函數(shù)的單調(diào)性與曲線凹凸性

第三節(jié)3.3.1、函數(shù)單調(diào)性3.3.2、曲線凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線凹凸性第三章3.3.1、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理3.3.1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無(wú)妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說(shuō)明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開(kāi)區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢例3.3.1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:

單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,例3.3.2.

證明時(shí),成立不等式證:

令且證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有即從而定義3.3.1.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.圖形是凸的.3.3.2、曲線凹凸性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理3.3.2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.證:兩式相加，得說(shuō)明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)證畢記例3.3.3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.3.4.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在凹凸因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).小結(jié)

判定函數(shù)凹凸性及求拐點(diǎn)的步驟1、求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。2、求二階導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)。3、根據(jù)定理3.3.2判斷說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),例3.3.5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及凹,凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及作業(yè)

P1331

(2),(5);3，4(2)

，5;

;

;證明:當(dāng)時(shí)，有證明:令,則是凸函數(shù)即

2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線證明