安徽師范大學(xué)附中2022年高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知直線y=A(x-1)與拋物線C：V=4x交于A,8兩點(diǎn)，直線y=2A(x-2)與拋物線。：步二沒(méi)交于“，N

兩點(diǎn)，設(shè)2=|AB|-2|MN|,貝！J()

A.2<-16B.2=-16C.-12<2<0D.2=-12

2.若復(fù)數(shù)z滿足(l-i)z=T+2i,則|?=()

AaB2c曬n1

2222

3.若函數(shù)/(%)=sin2x的圖象向右平移J個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

O

則”的最大值為().

4.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是().

萬(wàn)元

A.收入最高值與收入最低值的比是3:1

B.結(jié)余最高的月份是7月份

C.1與2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個(gè)月的平均收入為4()萬(wàn)元

5.已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)其前〃項(xiàng)和S“，若4%4"(〃eN*)，則$5=()

A.30B.31、歷C.1572D.62

6.已知,”，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，給出四個(gè)命題：

①若&n/=根，?<=?,n±m(xù),則a_L￡；②若〃z_La,m±/?,則a〃/7；

③若加//〃，機(jī)ua,all(3,則〃〃夕；④若m_La,nX.(3,mLn,則a-L力

其中正確的是（）

A.①②B.③④C.①④D.②④

7,已知數(shù)列｛《,｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，｛耙｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)。,,=旬，

<=J+C2+…+c”(〃eN"),則當(dāng)(,<2020時(shí)，〃的最大值是()

A.8B.9C.10D.11

8.若不等式2xlnx…-》2+必對(duì)xe[l,+oo)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,0)B.(-oo,llC.(0,+oo)D.

9.復(fù)數(shù)z=a-l'+4的虛部為()

z+1

A.—1B.—3C.1D.2

10.已知函數(shù)〃x）=2sin（a）x+o）-l（。>0,0</<萬(wàn)）的一個(gè)零點(diǎn)是g,函數(shù)y=/（x）圖象的一條對(duì)稱軸是

直線x=-則當(dāng)“取得最小值時(shí)，函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

6

A.3k加一七,3k九一c.uTlC,7T

(ZEZ)B.3ATT——^3k7r——(ZEZ)

3636

_.Z7C—_7C—>兀-14

C.2k兀------,2k九----(攵cZ)D.2k兀一一,2k兀一一（AreZ）

3636j

11.做拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，當(dāng)出現(xiàn)1點(diǎn)或2點(diǎn)時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗(yàn)

中成功次數(shù)X的期望為（）

A.D.2

12.已知根，〃表示兩條不同的直線，a，尸表示兩個(gè)不同的平面，且〃?」見(jiàn)〃<=四則是“〃〃/〃”的（）

條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.Q—*）的展開(kāi)式中x的系數(shù)為.

14.在AABC中，角A，B,C所對(duì)的邊分別邊a1,c,且q+&b=2c，設(shè)角。的角平分線交A3于點(diǎn)。，則cosC

一日BD

的值最小時(shí)，——=___.

AD

15.AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a/,c,且A,3,C成等差數(shù)列，若。=&,c=\,則AABC的面積為

16.在工］的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為_(kāi)_____.（用數(shù)值作答）

（X）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）萬(wàn)眾矚目的第14屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)運(yùn)會(huì)（簡(jiǎn)稱“十四冬”）于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開(kāi)幕，期

間正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會(huì)對(duì)全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時(shí)間作了一

次調(diào)查，得到如圖頻數(shù)分布直方圖：

男女合計(jì)

冰雷迷20

非冰雪迷20

合計(jì)

（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“冰雪迷”，否則定義為“非冰雪迷”，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直

方圖補(bǔ)全2x2列聯(lián)表；并判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關(guān)；

（2）在全?！氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，再?gòu)倪@6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)講座.記其中女職

工的人數(shù)為自，求的4分布列與數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：

2

P（K>k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

火。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc}

K2=n=a+b+c+d

(Q+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

18.（12分）記S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，25“一見(jiàn)=擊（〃€V）.

