2023年上海市松江區(qū)九年級中考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版）

數(shù)學(xué)練習(xí)卷考生注意：1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分．2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫姓名、學(xué)校和考號．3．答題紙與試卷在試題編號上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，不能錯位．一、選擇題（本大題共6題）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1.已知，則銳角A的度數(shù)是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因為

tanA=

,A為銳角,由特殊角的三角函數(shù)值即可解答.【詳解】因為

tanA=

,A為銳角由特殊角的三角函數(shù)值知:A=60°，故選C.【點(diǎn)睛】掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵.2.已知中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得斜邊長，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖∵中，，，，∴,∴，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3.關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（）A.開口向上 B.與軸的交點(diǎn)是C.頂點(diǎn)是 D.對稱軸是直線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式中系數(shù)與圖形的關(guān)系即可求解．【詳解】解：選項，拋物線中，，圖像開口向下，故選項錯誤，不符合題意；選項，令，函數(shù)值，則拋物線與軸的交點(diǎn)是，故選項錯誤，不符合題意；選項，根據(jù)頂點(diǎn)式得，拋物線的頂點(diǎn)為，故選項錯誤，不符合題意；選項，拋物線的對稱軸是直線，故選項正確，符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)系數(shù)與圖像的關(guān)系，理解并掌握二次函數(shù)中系數(shù)與圖像開口，對稱軸，與軸交點(diǎn)的特點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)的計算方法是解題的關(guān)鍵．4.已知、為非零向量，下列判斷錯誤的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么或 D.如果為單位向量，且，那么【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、如果，那么，故本選正確；B、如果，那么，故本選正確；C、如果，沒法判斷與之間的關(guān)系，故本選項錯誤D、如果為單位向量，且，那么，故本選正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟記單位向量、平行向量以及模的定義是解題的關(guān)鍵．5.如圖，為測量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距米的、兩點(diǎn)處，觀測對岸的標(biāo)志物，測得、，那么這條河的寬度是（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，則這條河的寬度是的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，則這條河的寬度是的長，∵，∴，∵米，∴，即，∴，即米，即這條河的寬度是米，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．6.如圖，直角梯形中，，，，，．是延長線上一點(diǎn)，使得與相似，這樣的點(diǎn)的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由于，故要使與相似，分兩種情況討論：①，②，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等求出的長，即可得到點(diǎn)的個數(shù)．【詳解】∵，，，．設(shè)的長為，則．若邊上存在點(diǎn)，使與相似，那么分兩種情況：①若，則，即，解得：②若，則，即，整理得：，，（舍去）滿足條件的點(diǎn)的個數(shù)是2個，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，難度適中，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共12題）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7.已知＝，則＝_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，由可得，然后代入式子進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：∵，∴，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的基本性質(zhì)并能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行分式的化簡求值是解題的關(guān)鍵．8.已知線段，是的黃金分割點(diǎn)，且，那么的長是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，是較長線段得到，代入數(shù)據(jù)即可得出的長．【詳解】解：∵是的黃金分割點(diǎn)，且，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割的定義，理解黃金分割點(diǎn)的概念．牢記黃金分割比是解題關(guān)鍵．9.如圖，已知直線，如果，，那么線段的長是________．【答案】【解析】【分析】由平行線所截線段對應(yīng)成比例可知，然后代入的值求解即可．【詳解】解：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段對應(yīng)成比例，熟練掌握比例線段的計算是解決本題的關(guān)鍵．10.如圖，中，，，是邊的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，那么的長是________．【答案】2【解析】【分析】先判斷出，再利用相似三角形的性質(zhì)即可得到．【詳解】：∵，∴，∵是邊的中點(diǎn)，，∴，∴，∴∵∴∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11.如圖，中，，于點(diǎn)，如果，，那么的值是________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意得出，繼而根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：∵中，，，∴，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求余弦，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．12.如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比，堤高米，那么坡面的長度是________米．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)坡比求出的長度，然后根據(jù)勾股定理求出的長度．【詳解】解：∵迎水坡坡比，∴∵堤高米，∴米，∴米，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，熟記坡比的定義是解題的關(guān)鍵．13.把拋物線向左平移2個單位，所得新拋物線的表達(dá)式是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，再左平移2個單位即，再利用頂點(diǎn)式拋物線解析式寫出即可．【詳解】的頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線左平移2個單位后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，新的頂點(diǎn)式拋物線為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并根據(jù)規(guī)律利用點(diǎn)的變化確定函數(shù)解析式．14.如果一條拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，那么該拋物線的對稱軸是直線________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對稱軸，即可得出．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，∴拋物線的對稱軸是直線，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的對稱軸，求出拋物線的對稱軸是解題的關(guān)鍵．15.已知一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且在軸左側(cè)部分是上升的，那么該二次函數(shù)的解析式可以是________（只要寫出一個符合要求的解析式）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由于二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在軸左側(cè)部分是上升的，由此可以確定拋物線的對稱軸為y軸或在y軸的右側(cè)，且圖象開口向下，由此可以確定函數(shù)解析式不唯一．