2023年吉林省長春市德惠市第三中學數(shù)學九年級第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2023年吉林省長春市德惠市第三中學數(shù)學九年級第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=﹣1，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc＞1；②b2﹣4ac＞1；③9a﹣3b+c=1；④若點（﹣1.5，y1），（﹣2，y2）均在拋物線上，則y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜1．其中正確的個數(shù)有（）A．2 B．3 C．4 D．52．下列汽車標志中，可以看作是中心對稱圖形的是A． B． C． D．3．若，相似比為2，且的面積為12，則的面積為（）A．3 B．6 C．24 D．484．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，-3），則k值是（）A．6 B．-6 C． D．5．將二次函數(shù)y＝x2的圖象沿y軸向上平移2個單位長度，再沿x軸向左平移3個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+36．正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，若⊙O的半徑是，則正方形的邊長是（）A．1 B．2 C． D．27．如圖，拋物線與直線交于，兩點，與直線交于點，將拋物線沿著射線方向平移個單位．在整個平移過程中，點經(jīng)過的路程為（）A． B． C． D．8．下列圖形中一定是相似形的是()A．兩個菱形 B．兩個等邊三角形 C．兩個矩形 D．兩個直角三角形9．為了估計水塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者先從魚塘中捕獲30條魚，在每一條魚身上做好標記后把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚。通過多次實驗后發(fā)現(xiàn)捕撈的魚中有作記號的頻率穩(wěn)定在2.5%左右，則魚塘中魚的條數(shù)估計為（）A．600條 B．1200條 C．2200條 D．3000條10．若反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(2，－1)，則該反比例函數(shù)的圖象在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在中，，為邊上一點，已知，，，則____________．12．在△ABC中，tanB＝，BC邊上的高AD＝6，AC＝3，則BC長為_____．13．如圖，邊長為2的正方形，以為直徑作，與相切于點，與交于點，則的面積為__________．14．如圖，是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象寫出時，x的取值范圍__________．15．兩塊大小相同，含有30°角的三角板如圖水平放置，將△CDE繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當點E的對應點E′恰好落在AB上時，△CDE旋轉(zhuǎn)的角度是______度．16．點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），則=________．17．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且點B(3，1)，B′(6，2)，若點A′(5，6)，則A的坐標為______.18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（3，3）和點B（7，0），則tan∠ABO＝_____．三、解答題(共66分)19．（10分）國家規(guī)定，中、小學生每天在校體育活動時間不低于1h．為此，某區(qū)就“你每天在校體育活動時間是多少”的問題隨機調(diào)查了轄區(qū)內(nèi)300名初中學生．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成的統(tǒng)計圖如圖所示，其中A組為t＜0.5h，B組為0.5h≤t＜1h，C組為1h≤t＜1.5h，D組為t≥1.5h．請根據(jù)上述信息解答下列問題：（1）本次調(diào)查數(shù)據(jù)的眾數(shù)落在組內(nèi)，中位數(shù)落在組內(nèi)；（2）該轄區(qū)約有18000名初中學生，請你估計其中達到國家規(guī)定體育活動時間的人數(shù)．20．（6分）（問題情境）（1）古希臘著名數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．射影定理是數(shù)學圖形計算的重要定理．其符號語言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則：（1）AC2=AB·AD；(2)BC2=AB·BD；(3)CD2=AD·BD；請你證明定理中的結(jié)論（1）AC2=AB·AD．（結(jié)論運用）（2）如圖2，正方形ABCD的邊長為3，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，①求證：△BOF∽△BED；②若，求OF的長．21．（6分）如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，點E是AB的中點，連接CE交⊙O于點F，連接AF并延長交BC于點H．（1）若連接AO，試判斷四邊形AECO的形狀，并說明理由；（2）求證：AH是⊙O的切線；（3）若AB＝6，CH＝2，則AH的長為．22．（8分）已知：拋物線y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）與x軸交于點AB（點A在點B的左側(cè)）．（1）不論a取何值，拋物線總經(jīng)過第三象限內(nèi)的一個定點C，請直接寫出點C的坐標；（2）如圖，當AC⊥BC時，求a的值和AB的長；（3）在（2）的條件下，若點P為拋物線在第四象限內(nèi)的一個動點，點P的橫坐標為h，過點P作PH⊥x軸于點H，交BC于點D，作PE∥AC交BC于點E，設△ADE的面積為S，請求出S與h的函數(shù)關(guān)系式，并求出S取得最大值時點P的坐標．23．（8分）求值：+2sin30°－tan60°-tan45°24．（8分）如圖，已知的三個頂點坐標為，，.（1）將繞坐標原點旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的，并寫出點的對應點的坐標；（2）將繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)，直接寫出點的對應點Q的坐標；（3）請直接寫出：以、、為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標.25．（10分）如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED＝∠C．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）求證：DE平分∠BEP；（3）若⊙O的半徑為10，CF＝2EF，求BE的長．26．（10分）如圖是由兩個長方體組成的幾何體，這兩個長方體的底面都是正方形，畫出圖中幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】詳解：∵拋物線對稱軸x=-1，經(jīng)過（1，1），∴-=-1，a+b+c=1，∴b=2a，c=-3a，∵a＞1，∴b＞1，c＜1，∴abc＜1，故①錯誤，∵拋物線對稱軸x=-1，經(jīng)過（1，1），可知拋物線與x軸還有另外一個交點（-3，1）∴拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac＞1，故②正確，∵拋物線與x軸交于（-3，1），∴9a-3b+c=1，故③正確，∵點（-1.5，y1），（-2，y2）均在拋物線上，（-1.5，y1）關(guān)于對稱軸的對稱點為（-1.5，y1）（-1.5，y1），（-2，y2）均在拋物線上，且在對稱軸左側(cè)，-1.5＞-2，則y1＜y2；故④錯誤，∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜1，故⑤正確，故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上上的點的特征，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．2、A【詳解】考點：中心對稱圖形．分析：根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)得出圖形旋轉(zhuǎn)180°，與原圖形能夠完全重合的圖形是中心對稱圖形，分別判斷得出即可．解：A．旋轉(zhuǎn)180°，與原圖形能夠完全重合是中心對稱圖形；故此選項正確；B．旋轉(zhuǎn)180°，不能與原圖形能夠完全重合不是中心對稱圖形；故此選項錯誤；C．旋轉(zhuǎn)180°，不能與原圖形能夠完全重合不是中心對稱圖形；故此選項錯誤；D．旋轉(zhuǎn)180°，不能與原圖形能夠完全重合不是中心對稱圖形；故此選項錯誤；故選A．3、A【解析】試題分析：∵△ABC∽△DEF，相似比為2，∴△ABC與△DEF的面積比為4，∵△ABC的面積為12，∴△DEF的面積為：12×=1．故選A．考點：相似三角形的性質(zhì)．4、B【分析】直接把點代入反比例函數(shù)解析式即可得出k的值．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，

