江西省新余市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題（含解析）

新余市2022—2023學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題卷（理科）命題人：新余一中廖宇慧新余九中郭銳審題人：劉勇剛說明：1.本卷共有三個(gè)大題，23個(gè)小題，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘2.本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.z的虛部為1 B.C.為純虛數(shù) D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)后再判斷即可.【詳解】，∴z的虛部為－1，，為純虛數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：C.2.已知集合，則集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A.7 B.8 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意求出集合，再求其真子集的個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C3.某校為了解學(xué)生每個(gè)月在圖書館借閱書籍?dāng)?shù)量，圖書管理員甲抽取了一個(gè)容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；圖書管理員乙也抽取了一個(gè)容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為7，方差為16.若將這兩個(gè)樣本合在一起組成一個(gè)容量為200的新樣本，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為6 B.平均數(shù)為6.5C.方差為12.5 D.方差為13【答案】A【解析】【分析】代入以下公式可得結(jié)果.（設(shè)樣本A樣本容量為m，樣本平均數(shù)，樣本方差；樣本B樣本容量為n，樣本平均數(shù)，樣本方差；樣本合成后樣本量，樣本平均數(shù)，樣本方差，則，【詳解】∵，，∴兩個(gè)樣本合在一起的新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，方差為13.5.故選：A.4.已知直線：與直線；相互平行，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.1 C. D.或1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行，斜率相等求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€：的斜率，斜率存在，且，所以直線；的斜率存在，且，化簡(jiǎn)得：，解得或.當(dāng)時(shí)，直線：，直線；，此時(shí).當(dāng)時(shí)，直線：，直線；，此時(shí)重合，舍去.所以.故選：A5.如圖，在直棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)題意知為異面直線與所成角，再判斷出為直角三角形，再求余弦值即可．【詳解】解：連接，如下圖由E為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)易知：四邊形為平行四邊形，，∴即為異面直線與所成角，，平面，又面，，設(shè)，則，．故選：D．6.已知，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解即可.【詳解】，故選：B7.一條光線從點(diǎn)（－2，－3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】求出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱點(diǎn)作圓的切線，即為反射光線所在直線，求出切線斜率即得．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，易知反射光線所在直線的斜率存在，設(shè)為k，則反射光線所在直線的方程為，即，由反射光線與圓相切，可得，整理得，解得或．故選：D．8.已知函數(shù)在上恰好取到一次最大值與一次最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式即得解.【詳解】因?yàn)?，恰好取到一次最大值與一次最小值，可得，解得.故選：A.9.在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面共線向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的定義、平面向量的加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，，因?yàn)樗杂?，因此，因?yàn)?，，，所以，故選：B10.已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)a,b滿足，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)是嚴(yán)格遞減的函數(shù)，且有對(duì)稱中心，找出之間的關(guān)系可求.【詳解】，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又在上嚴(yán)格遞減；即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.故選：B.11.如圖，過雙曲線：右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線分別交兩漸近線于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.若存在點(diǎn)，使，且，則雙曲線的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】聯(lián)立切線方程與漸近線方程，求出，的坐標(biāo)，即可得，由的取值范圍即可得，從而可判斷C，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可判斷是，的中點(diǎn)，由此可判斷AB，余弦定理結(jié)合可判斷D.【詳解】先求雙曲線上一點(diǎn)，的切線方程：不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對(duì)稱性同理可得）．由，得，所以，則在，的切線斜率，所以在點(diǎn)，處的切線方程為：，又有，化簡(jiǎn)即可得切線方程為：．不失一般性，設(shè)，是雙曲線在第一象限的一點(diǎn)，，是切線與漸近線在第一象限的交點(diǎn)，，是切線與漸近線在第四象限的交點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程是，聯(lián)立：，解得：，聯(lián)立：，解得：，則，又因?yàn)?，所以，即，C錯(cuò)誤；由，可知，是，的中點(diǎn)，所以，B正確；易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，當(dāng)點(diǎn)，在頂點(diǎn)時(shí)，仍然滿足，A正確；因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，則，解得，即，代入，得，所以，，所以，所以，，所以離心率，D正確．故選：ABD．12.已知（其中為自然常數(shù)），則??的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，得，，，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性可得答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，易得，，，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在遞減，遞增，易知，所以，，因?yàn)?，所以，所以，故選：D.二、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.請(qǐng)將正確答案填在答題卷相應(yīng)位置.）13.的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為________.【答案】【解析】【分析】在二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和始終為，其中為次數(shù).【詳解】在展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解集，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根，根據(jù)韋達(dá)定理得到，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】由題意得：的解集為，則的兩根為，故，解得：，設(shè)，則，其中在定義域?yàn)樯蠁握{(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，故只需求解在上的遞減區(qū)間，即為的遞增區(qū)間，由于對(duì)稱軸為，開口向下，所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，從而函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.15.