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，且在軸左側(cè)部分是上升的，若二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象開口向下，∴二次函數(shù)解析式的二次項系數(shù)，∴二次函數(shù)解析式不唯一，如：故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù)．16.公園草坪上，自動澆水噴頭噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的離地高度（米）關(guān)于水珠與噴頭的水平距離（米）的函數(shù)解析式是．那么水珠的最大離地高度是________米．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求解．【詳解】∵，∴時，y取最大值，即水珠的高度達(dá)到最大米時，水珠與噴頭的水平距離是2米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握把二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式．17.已知，是邊上一點(diǎn)，、的重心分別為、，那么的值為________．【答案】【解析】【分析】由重心可知線段，得到，從而得出面積比，再利用中線的性質(zhì)得到最后的面積之比．【詳解】解：是，的重心，，，，，分別是的中點(diǎn)，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查重心的性質(zhì)以及線段比與面積的關(guān)系，熟練掌握重心的性質(zhì)以及利用線段比求面積比是解決本題的關(guān)鍵．18.如圖，已知中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，如果直線，垂足記為點(diǎn)，那么的值為________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)，則，，分兩種情況討論，畫出圖形，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，列式計算即可求解．【詳解】解：∵中，，，∴，設(shè)，則，，∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至，∴，則，，，，如圖，，，，∴，∴，則，∴，∴，∴；如圖，，，，∴，∴，則，∴，∴，∴；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正弦函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．三、解答題（本大題共7題）19.如圖，已知中，點(diǎn)、分別在邊、上，，．（1）如果，求的長；（2）設(shè)，，用、表示．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先證明得到，再根據(jù)已知條件推出，得到，由此即可得到答案；（2）先求出，再由進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】解：∵，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定，向量的線性運(yùn)算，證明推出是解題的關(guān)鍵．20.已知二次函數(shù)．（1）用配方法求這個二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在所給的平面直角坐標(biāo)系中（如圖），畫出這個二次函數(shù)的圖像；（3）請描述這個二次函數(shù)圖像的變化趨勢．【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)（2）見解析（3）這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的【解析】【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出答案；（2）先求出幾個特殊的點(diǎn)，然后描點(diǎn)連線即可；（3）根據(jù)（2）函數(shù)圖像，即可得出結(jié)果．【小問1詳解】解：（1）∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；【小問2詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)過點(diǎn)，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：圖像如圖所示：【小問3詳解】解：這個二次函數(shù)圖像在對稱軸直線左側(cè)部分是下降的，右側(cè)部分是上升的．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及作圖方法，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21.如圖，已知中，，，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，、的延長線交于點(diǎn)．（1）求的正切值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由得到是等腰三角形，由三線合一得到，由勾股定理求得，根據(jù)正切的定義即可得到答案；（2）由，得到，則，由是的中點(diǎn)，得到是的中位線，求得，進(jìn)一步得到，求得，得到，即可得到答案．【小問1詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴是等腰三角形，∵，，∴，∴中，，∴；【小問2詳解】解：∵，，∴，∴，∵是中點(diǎn)，∴，∴是的中位線，，∵，∴，∴，∴∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．22.小明想利用測角儀測量操場上旗桿的高度．如圖，他先在點(diǎn)處放置一個高為米的測角儀（圖中），測得旗桿頂部的仰角為，再沿的方向后退米到點(diǎn)處，用同一個測角儀（圖中），又測得旗桿頂部的仰角為．試求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】旗桿的高度約為米【解析】【分析】如圖所示，延長，交于點(diǎn)，則，設(shè)，則，，在中，根據(jù)三角函數(shù)值的計算方法即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長，交于點(diǎn)，則，由題意得，，，，，設(shè)，則，，在中，，∴，解得，即（米），∴（米）．∴旗桿的高度約為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查仰俯角測量高度，理解圖示中角與線的關(guān)系，掌握仰俯角測量高度的方法，三角函數(shù)值的計算方法是解題的關(guān)鍵．23.如圖，已知梯形中，．是邊上一點(diǎn)，與對角線交于點(diǎn)，且．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由可證，得到，再由得到，即可證明；（2）由得到，得到，進(jìn)而得到，即可得到．【小問1詳解】∵，∴∵，∴∴∵，∴∴；【小問2詳解】∵，∴∵，∴∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定方法是解題的關(guān)鍵．24.在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）平移這條拋物線，所得新拋物線的頂點(diǎn)為．①如果，且新拋物線的頂點(diǎn)在的內(nèi)部，求的取值范圍；②如果新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式（2）①的取值范圍是；②【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①新拋物線的頂點(diǎn)為，，由得出，待定系數(shù)法求解析式得直線的解析式：，根據(jù)題意，當(dāng)時，，新拋物線的頂點(diǎn)在的內(nèi)部，得出，繼而即可求解；②新拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線解析式為，由新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，得出，根據(jù)，得出，即可求解．【小問1詳解】∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，∴∴拋物線的表達(dá)式【小問2詳解】①新拋物線的頂點(diǎn)為，∵，∴∵、，設(shè)直線的解析式為，則解得：∴直線的解析式：當(dāng)時，，新拋物線的頂點(diǎn)在的內(nèi)部，∴∴的取值范圍是②∵新拋物線的頂點(diǎn)為，∴∵新拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，∴，即可知點(diǎn)在第一象限，作于點(diǎn)，則，，∵，∴，∴∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，平移問題，角度問題，正切的定義，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.已知梯形中，，，，，是線段上一點(diǎn)，連接．（1）如圖1，如果，且，求的正切值；（2）如圖2，如果，且，求的長；（3）如果，且是等腰三角形，求的面積．【答案】（1）（2）（3）的面積是、或【解析