⑴求%+。向；

（2）令b,=a,+2-4,證明數(shù)列也｝是等比數(shù)列，并求其前〃項(xiàng)和小

19.（12分）已知函數(shù)〃x）=T—l（aeR,a#O）.

ae

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)〃x）在（0,.“0））處的切線方程；

（2）若函數(shù)/（x）沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

20.（12分）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)每滿400元的商品即可抽獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：抽獎(jiǎng)?wù)邤S各面標(biāo)有

1-6點(diǎn)數(shù)的正方體骰子1次，若擲得點(diǎn)數(shù)大于4,則可繼續(xù)在抽獎(jiǎng)箱中抽獎(jiǎng)；否則獲得三等獎(jiǎng)，結(jié)束抽獎(jiǎng)，已知抽獎(jiǎng)

箱中裝有2個(gè)紅球與加（加22,加eN*）個(gè)白球，抽獎(jiǎng)?wù)邚南渲腥我饷?個(gè)球，若2個(gè)球均為紅球，則獲得一等獎(jiǎng)，

若2個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球和1個(gè)白球，則獲得二等獎(jiǎng)，否則，獲得三等獎(jiǎng)（抽獎(jiǎng)箱中的所有小球，除顏色外均相同）.

（1）若m=4,求顧客參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得三等獎(jiǎng)的概率；

（2）若一等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金400元，二等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金300元，三等獎(jiǎng)可獲獎(jiǎng)金100元，記顧客一次抽獎(jiǎng)所獲得的獎(jiǎng)金為X,

若商場(chǎng)希望X的數(shù)學(xué)期望不超過(guò)150元，求團(tuán)的最小值.

21.（12分）如圖，在四面體D48C中，ABA.BC,DA=DC=DB.

（1）求證:平面ABC_L平面4CD；

（2）若NC4T>=30。，二面角C—A8-。為60°，求異面直線AD與所成角的余弦值.

22.（10分）在世界讀書(shū)日期間，某地區(qū)調(diào)查組對(duì)居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個(gè)容量為200的樣本，其中城

鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.

（1）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)

經(jīng)常閱讀10030

不經(jīng)常閱讀

合計(jì)200

(2)從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中，隨機(jī)抽取5位居民參加一次閱讀交流活動(dòng)，記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為X,若用

樣本的頻率作為概率，求隨機(jī)變量X的期望.

??叱2n(ad-bcY一一

附：K~=-------------------------------,其中〃=a+/?+c+d.

(a+o)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理，可得卜卻=4+\,|48|=4+《，然后計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

y=Kx-l)

聯(lián)立《=>k2x2-(2k1+4卜+/=o

y2=4x

2r+42+3

則％+x

2k2

因?yàn)橹本€y=%(x—1)經(jīng)過(guò)c的焦點(diǎn),

所以+工2+〃=4+*.

2

同理可得|MN|=8+F，

所以;1=4—16=—12

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題。

2.C

【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

【詳解】

,--1+2/(-1+2/)(1+/)31

解：由(l_"z=_l+2i,得2=------=\J=__+-i,

v71-z(_l-_z)、(l+z)22

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

3.C

【解析】

由題意利用函數(shù)卜二河4以M:+⑼的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出。的最大值.

【詳解】

解：把函數(shù)/(X)=sin2x的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)=sin(2x--)的圖象,

63

若函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,上單調(diào)遞增，

在區(qū)間［0,上，2x——el—V>2a——］,

TTTT57r

則當(dāng)a最大時(shí)，2aH,求得”微

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin(ox+e)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

由圖可知，收入最高值為90萬(wàn)元，收入最低值為3()萬(wàn)元，其比是3:1,故A項(xiàng)正確；

結(jié)余最高為7月份，為80-20=60,故B項(xiàng)正確；

1至2月份的收入的變化率為4至5月份的收入的變化率相同，故C項(xiàng)正確；

前6個(gè)月的平均收入為J(40+60+30+30+50+60)=45萬(wàn)元，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

綜上，故選D.

5.B

【解析】

根據(jù)=4",分別令〃=1,2,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公

式，最后利用等比數(shù)列前“項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為4,由題意可知中：q>0國(guó)>0.由a“4+1=4",分別令〃=1,2,可得4%=4、a2a3=16,

a.-a,-q=4[a,=正

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：2=｛，

a,-q-atq-=16[q=2

因此s5=0：；"=31&.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

6.D

【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)空間面面平行的判定定理可判斷②；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷③；根

據(jù)面面垂直的判定定理可判斷④.