∴，解得：．

故選：B．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．5、A【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【詳解】解：將二次函數(shù)y＝x1的圖象沿y軸向上平移1個單位長度，得到：y＝x1+1，再沿x軸向左平移3個單位長度得到：y＝（x+3）1+1．故選：A．【點睛】解決本題的關(guān)鍵是得到平移函數(shù)解析式的一般規(guī)律：上下平移，直接在函數(shù)解析式的后面上加，下減平移的單位；左右平移，比例系數(shù)不變，在自變量后左加右減平移的單位．6、B【分析】作OE⊥AD于E,連接OD,在Rt△ODE中,根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解.【詳解】解：作OE⊥AD于E,連接OD,則OD=.在Rt△ODE中,易得∠EDO為45，△ODE為等腰直角三角形，ED=OE,OD===.可得：ED=1，AD=2ED=2，所以B選項是正確的.【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓,本題需仔細分析圖形,利用垂徑定理與勾股定理即可解決問題.7、B【分析】根據(jù)題意拋物線沿著射線方向平移個單位，點A向右平移4個單位，向上平移2個單位，可得平移后的頂點坐標．設向右平移a個單位，則向上平移a個單位，拋物線的解析式為y=(x+1-a)2-1+a，令x=2,y=(a-)2+,由0≤a≤4,推出y的最大值和最小值,根據(jù)點D的縱坐標的變化情形，即可解決問題．【詳解】解：由題意，拋物線沿著射線方向平移個單位，點A向右平移4個單位，向上平移2個單位，∵拋物線=(x+1)2-1的頂點坐標為(-1,-1),設拋物線向右平移a個單位，則向上平移a個單位，拋物線的解析式為y=(x+1-a)2-1+a令x=2,y=(3-a)2-1+a,∴y=(a-)2+,∵0≤a≤4∴y的最大值為8，最小值為，∵a=4時，y=2，∴8-2+2(2-)=故選：B【點睛】本題考查的是拋物線上的點在拋物線平移時經(jīng)過的路程問題，解決問題的關(guān)鍵是在平移過程中點D的移動規(guī)律．8、B【分析】如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，則這兩個多邊形是相似多邊形．【詳解】解：∵等邊三角形的對應角相等，對應邊的比相等，∴兩個等邊三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的對應角不一定相等，矩形的邊不一定對應成比例，∴兩個直角三角形、兩個菱形、兩個矩形都不一定是相似形，故選：B．【點睛】本題考查了相似多邊形的識別．判定兩個圖形相似的依據(jù)是：對應邊成比例，對應角相等，兩個條件必須同時具備．9、B【分析】由題意已知魚塘中有記號的魚所占的比例，用樣本中的魚除以魚塘中有記號的魚所占的比例，即可求得魚的總條數(shù)．【詳解】解：30÷2.5%=1．故選：B．【點睛】本題考查統(tǒng)計中用樣本估計總體的思想，熟練掌握并利用樣本總量除以所求量占樣本的比例即可估計總量．10、D【解析】試題分析：反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求出K=-2，當K>0時反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，當K〈0時反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，因為-2〈0，D正確．故選D考點：反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】由題意直接根據(jù)特殊三角函數(shù)值，進行分析計算即可得出答案.【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵，∴,∴.故答案為：.【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)定義以及特殊三角函數(shù)值進行分析是解題的關(guān)鍵.12、5或1【分析】分兩種情況：AC與AB在AD同側(cè)，AC與AB在AD的兩側(cè)，在Rt△ABD中，通過解直角三角形求得BD，用勾股定理求得CD，再由線段和差求BC便可．【詳解】解：情況一：當AC與AB在AD同側(cè)時，如圖1，

∵AD是BC邊上的高，AD＝6，tanB＝，AC＝3

