函數(shù)的極值與最值

5函數(shù)的極值與最值一、極值的定義二、函數(shù)極值的求法三、最值的求法四、應(yīng)用舉例一、函數(shù)極值的定義定義:在其中當時,(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點

.極大值與極小值統(tǒng)稱極值。注意：函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).二、函數(shù)極值的求法定理1(必要條件)注意:例如,定理2(第一充分條件)設(shè)在點處可導(dǎo)數(shù),

且，(不是極值點情形)(是極值點情形)例5解：極大值極小值例6解：注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點,也可能是函數(shù)的極值點.求極值的步驟:定理3(第二充分條件)證例7解：注意:三、最值的求法則其最值只能在極值點或端點處達到.特別:當在內(nèi)只有一個極值可疑點時,當在上單調(diào)時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)對應(yīng)用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)四、應(yīng)用舉例例1解計算比較得(k為某常數(shù))例2.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運為使貨物從B運到工

20解:

設(shè)則令得又所以為唯一的極小值點,故AD=15km時運費最省.總運費廠C的運費最省,從而為最小值點,問D點應(yīng)如何取?Km,公路,價之比為3:5,實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標函數(shù);(2)求最值;例3某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費．試問房租定為多少可獲得最大收入？解設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為（唯一駐點）故每月每套租金為350元時收入最高。最大收入為1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值五、小結(jié)(3)第二充分條件為極大值為極小值2.最值與極值的區(qū)別:最值是整體概念而極值是局部概念.1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;實際問題求最值的步驟:P162習(xí)題3-51(1)(2),3,4(1),