計算方法第5章1、解線性方程組的直接方法(5.15.4)

計算方法解線性方程組的直接方法1/4/20241第五章

解線性方程組的直接方法

§5.1引言解線性方程組的兩類方法：直接法:經(jīng)過有限次運(yùn)算后可求得方程組精確解的方法(不計舍入誤差)迭代法：從解的某個近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個無窮序列去逼近精確解的方法。（一般有限步內(nèi)得不到精確解）1/4/20242n階線性方程組1/4/202431/4/20244§5.2高斯消去法轉(zhuǎn)化為同解的方程組1/4/20245§5.2.1高斯消去法計算過程1/4/202461/4/202471/4/202481/4/202491/4/202410系數(shù)矩陣與常數(shù)項：1/4/202411回代過程:1/4/2024121/4/202413消去第一列的n-1個系數(shù)要計算n*(n-1）

個乘法。§5.2.2高斯消去法計算量1/4/202414每一步消去過程相當(dāng)于左乘初等變換矩陣Lk§5.2.3矩陣的三角分解1/4/2024151/4/202416i+1行

i+1行依次遞推1/4/202417定理7（矩陣的LU分解）設(shè)A為n階矩陣，如果A的順序主子式

Di≠0（i=1，2，…，n-1），則A可分解為一個單位下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，且這種分解是

唯一的。1/4/2024181/4/202419§5.3高斯主元素消去法為避免此種情況的發(fā)生，可通過交換方程的次序，選取絕對值大的元素作主元。§5.3.1

列主元素消去法1/4/202420選取或稱此方法為全主元素高斯消去法稱此方法為列主元素高斯消去法1/4/20242131/4/2024221/4/202423定理8（列主元素的三角分解定理）如果A為非奇異矩陣，則存在排列矩陣P使

PA=LU

其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。1/4/202424§5.3.2高斯—若當(dāng)消去法1/4/2024251/4/202426本章作業(yè)

P17671/4/202427§5.4矩陣三角分解法

§5.4.1直接三角分解法將高斯消去法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣A的元素得到計算L,U元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟，這就是直接三角分解法。由于A=LU，求解Ax=b的問題就等價于求解兩個三角形方程組①Ly=b，求y；②

Ux=y，求x.1/4/2024281、不選主元的三角分解法A=LU其中L為單位下三角陣，U為上三角陣（4.1）1/4/202429一、直接計算A的LU分解(例)1/4/2024301/4/202431二、一般計算公式1/4/202432三、LU分解求解線性方程組1/4/202433矩陣A的直接分解法稱為杜利特爾（Doolittle）分解1/4/202434例1：將方程組的系數(shù)矩陣A作LU分解，并求方程組的解1/4/202435解LU分解的緊湊格式為1/4/202436推出：1/4/202437由Ux=y，即用回代法解得即為線性方程組的解1/4/2024382、選主元的三角分解法采用與列主