空間幾何體的表面積和體積

1.3簡(jiǎn)單幾何體的外表積和體積回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱錐：4、正棱臺(tái)：側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的局部叫正棱臺(tái)作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找出斜高COBAPD斜高的概念2、分別作出一個(gè)圓柱、圓錐、圓臺(tái)，并找出旋轉(zhuǎn)軸分別經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)軸作一個(gè)平面，觀察得到的軸截面是什么形狀的圖形.ABCDABCABCD矩形等腰三角形等腰梯形①直棱柱：設(shè)棱柱的高為h，底面多邊形的周長(zhǎng)為c，那么S直棱柱側(cè)＝.②圓柱：如果圓柱的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，那么S圓柱側(cè)＝.ch2πrl知識(shí)點(diǎn)一：柱、錐、臺(tái)、球的外表積與側(cè)面積(1)柱體的側(cè)面積把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn)展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖有什么關(guān)系？寬＝長(zhǎng)方形①正棱錐：設(shè)正棱錐底面正多邊形的周長(zhǎng)為c，斜高為h′，那么S正棱錐側(cè)＝.②圓錐：如果圓錐的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，那么S圓錐側(cè)＝.1∕2ch′πrl(2)錐體的側(cè)面積把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn)展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖有什么關(guān)系？扇形

①正棱臺(tái)：設(shè)正n棱臺(tái)的上底面、下底面周長(zhǎng)分別為c′、c，斜高為h′，那么正n棱臺(tái)的側(cè)面積公式：S正棱臺(tái)側(cè)＝.②圓臺(tái)：如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r′、r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，那么S圓臺(tái)側(cè)＝．

1∕2(c＋c′)h′πl(wèi)(r′＋r)(3)臺(tái)體的側(cè)面積注：外表積＝側(cè)面積＋底面積．把正三棱臺(tái)側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線(xiàn)展開(kāi)，分別得到什么圖形?展開(kāi)的圖形與原圖有什么關(guān)系？扇環(huán)例1：一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱臺(tái)的側(cè)面積.分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例3：圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為，求其側(cè)面展開(kāi)圖扇環(huán)所對(duì)的圓心角分析：抓住相似三角形中的相似比是解題的關(guān)鍵小結(jié)：1、抓住側(cè)面展開(kāi)圖的形狀，用好相應(yīng)的計(jì)算公式，注意逆向用公式；

2、圓臺(tái)問(wèn)題恢復(fù)成圓錐圖形在圓錐中解決圓臺(tái)問(wèn)題，注意相似比.答：1800例：圓臺(tái)的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是多少？〔結(jié)果中保存π〕小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀是關(guān)鍵；

2、對(duì)應(yīng)的面積公式C’=0C’=CS圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺(tái)側(cè)=π（r1+r2)lr1=0r1=r2例1：一個(gè)正三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為4，那么其側(cè)面積為_(kāi)_____;答：60例2：正四棱錐底面邊長(zhǎng)為6,高是4，中截面把棱錐截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，求棱臺(tái)的側(cè)面積例3棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的外表積．DBCAS

分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形組成．因?yàn)锽C=a，所以：因此，四面體S-ABC的外表積．交BC于點(diǎn)D．解：先求的面積，過(guò)點(diǎn)S作，例4(2023年廣東省惠州市高三調(diào)研)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AE＝DE.(1)求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的外表積．【思路點(diǎn)撥】

(1)證明△AED為直角三角形，然后求側(cè)棱長(zhǎng)；(2)分別求出側(cè)面積與底面積．【點(diǎn)評(píng)】求外表積應(yīng)分別求各局部面的面積，所以應(yīng)弄清圖形的形狀，利用相應(yīng)的公式求面積，規(guī)那么的圖形可直接求，不規(guī)那么的圖形往往要再進(jìn)行轉(zhuǎn)化，常分割成幾局部來(lái)求．思考：怎樣求斜棱柱的側(cè)面積？1〕側(cè)面展開(kāi)圖是——平行四邊形2〕S斜棱柱側(cè)=直截面周長(zhǎng)×側(cè)棱長(zhǎng)3〕S側(cè)=所有側(cè)面面積之和1．高考中對(duì)幾何體的外表積的考查一般在客觀題中，借以考查空間想象能力和運(yùn)算能力，只要正確把握幾何體的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確應(yīng)用面積公式，就可以順利解決．幾何體的外表積問(wèn)題小結(jié)2．多面體的外表積是各個(gè)面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而外表積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．3．幾何體的外表積應(yīng)注意重合局部的處理．(1)長(zhǎng)方體的體積V長(zhǎng)方體＝abc＝

.(其中a、b、c為長(zhǎng)、寬、高，S為底面積，h為高)(2)柱體(圓柱和棱柱)的體積V柱體＝Sh.其中，V圓柱＝πr2h(其中r為底面半徑)．Sh知識(shí)點(diǎn)二．柱、錐、臺(tái)、球的體積(3)錐體(圓錐和棱錐)的體積V錐體＝Sh.其中V圓錐＝

，r為底面半徑．1∕3πr2h(4)臺(tái)體的體積公式V臺(tái)＝h(S＋＋S′)．注：h為臺(tái)體的高，S′和S分別為上下兩個(gè)底面的面積．其中V圓臺(tái)＝

．注：h為臺(tái)體的高，r′、r分別為上、下兩底的半徑．(5)球的體積V球＝

.1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)1∕3πR3例從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐A－BCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？1．求空間幾何體的體積除利用公式法外，還常用分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)那么幾何體體積計(jì)算問(wèn)題的常用方法．幾何體的體積小結(jié)2．計(jì)算柱體、錐體、臺(tái)體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．第一步：分割O球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，外表積分別為：那么球的外表積：那么球的體積為：設(shè)“小錐體〞的體積為：O知識(shí)點(diǎn)三、球的外表積和體積〔O第二步：求近似和O由第一步得：第三步：轉(zhuǎn)化為球的外表積如果網(wǎng)格分的越細(xì),那么:①

由①②得:②

球的體積:的值就趨向于球的半徑RO“小錐體”就越接近小棱錐。設(shè)球的半徑為R，那么球的體積公式為V球＝.4∕3πR3例1．(2023年高考上海卷)假設(shè)球O1、O2外表積之比＝4，那么它們的半徑之比＝______.(1)假設(shè)球的外表積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,那么半徑變?yōu)樵瓉?lái)的—倍。(2)假設(shè)球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，那么外表積變?yōu)樵瓉?lái)的—倍。(3)假設(shè)兩球外表積之比為1:2，那么其體積之比是———。(4)假設(shè)兩球體積之比是1:2，那么其外表積之比是———。例2：例3.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問(wèn)球O的外表積。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方體內(nèi)接于球，那么由球和正方體都是中心對(duì)稱(chēng)圖形可知，它們中心重合，那么正方體對(duì)角線(xiàn)與球的直徑相等。略解：變題1.如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，那么有S=——。變題2.如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，那么有S=——。關(guān)鍵：找正方體的棱長(zhǎng)a與球半徑R之間的關(guān)系OABC例4過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心O的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的體積，外表積．解：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面⊙O′的半徑為r，例5、有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比.作軸截面規(guī)律方法總結(jié)1．直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一些全等的等腰梯形．2．斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)的乘積．3．如果直棱柱的底面周長(zhǎng)是c，高是h，那么它的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝ch.4．應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用．規(guī)律方法總結(jié)5．如果不是正棱柱