已知三棱錐的外接球的半徑為，，，，則三棱錐的體積為______.【答案】【解析】【分析】由及外接球的半徑為，得到為外接球的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得，根據(jù)勾股定理，求得各邊的長(zhǎng)度，判斷為直角三角形，再由面，得到為棱錐的高，根據(jù)棱錐的體積公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)槿忮F外接球的半徑為，，所以為外接球的直徑，又因?yàn)槎荚谇蛏?，所?，所以在中，，，,在中,,在中,,在中，,.，平面，面，故答案為：.16.設(shè)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，若不是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意得的根為，從而表示出，再令新函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，判斷單調(diào)性與最大值.【詳解】由題知，，因不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以的根為，所以，即，則，令，，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟）17.已知數(shù)列滿足，（1）求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求和：【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求，再利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，最后利用分組轉(zhuǎn)化和等比數(shù)列求和公式求和.【小問1詳解】，且，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可知，所以，，得，，.18.某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻甍”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，分別是正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”(如圖2)．（1）若是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：∥平面（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形可證四邊形是平行四邊形，可得，可得∥平面；（2）根據(jù)題意結(jié)合二面角的定義可得，利用空間向量求線面夾角．【小問1詳解】取線段中點(diǎn)，連接，由圖1可知，四邊形是矩形，且是線段與的中點(diǎn)，且在圖1中且，且．所以在圖2中，且且四邊形是平行四邊形，則由于平面平面平面【小問2詳解】由圖1，折起后在圖2中仍有即為二面角的平面角．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，且設(shè)則，設(shè)平面一個(gè)法向量由，得，取則于是平面的一個(gè)法向量∴直線與平面所成角的正弦值為19.某學(xué)校為了迎接黨的二十大召開，增進(jìn)全體教職工對(duì)黨史知識(shí)的了解，組織開展黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個(gè)紙箱中，甲箱有5個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，乙箱中有4個(gè)選擇題和3個(gè)填空題，比賽中要求每個(gè)支部在甲或乙兩個(gè)紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答.每個(gè)支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結(jié)束后，再將這兩個(gè)題目放回原紙箱中.（1）如果第一支部從乙箱中抽取了2個(gè)題目，求第2題抽到的是填空題的概率；（2）若第二支部從甲箱中抽取了2個(gè)題目，答題結(jié)束后錯(cuò)將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時(shí)，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個(gè)題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個(gè)選擇題的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，分別求出概率，根據(jù)全概率公式即可（2）設(shè)事件為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，求出相關(guān)的概率，再根據(jù)條件概率求解即可.【小問1詳解】設(shè)表示“第次從乙箱中取到填空題”，，2，，，由全概率公式得：第2次抽到填空題的概率為：；【小問2詳解】設(shè)事件為“第三支部從乙箱中抽1個(gè)選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是選擇題”，事件為“第二支部從甲箱中取出1個(gè)選擇題1個(gè)填空題”，事件為“第二支部從甲箱中取出2個(gè)題都是填空題”，則??彼此互斥，且，，，，，，，所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：.20.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點(diǎn)作斜率的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)，使，記四邊形的面積為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件由方程組可解出得到橢圓方程.（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，把表示為關(guān)于k的函數(shù)，利用基本不等式求解最大值.小問1詳解】，∴，，，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】，∴，橢圓，令，直線l的方程為：，聯(lián)立方程組：，消去y得，由韋達(dá)定理得，，有，因?yàn)椋?，所以，，將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：，而此時(shí)：.，而，O點(diǎn)到直線l的距離，所以：，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，所以，得，又，所以，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．21.已知，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若曲線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求．【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分析的符號(hào)變化，即可得出函數(shù)的減區(qū)間和增區(qū)間；

（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，可知函數(shù)有唯一的極小值，根據(jù)可求得正實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且．所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問2詳解】解：依題意，，的定義域?yàn)椋?令，，所以，在上單調(diào)遞增，，，故存在，使得.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取極小值，則也是函數(shù)唯一的極值點(diǎn)，由得，即，①等式①的兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，則有，則．②由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)函數(shù)取最小值，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，函數(shù)與有且只有一個(gè)交點(diǎn)．由，可得，即，令，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，因此，.所以曲線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的