∴在Rt△ABD中，，在Rt△ACD中，利用勾股定理得∴BC=BD-CD=8-3=5；

情況二：當AC與AB在AD的兩側(cè)，如圖2，

∵AD是BC邊上的高，AD＝6，tanB＝，AC＝3

∴在Rt△ABD中，，在Rt△ACD中，利用勾股定理得∴BC=BD+CD=8+3=1；

綜上，BC=5或1．

故答案為：5或1．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用題，關(guān)鍵是分情況討論，比較基礎，容易出錯的地方是漏解．13、【分析】運用切線長定理和勾股定理求出DF，進而完成解答．【詳解】解：∵與相切于點，與交于點∴EF=AF,EC=BC=2設EF=AF=x,則CF=2+x,DF=2-x在Rt△CDF中,由勾股定理得:DF2=CF2-CD2,即(2-x)2=(2+x)2-22解得:x=,則DF=∴的面積為=故答案為．【點睛】本題考查了切線長定理和勾股定理等知識點，根據(jù)切線長定理得到相等的線段是解答本題的關(guān)鍵．14、．【解析】試題分析：∵y1與y2的兩交點橫坐標為-2，1，當y2≥y1時，y2的圖象應在y1的圖象上面，即兩圖象交點之間的部分，∴此時x的取值范圍是-2≤x≤1．考點：1、二次函數(shù)的圖象；2、一次函數(shù)的圖象．15、1【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及直角三角形兩銳角互余，可得△E′CB是等邊三角形，從而得出∠ACE′的度數(shù)，再根據(jù)∠ACE′+∠ACE′=90°得出△CDE旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：CE′=CE=BC，∵三角板是兩塊大小一樣且含有1°的角，∴∠B=60°∴△E′CB是等邊三角形，∴∠BCE′＝60°，∴∠ACE′＝90°﹣60°＝1°，故答案為：1．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，本題關(guān)鍵是得到△ABC等邊三角形．16、．【解析】解：∵點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），∴=．故答案為．點睛：本題考查了黃金分割的定義，牢記黃金分割比是解題的關(guān)鍵．17、(2.5，3)【分析】利用點B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比進而得出A的坐標.【詳解】解：∵點B(3，1)，B′(6，2)，點A′(5，6)，∴A的坐標為：(2.5，3).故答案為：(2.5，3).【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．18、．【分析】過A作AC⊥OB于點C，由點的坐標求得OC、AC、OB，進而求BC，在Rt△ABC中，由三角函數(shù)定義便可求得結(jié)果．【詳解】解：過A作AC⊥OB于點C，如圖，∵A（3，3），點B（7，0），∴AC＝OC＝3，OB＝7，∴BC＝OB﹣OC＝4，∴tan∠ABO＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，平面直角坐標系，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．三、解答題(共66分)19、（1）B，C；（2）1．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的概念，中位數(shù)應是第150、151人時間的平均數(shù)，分析可得答案；（2）首先計算樣本中達到國家規(guī)定體育活動時間的頻率，再進一步估計總體達到國家規(guī)定體育活動時間的人數(shù)．【詳解】（1）眾數(shù)在B組．根據(jù)中位數(shù)的概念，中位數(shù)應是第150、151人時間的平均數(shù)，分析可得其均在C組，故本次調(diào)查數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組．故答案為B，C；（2）達國家規(guī)定體育活動時間的人數(shù)約1800×=1（人）．答：達國家規(guī)定體育活動時間的人約有1人．考點：頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體；中位數(shù)；眾數(shù)．20、（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）證明△ACD∽△ABC，即可得證；