【詳解】

對(duì)于①，若m，〃ua,nvm,a,￡兩平面相交，但不一定垂直，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，若m_La,mY/3,則a〃力，故②正確；

對(duì)于③，若mlln,mua,all/3,當(dāng)〃u￡,則〃與￡不平行，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若加m.Ln,則a-L4，故④正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

+

根據(jù)題意計(jì)算a=2"\Tn=r'-n-2,解不等式得到答案.

【詳解】

???｛4｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，4=2〃-1.

???也｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.?心=2口

a

:.T〃=(?!+c2HFcn=雁+bn=4+%+%+—+

=(2xl-l)+(2x2-l)+(2x4-l)+---+(2x2,,-'-l)=2(1+2+4+---+2n-1)-?=2x^y=2n+l-n-2.

V7；,<2020,：.2"+'-n-2<2020,解得〃W9.則當(dāng)2020時(shí)，〃的最大值是9.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.

8.B

【解析】

轉(zhuǎn)化2xlnx…+ax,xe[l,+8)為④21nx+x,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=21nx+x,xe[l,+8),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求

函數(shù)最值，即得解.

【詳解】

由2xlnx…-f[l,+oo),可知a,,21nx+x.

,2

設(shè)/?(x)=21nx+x,xe[l,+oo),則"(x)=—+l〉0,

x

所以函數(shù)〃(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃(X)min=/7⑴=1.

所以凡，0(X)min=1.

故”的取值范圍是(F』].

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

9.B

【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)二進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，得到答案.

【詳解】

z+1l+i2

所以z的虛部為-3

故選B項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡(jiǎn)單題.

10.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/（X）的一個(gè)零點(diǎn)是x=g,得出=再根據(jù)X=-J是對(duì)稱軸，得出一50一0=1+%心

keZ9

313yz662

求出W的最小值與對(duì)應(yīng)的9,寫(xiě)出了（X）即可求出其單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】

依題意得，/[g]=2sin雪+夕-1=0,即sin-+（p=：,

解得---卜（p=2k\兀?—或----卜（p=2k?兀-----（其中占，幺EZ）.①

3636

又sin----+9=±1,

I6）

7TG）.71^1..7r＞、/"'X

即-----\-（p=kyTTH（z其中左3CZ）.②

62

由①一②得等=（24_/）萬(wàn)一年或等=（2七一占）萬(wàn)+

222

即啰=2（24—]或0=2（2右一匕）+§（其中占，%,&eZ）,因此。的最小值為

因?yàn)閟in[--—+^J=sin^--4-^9=±1,所以一^+^:^+左萬(wàn)（ZeZ）.

TTTT27T712兀

又0＜。＜萬(wàn)，所以。=萬(wàn)+§,所以〃x)=2sin-JC+—+—|-l=2cos—x+--1

32939J

27T57r7T

令2k兀一?！辍猉A—<Ikn(&eZ),則3A7T-2—<x<hkn----(攵eZ).

3936

54兀

因此，當(dāng)0取得最小值時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是3^--,3^--(ZeZ).

36

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn)，在對(duì)稱軸處取得最值，對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.

11.C

【解析】

每一次成功的概率為二=二=g二服從二項(xiàng)分布，計(jì)算得到答案.

53

【詳解】

每一次成功的概率為二=：=%二服從二項(xiàng)分布，故二(二)=(x3=j.

故選：Z.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

12.B

【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進(jìn)行判斷.

【詳解】

對(duì)于充分性：若a_L￡,則加，〃可以平行，相交，異面，故充分性不成立；

若相〃〃，則/_Lc,〃u4,可得。，必要性成立.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及充要條件的判斷，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.解決充要條

件判斷問(wèn)題，關(guān)鍵是要弄清楚誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.80.

【解析】

只需找到(2-/)5展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)即可.

