簡單微分方程及其應(yīng)用

文科數(shù)學(xué)§1簡單微分方程及其應(yīng)用第六章應(yīng)用舉例§2線性規(guī)劃簡介§3關(guān)于對策論的話題§4庫存與生產(chǎn)批量的最優(yōu)控制文科數(shù)學(xué)

用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力包括：①.將實際問題歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)建模）；②.選擇合適的數(shù)學(xué)方法加以求解；③.對所得結(jié)果用適當?shù)姆椒ㄟM行驗證；④.將結(jié)果應(yīng)用于實際問題（對某些現(xiàn)象加以解釋、作出預(yù)測、用于設(shè)計等）。文科數(shù)學(xué)§1簡單微分方程及其應(yīng)用

一、微分方程的基本概念二、可分離變量的微分方程三、齊次方程四、牛頓冷卻定律與破案問題五、馬爾薩斯人口模型及其修正六、放射性碳的蛻變與考古問題文科數(shù)學(xué)

微積分研究的對象是函數(shù)，但許多實際問題中，往往不能直接找到反映某個變化過程的函數(shù)關(guān)系，而可根據(jù)問題的性質(zhì)和所給條件，列出一個含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，這就是微分方程。在中學(xué)數(shù)學(xué)中：前兩個方程中只含未知量x

的代數(shù)運算，稱為代數(shù)方程；后一個方程中含未知量x

的超越運算，稱為超越方程。這些方程的共同點是：未知量x

均為數(shù)值。一、微分方程的基本概念文科數(shù)學(xué)

在大學(xué)數(shù)學(xué)中：此處y

作為未知量已不是數(shù)值，而是另一變量x

的函數(shù)，因此稱為函數(shù)方程。但二者又有區(qū)別，后一個方程含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分運算，稱為微分方程。

含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。

定義1常微分方程偏微分方程－方程中僅含一個自變量分類－方程中所含自變量多于一個文科數(shù)學(xué)方程①含有未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，兩邊對x

積分再由條件②得C=1，因此所求曲線方程為一條曲線通過點(1,2)，在該曲線上任意點處解：設(shè)所求曲線方程為y=y(x)，則有如下關(guān)系式①(C為任意常數(shù))②的切線斜率為2x，求該曲線的方程。

例1文科數(shù)學(xué)方程①含有未知函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，兩邊對x

積分兩邊對x

再次積分

列車在直路上以20m/s的速度行駛,制動時獲得加速度a=-0.4m/s2,求制動后列車的運動規(guī)律。

解：設(shè)列車在制動后

t

秒行駛了s

米，即求

s=s(t)①(C1,C2為任意常數(shù))②

例2文科數(shù)學(xué)再由條件②得C1＝20,C2＝0，因此所求運動規(guī)律為①②

方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階。

n

階常微分方程的一般形式

定義2(隱式)(顯式)文科數(shù)學(xué)

將函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分代入微分方程，能使其成為恒等式，這樣的函數(shù)稱為該微分方程的解，其圖形稱為積分曲線。

定義3通解特解－解中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同分類－不含任意常數(shù)的解例1

通解：特解：例2文科數(shù)學(xué)

確定通解中任意常數(shù)的條件稱為微分方程的定解條件。

n階微分方程的初始條件（或初值條件）初值問題：求微分方程滿足初始條件的特解這樣一個問題。

定義4例1

通解：特解：例2文科數(shù)學(xué)已知曲線上點

P(x,y)處的法線與x

軸交點為

解：如圖所示，點P(x,y)處的法線方程為令Y=0，得

Q

點的橫坐標為即Q，且線段PQ被y軸平分，求所滿足的微分方程。

例3文科數(shù)學(xué)二、可分離變量的微分方程

形如或的一階微分方程稱為變量可分離方程。若f

和g

均是連續(xù)函數(shù)，且g(y)≠0，則方程①可寫成變量分離的形式

定義1①②文科數(shù)學(xué)將方程②兩邊分別對y,x

積分令則稱③為方程①的隱式通解或通積分。這種通過分離變量來求解微分方程的方法稱為分離變量法。③②①文科數(shù)學(xué)求微分方程的通解。解：分離變量得，兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明：在求解過程中每一步不一定是同解變形，因此可能增、減解！(此式含分離變量時丟失的解y=0)

例1文科數(shù)學(xué)求解初值問題

解：顯然y=0是方程的解，但不滿足初始條件。當y≠0時，分離變量得兩邊積分得兩邊取指數(shù)得再由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為

練習(xí)文科數(shù)學(xué)

設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0，求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系。

解：根據(jù)牛頓第二運動定律列出方程初始條件為對方程分離變量，然后積分得

例2文科數(shù)學(xué)得利用初始條件，得代入上式后化簡，得特解說明：跳傘后階段接近于等速運動。文科數(shù)學(xué)三、齊次方程

形如的一階微分方程稱為齊次方程。

例如

定義1文科數(shù)學(xué)

齊次方程的求解方法令則y=ux，從而代入原方程得分離變量兩邊積分，得積分后再用代替u，便得原方程的通解。文科數(shù)學(xué)求解微分方程解：代入原方程得分離變量兩邊積分從而故原方程的通解為(C

為任意常數(shù))說明：當C=0

時,

y=0

也是方程的解。

例1文科數(shù)學(xué)求解微分方程解：則有分離變量兩邊積分得代回原變量得通解即(C

為任意常數(shù))

說明：顯然

x=0，y=0，y=x

也是原方程的解，但在求解過程中丟失了。在通解中允許

C=0，則包含了x=0及y=x兩解，但解y=0仍未包含在內(nèi)。外加特解：

練習(xí)文科數(shù)學(xué)

