積為x3dx=x4a4,若向區(qū)域Ω上隨機投一點P,點P落在區(qū)域A內(nèi)的概率是,則有,解得a=.7.(2015·哈爾濱三中二模)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D,在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點,則此點到坐標(biāo)原點的距離小于2的概率是 ()A. B. C. D.7.D【解析】區(qū)域D的面積為3,其中滿足此點到坐標(biāo)原點的距離小于2的區(qū)域面積為半徑為2,圓心角是的扇形加上一個直角三角形的面積,即為×22×,所求概率為.8.(2015·貴陽適應(yīng)性監(jiān)測)已知函數(shù):f(x)=x2+bx+c,其中:0≤b≤4,0≤c≤4,記函數(shù)f(x)滿足條件:的事件為A,則事件A發(fā)生的概率為()A. B. C. D.8.A【解析】點(b,c)對應(yīng)的區(qū)域是邊長為4的正方形,面積為16,其中滿足對應(yīng)的區(qū)域如圖中陰影部分,其面積為16-×2×2-×2×4=10,故所求概率為.二、填空題(每小題5分,共20分)9.(2015·重慶一中月考)在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)隨機地取一點P,則點P恰好落在第二象限的概率為.

9.【解析】因為不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域是三角形,其面積為×3×,其中位于第二象限的面積為,所以點P恰好落在第二象限的概率為.10.(2015·大連二模)如圖,設(shè)拋物線y=-x2+1的頂點為A,與x軸正半軸的交點為B,設(shè)拋物線與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的區(qū)域為M,隨機往M內(nèi)投一點,則點P落在△AOB內(nèi)的概率是.

10.【解析】由題意得區(qū)域M的面積為(-x2+1)dx=,又△AOB的面積為,故所求概率為.11.把一根均勻木棒隨機地按任意點拆成兩段,則“其中一段長度大于另一段長度2倍”的概率為.

11.【解析】設(shè)木棒長度為1,折成兩段后,其中一段的長度為x,則另外一段的長度為1-x,則0<x<1,即D的測度是1,其中一段長度大于另一段長度2倍”,即為x>2(1-x)或1-x>2x,解得<x<1或0<x<,故d的測度為,所以所求概率為.12.假設(shè)某公共汽車站每隔15分鐘發(fā)一班車,并且發(fā)出前在車站?？?分鐘,則隨機到達的乘客等車時間不超過10分鐘的概率是.

12.【解析】因為公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達,所以事件總數(shù)包含的時間為15分鐘,又因為乘客到達車站的時刻是任意的,且出發(fā)前在車站?？?分鐘,所以滿足一個乘客候車時間大于10分鐘的事件包含的時間為15-13=2分鐘,故所求概率為.[高考沖關(guān)]1.(5分)(2015·武漢調(diào)研)如圖,矩形OABC的四個頂點坐標(biāo)依次為O(0,0),A,0,B,C(0,1),記線段OC,CB以及y=sinx0≤x≤的圖象圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)為Ω.若向矩形OABC內(nèi)任意投一點M,則點M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率為 ()A. B.1-C.1- D.-11.C【解析】陰影部分的面積為(1-sinx)dx=(x+cosx)-1,又矩形OABC的面積為,所以所求概率為=1-.2.(5分)(2016·邯鄲摸底)把半徑為2的圓分成相等的四弧,再將四弧圍成星形放在半徑為2的圓內(nèi),現(xiàn)在往該圓內(nèi)任投一點,此點落在星形內(nèi)的概率為 ()A.-1 B.C. D.2.A【解析】半徑為2的圓的面積為4π,且星形面積為4π-2[4π-(2)2]=16-4π,所以此點落在星形內(nèi)的概率為-1.3.(5分)(2015·福建高考)如圖,點A的坐標(biāo)為(1,0),點C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2,若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于.

3.【解析】由定積分的幾何意義可得矩形ABCD內(nèi)的空白部分的面積為S=x3,而矩形ABCD的面積為1×4=4,根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求的概率為P=.4.(5分)(2014·重慶高考)某校早上8:00開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30~7:50之間到校,且每人在