（2）①BC2=BO?BD，BC2=BF?BE，即BO?BD=BF?BE，即可求解；②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴AC2=AB·AD；

（2）①證明：如圖2，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BO?BD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BF?BE，

∴BO?BD=BF?BE，

即，而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，∴CE=，∴DE=BC-CE=2；

在Rt△OBC中，OB=BC=，∵△BOF∽△BED，∴，即，∴OF=.【點睛】本題為三角形相似綜合題，涉及到勾股定理運用、正方形基本知識等，難點在于找到相似三角形，此類題目通常難度較大．21、（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AE∥OC，AE＝OC即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCF＝∠OFC．故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS證明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可證明；（3）根據(jù)切線長定理可得AD=AF,CH=FH=2,設AD=x,則AF=x,AH=x+2,BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的長.【詳解】（1）解：連接AO，四邊形AECO是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中點，∴AE＝AB．∵CD是⊙O的直徑，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四邊形AECO為平行四邊形．（2）證明：由（1）得，四邊形AECO為平行四邊形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF∴△AOD≌△AOF．∴∠ADO＝∠AFO．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵點F在⊙O上，∴AH是⊙O的切線．（3）∵HC、FH為圓O的切線，AD、AF是圓O的切線∴AD=AF,CH=FH=2,設AD=x,則AF=x,AH=x+2,BH=x-2，在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,即（x+2）2=62+（x-2）2,解得x=∴AH=+2=.【點睛】此題主要考查直線與圓的關(guān)系，解題法的關(guān)鍵是熟知切線的判定定理與性質(zhì)，及勾股定理的運用.22、（1）第三象限內(nèi)的一個定點C為（﹣1，﹣3）；（2）a＝，AB＝；（3）S＝﹣h2+h﹣，當h＝時，S的最大值為，此時點P（，﹣）．【分析】（1）對拋物線解析式進行變形，使a的系數(shù)為0，解出x的值，即可確定點C的坐標；（2）設函數(shù)對稱軸與x軸交點為M，根據(jù)拋物線的對稱軸可求出M的坐標，然后利用勾股定理求出CM的長度，再利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半求出AB的長度，則A,B兩點的坐標可求，再將A,B兩點代入解析式中即可求出a的值；（3）過點E作EF⊥PH于點F，先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后將P,D的坐標用含h的代數(shù)式表示出來，最后利用S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（yD﹣yE）求解【詳解】（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，故第三象限內(nèi)的一個定點C為（﹣1，﹣3）；（2）函數(shù)的對稱軸為：x＝，設函數(shù)對稱軸與x軸交點為M，則其坐標為：（，0），則由勾股定理得CM＝，則AB＝2CM＝，∴則點A、B的坐標分別為：（﹣3，0）、（，0）；將點A的坐標代入函數(shù)表達式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，解得：a＝，函數(shù)的表達式為：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣；（3）過點E作EF⊥PH于點F，設：∠ABC＝α，則∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，設直線BC的解析式為將點B、C坐標代入一次函數(shù)表達式得解得：∴直線BC的表達式