在制造探照燈反射鏡面時，要求點光源的光線平行反射出去，以保證探照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的形狀。

解：設(shè)光源在坐標原點，取x

軸平行于光線反射方向，則反射鏡面由曲線繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成。有OMA=OAM=

，過曲線上任意點M(x,y)作切線MT,由光的反射定律：入射角=反射角從而AO=OM而AO于是得微分方程：

例2文科數(shù)學(xué)利用曲線的對稱性，不妨設(shè)

y>0，積分得故有得(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面！于是方程化為(齊次方程)文科數(shù)學(xué)頂?shù)降椎木嚯x為

h,則將這時旋轉(zhuǎn)曲面方程為說明：若已知反射鏡面的底面直徑為d，代入通解表達式得反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面文科數(shù)學(xué)四、牛頓冷卻定律與破案問題牛頓冷卻定律溫度為T

的物體在溫度為T0(T0<T)的環(huán)境中，冷卻的速度與溫差T－T0

成正比。用微分方程可表示為等式右端的負號是由于溫度T(t)隨時間t

的增加而減少，故dT/dt<0。下面用該定律考慮刑事案件的偵破問題。文科數(shù)學(xué)

刑事案件的偵破問題某市發(fā)生一起兇殺案，法醫(yī)于晚8:20趕到兇手現(xiàn)場，測得尸體溫度為32.6oC；1小時后，當尸體被抬走時又測得尸體溫度為31.4oC，室溫在幾小時內(nèi)均保持在21.1oC。警方經(jīng)周密調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)張某是此案的主要嫌疑人，但張某聲稱自己無罪，并有證人說：“下午張某一直在辦公室，5點鐘時打了一個電話后離開辦公室”。從辦公室到兇手現(xiàn)場步行需5分鐘，問張某能否被排除在嫌疑人之外？

解：人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)，死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體溫度只受外界環(huán)境溫度的影響。文科數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)建模設(shè)時刻t

時尸體的溫度為T(t)，若尸體溫度的下降服從牛頓冷卻定律，則由T0＝21.1oC知令晚8:20為t＝0時刻，則

求解微分方程由于T>21.1，故T－21.1>0，分離變量兩邊積分文科數(shù)學(xué)即由T(0)＝32.6，T(1)＝31.4可求得所以應(yīng)用假設(shè)死者死亡時體溫正常，為37oC，令上式中的T＝37，可求出t≈-2.95(小時)，即－2小時57分。從而推知死者的死亡時間大約在下午5點23分，因此張某不能排除在嫌疑人之外！文科數(shù)學(xué)五、馬爾薩斯人口模型及其修正

英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus：1766～1834）根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計資料，于1798年提出了人口指數(shù)增長模型。

基本假設(shè)：單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口總數(shù)成正比。記t

時刻時人口總數(shù)為x(t)，設(shè)單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口總數(shù)之比為r，r

是與時間無關(guān)的常數(shù)，根據(jù)馬爾薩斯假設(shè)文科數(shù)學(xué)令△t→0，得到如下的馬爾薩斯人口模型這是變量可分離方程，易求得此初值問題的解為這表明人口數(shù)量將隨時間呈現(xiàn)指數(shù)形式增長。人們曾就地球過去的人口總數(shù)來檢驗該公式，結(jié)果表明它相當準確地反映了1700～1961年期間的人口總數(shù)；但當t→+∞時，則有x(t)→+∞，這與客觀事實顯然不符！文科數(shù)學(xué)

馬爾薩斯人口模型的修正早在1838年，荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗胡斯特（Verhulst）就指出，導(dǎo)致上述不符合現(xiàn)實情況的根本原因在于：馬爾薩斯人口模型未能考慮“密度制約”因素，即在資源給定的一個環(huán)境中，人數(shù)越多，每個人所獲得的資源就越少，這將抑制生育率、增加死亡率，因此，單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口總數(shù)之比不是一個常數(shù)，而是r

乘一個密度制約因子，該因子應(yīng)隨x

的增大而減小，可設(shè)為(1－x/k)，其中k

為環(huán)境容納量，它反映了資源的豐沛程度。文科數(shù)學(xué)

弗胡斯特人口模型這也是變量可分離方程。由于x(1－x/k)>0，故分離變量兩邊積分從而得其通解文科數(shù)學(xué)

再由x(0)＝x0

知因此該初值問題的解為這表明：當t→＋∞時，x(t)→k，即人口總數(shù)最終穩(wěn)定為環(huán)境容納量k。文科數(shù)學(xué)六、放射性碳的蛻變與考古問題

考古、地質(zhì)等方面的專家常用14C（碳－14，為碳－12的同位素）測定法（簡稱碳定年代法）去估計文物或化石的年代。

根據(jù)：宇宙射線不斷轟擊大氣層，使之產(chǎn)生中子，中子與氮氣作用生成具有放射性的14C，后者又可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而動物又以植物為食物，于是放射性14C就被帶到各種動植物體內(nèi)。由于14C具有放射性，因此它在不斷蛻變。文科數(shù)學(xué)六、放射性碳的蛻變與考古問題

活著的生物通過新陳代謝不斷攝取14C，使體內(nèi)14C與空氣中的14C具有相同的百分比含量。生物死后，停止攝取14C，因而尸體內(nèi)的14C由于不斷蛻變而減少。

碳定年代法正是依據(jù)14C蛻變減少量的變化情況來判定生物的死亡時間。根據(jù)原子物理學(xué)理論