【詳解】

(2-/)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為卻|=《25”(一/丫=(一1)'&25-"2"令丫=2,

則工=(-1)2C^23X4=80/,故(2—')的展開(kāi)式中X的系數(shù)為80.

x3

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到展開(kāi)式中的特殊項(xiàng)系數(shù)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.

14.亞

【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理和基本不等式得出cosCN逅二走，再利用正弦定理，即可得出股.

4AD

【詳解】

因?yàn)閍+y/2b=2c，則c=a+，

2

由余弦定理得：

/+從_,2片+/一：伍+后)23/+2b?_2近ab

cosC=----------=------------------=----------------

2ab2abSab

、2指ab-2y/2ab#-0

>-----------------=----------，

Sab4

當(dāng)且僅當(dāng)Ga=缶時(shí)取等號(hào)，

「E上BDaADb

又因?yàn)槎?--------=-----------，—----------=-----------，

sinZBCDsinZCDBsinZACDsinZ.CDA

故答案為：叵

3

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.

15-T

【解析】

7T

由A,B,C成等差數(shù)列得出3=60。，利用正弦定理得C進(jìn)而得A=一代入三角形的面積公式即可得出.

2

【詳解】

VA,B,C成等差數(shù)歹U,...4+0=28,

又4+B+C=180°,，35=180°,5=60°.

j,,Cb?-17--71,,.71

故由正弦定理-----=-----smC=--/c</?/.C=—,故4=一

sinCsinB262

所以SAABC=—bc=9

22

故答案為：B

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.-40

【解析】

由題意，可先由公式得出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)7；+1=G25T(―再令10.3x1,得片3即可得出X項(xiàng)的系數(shù)

【詳解】

的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為心=6(2尤2rz'{-J[=Q25-r(-l)，x'°-3S

r=0,1,2,3,4,5,

令10—3r=l,〃=3,

所以(2犬-L]的二項(xiàng)展開(kāi)式中X項(xiàng)的系數(shù)為以22.(—1)3=-40.

Ix)

故答案為：-40.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)的公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有把握；(2)分布列見(jiàn)解析，y

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，求出公，2.778>2.706,從而有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“冰雪

迷，，與，，性別，，有關(guān).

4020

(2)在全?！氨┟浴敝邪葱詣e分層抽樣抽取6名，則抽中男教工：6x/=4人，抽中女教工：6x1=2人，從這

6060

6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運(yùn)動(dòng)知識(shí)講座.記其中女職工的人數(shù)為則J的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)

的概率，由此能求出J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：(1)由題意得下表:

男女合計(jì)

冰雪迷402060

非冰雪迷202040

合計(jì)6040100

廿的觀測(cè)值為翳蕊鬻=*2.7。6

所以有90%的把握認(rèn)為該校教職工是“冰雪迷”與“性別”有關(guān).

(2)由題意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男職工，2名女職工,

所以的可能取值為0,1,2.

且%=0）咯=方|,上=1）=詈q,產(chǎn)仁=2）=旨=',

y1,°y2c6iD

所以的分布列為

012

P281

15?5

￡（^）=0x-+lx—+2x—=—=-

''51515153

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、排列組合、頻率分布

直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18.(1)%+。川=一￡；(2)證明見(jiàn)詳解，一擊

【解析】

(D根據(jù)25,一4=擊，可得25,用-4+1=5，然后作差，可得結(jié)果.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，用〃+1取代〃，得到新的式子，然后作差，可得結(jié)果，最后根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,

可得結(jié)果.

【詳解】

(1)由2s,-4=亍1①，則2s“+]-/+]=手?②

②一①可得：2an+i-arl+l+an=^-^=-^

所以%+%+i=-￡

⑵由⑴可知：③

則。,出+4+2=一擊@

④-③可得：%+2—a,,=_擊_(_/)=擊

則％=擊，且％+1=*

1

1h?！?21

令〃=1,則偽=;,于此二卷一=:

4b?J_2

2"+i

所以數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為:，公比為;的等比數(shù)列

所以小1小“女2-

1--

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查遞推公式以及S,,a.之間的關(guān)系的應(yīng)用,考驗(yàn)觀察能力以及分析能力，屬中檔題.

19.(1)2x—y—2=0.(2)a>—

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;

X-1

（2）利用導(dǎo)數(shù)得出g（x）=的單調(diào)性以及極值，從而得出g（x）的圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交

h

點(diǎn)問(wèn)題，由圖，即可得出實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【詳解】

⑴當(dāng)Z時(shí)，小）=?-1,13=手

...切線斜率左=/'（0）=2,又切點(diǎn)（0,-2）

???切線方程為y+2=2（x—0）,即2x-y-2=0.

(2)/(x)=0=-~-=10—~-=a,記g(尤令g'x)=—^=0得x=2

''aexex

g'x)>0nx<2；g'(x)<0=>x>2

???g(x)的情況如下表：

XS，2）2(2,+?)

g'(x)+0一

g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

當(dāng)x=2時(shí)，g（x）取極大值g⑵

又X--8時(shí)，g(x)—>F;xf+30時(shí)，g(x)f0

若了（X）沒(méi)有零點(diǎn)，即y=g（x）的圖像與直線y=a無(wú)公共點(diǎn)，由圖像知"的取值范圍是a>/.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題.

20.⑴；⑵9.

【解析】

(1)設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件A,因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于4的概率為g,顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于4,然后抽將得三等獎(jiǎng)的

概率為白，求出P(A)；

(2)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為100,300,400,相應(yīng)求出概率，求出期望，化簡(jiǎn)得

22

100200m+2200m+1600?，八~100200m+2200m+1600

E（X）-3W+2"+I）’由題意可知,￡（X）?15。，即亍+3（〃,+加〃+1）/。，求

出m的最小值.

【詳解】

(1)設(shè)顧客獲得三等獎(jiǎng)為事件A,

因?yàn)轭櫩蛿S得點(diǎn)數(shù)大于4的概率為!，

3

0x~?2ry&A

顧客擲得點(diǎn)數(shù)小于4，然后抽將得三等獎(jiǎng)的概率為—,

3Cl31515

143

所以f>（A）=-+—

5

(2)由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為100,300,400,

12C21

且尸（X=100）=a+aX產(chǎn)1-------

3J"+233（〃z+2）（根+1），

2C'C18m

P（X=300）=—,

'）3C33（m+2）（m+l）x

2C24

P（X=400）=-x-l-=

J"+23（m+2）（機(jī)+1）'

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,

14

E（X）=100x+300x----------------+400x

33（根+2）（m+l）.3（根+2）（m+1）3（zn+2）（/w+l）>

./“、100200〃/+2200/77+1600

化簡(jiǎn)得“（X）F+3（〃?+2）（,田）

*二l/s…1002（W+2200〃?+1600…,、

由L題意可知，E（X）W150,即亍+3（加+2）（〃?+1）0

化簡(jiǎn)得3，〃2一23加一1820，因?yàn)閙eN*，解得加29,

即加的最小值為9.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查概率和期望的求法，屬于?？碱}.

21.(1)證明見(jiàn)解析

⑵@

6

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)/，連接得。ELACBC,可得E4=EB=FC,

可證AOEA名,可得DF上FB,進(jìn)而。尸，平面ABC,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)瓦G,”分別為邊A&CD,B。的中點(diǎn)，連DE,EF,GF,FH,HG,可得GF//AZ),GH//BC,EF//BC,

可得NFGH(或補(bǔ)角)是異面直線AD與BC所成的角，BC1AB,可得NDEF為二面角C-AB—D

的平面角，即NOE/=6(r，設(shè)AT>=a,求解AFG”，即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)證明:取AC中點(diǎn)￡連接ED,EB,

由。A=OC,則。EJ_AC,

?/AB1BC,則必=用=/。，

7T

故ADFA^GFB,NDFB=NDFA=-,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.?.D/7,平面ABC,又DEu平面AC￡),

故平面ABC_L平面AC。

(2)解法一:設(shè)G,H分別為邊CD,8。的中點(diǎn)，

%FG11AD,GHi/BC,

NFGH(或補(bǔ)角)是異面直線AO與BC所成的角.

設(shè)E為邊A8的中點(diǎn)，則上尸//6C,

由A8J.BC,知

又由(1)有江，平面ABC,.?.￡>/，A8,

EEn=居AB_L平面DEF,DE±AB.,

所以ZD防為二面角C—AB-