統(tǒng)考版2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專項(xiàng)分層特訓(xùn)卷一客觀題專練6平面向量三角函數(shù)與解三角形理

平面向量、三角函數(shù)與解三角形(6)一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．[2023·全國(guó)甲卷(理)]已知向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，且a＋b＋c＝0，則cos〈a－c，b－c〉＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(2,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(4,5)2．已知平面向量a＝(1－x，3＋x)，b＝(2，1＋x)，若a·b＝4，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)3．已知sinθ＋cosθ＝－eq\f(1,5)，θ∈(0，π)，則sinθ－cosθ＝()A．eq\f(1,5)B．－eq\f(1,5)C．eq\f(7,5)D．－eq\f(7,5)4．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋eq\f(π,6))－1(ω>0)的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為eq\f(π,2)，則下列點(diǎn)的坐標(biāo)為f(x)的對(duì)稱中心的是()A．(eq\f(π,12)，－1)B．(eq\f(π,12)，0)C．(－eq\f(π,12)，－1)D．(－eq\f(π,12)，0)5．若在△ABC中，2a·cosB＝c，則三角形的形狀一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形6．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝5，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．－15eq\r(3)B．－30C．－15D．157．函數(shù)y＝eq\f(xsinx,e|x|)的圖象大致為()8．[2023·全國(guó)甲卷(理)]函數(shù)y＝f(x)的圖象由函數(shù)y＝cos(2x＋eq\f(π,6))的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則y＝f(x)的圖象與直線y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．49．已知偶函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)－eq\r(3)cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在(0，1)上恰有2個(gè)極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍為()A．(2π，4π]B．(3π，4π]C．(4π，6π]D．(3π，5π]10．已知函數(shù)f(x)＝tan(2x＋eq\f(π,4))，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．f(x)的最小正周期為πB．f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z}C．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－eq\f(π,8)，0)對(duì)稱D．f(x)在(0，eq\f(π,8))上單調(diào)遞增11．在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．AB＝4eq\r(2)B．△ABC的面積為1C．△ABC外接圓直徑是5eq\r(2)D．△ABC內(nèi)切圓半徑是6－4eq\r(2)12．已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))，先將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，再將圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A．g(x)＝sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,6))B．g(x)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(7π,2)對(duì)稱C．g(x)的最小正周期為4πD．g(x)在(－3π，－eq\f(3π,2))上單調(diào)遞減[答題區(qū)]題號(hào)123456789101112答案二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．已知θ為第二象限角，若tan(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，則sinθ＋cosθ的值為_(kāi)_______．14．已知sin(x＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，x∈(0，π)，則sinx＝________．15．已知a>0，b>0，向量m＝(a＋2b，－9)，n＝(8，ab)，若m⊥n，則2a＋b的最小值為_(kāi)_______.16．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若2csinB＝(2a＋c)tanC，bsinAsinC＝eq\r(3)sinB，則△ABC面積的最小值是________．平面向量、三角函數(shù)與解三角形（6）1．D∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式兩邊同時(shí)平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.方法一又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且|a－c|＝|2a＋b|＝eq\r(（2a＋b）2)＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，|b－c|＝|a＋2b|＝eq\r(（a＋2b）2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，∴cos〈a－c，b－c〉＝eq\f(（a－c）·（b－c）,|a－c|·|b－c|)＝eq\f(4,5)，故選D.方法二如圖，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－c，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－c，而|AB|＝eq\r(2)，|AC|＝|BC|＝eq\r(5)，在△ABC中，由余弦定理得cos〈a－c，b－c〉＝cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))〉＝cos∠ACB＝eq\f(5＋5－2,2\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，故選D.方法三如圖（圖同方法二），令向量a，b的起點(diǎn)均為O，終點(diǎn)分別為A，B，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則a＝（1，0），b＝（0，1），c＝－a－b＝（－1，－1），∴a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），則cos〈a－c，b－c〉＝eq\f(（a－c）·（b－c）,|a－c|·|b－c|)＝eq\f(2＋2,\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，故選D.2．B由a·b＝4可得2（1－x）＋（3＋x）（1＋x）＝4，即x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，所以a＝（2，2），b＝（2，0），則cos〈a，b〉＝eq\f(4,2\r(2)×2)＝eq\f(\r(2),2).又〈a，b〉∈[0，π]，所以a與b的夾角為eq\f(π,4).故選B.3．C（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)<0，∵θ∈（0，π），∴θ∈（eq\f(π,2)，π），sinθ>cosθ，（sinθ－cosθ）2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，所以sinθ－cosθ＝eq\f(7,5).故選C.4．C∵f（x）兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為eq\f(π,2)，∴f（x）最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x＋eq\f(π,6)）－1，令2x＋eq\f(π,6)＝kπ（k∈Z），解得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)（k∈Z），此時(shí)f（x）＝－1，∴f（x）的對(duì)稱中心為（eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)，－1）（k∈Z），當(dāng)k＝0時(shí)，f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（－eq\f(π,12)，－1）.故選C.5．B由2a·cosB＝c以及余弦定理得2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c，化簡(jiǎn)得a＝b，所以三角形的形狀一定是等腰三角形．故選B.6．Ceq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos（180°－60°）＝6×5×（－eq\f(1,2)）＝－15.故選C.7．D令f（x）＝eq\f(xsinx,e|x|)，該函數(shù)的定義域?yàn)镽，f（－x）＝eq\f(－xsin（－x）,e|－x|)＝eq\f(xsinx,e|x|)＝f（x），所以，函數(shù)y＝eq\f(xsinx,e|x|)為偶函數(shù)，排除AB選項(xiàng)；當(dāng)0<x<π時(shí)，sinx>0，則y＝eq\f(xsinx,e|x|)>0，排除C選項(xiàng)．故選D.8．C把函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)f（x）＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x的圖象．作出函數(shù)f（x）的部分圖象和直線y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)如圖所示．觀察圖象知，共有3個(gè)交點(diǎn)．故選C.9．Df（x）＝sin（ωx＋φ）－eq\r(3)cos（ωx＋φ）＝2sin（ωx＋φ－eq\f(π,3)），因?yàn)閨φ|<eq\f(π,2)，則－eq\f(5π,6)<φ－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)，故f（0）＝2sin（φ－eq\f(π,3)），又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故φ－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，解得φ＝－eq\f(π,6)，故f（x）＝2sin（ωx－eq\f(π,2)）＝－2cosωx，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，1）上恰有2個(gè)極大值，故當(dāng)x＝1時(shí)，3π<ω×1≤5π，即3π<ω≤5π.故選D.10．A由題意，函數(shù)f（x）＝tan（2x＋eq\f(π,4)），可得f（x）的最小正周期為T＝eq\f(π,2)，所以A不正確；令2x＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z}，所以B正確；令2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，解得x＝－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,4)，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，可得x＝－eq\f(π,8)，所以函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（－eq\f(π,8)，0）對(duì)稱，所以C正確；由x∈（0，eq\f(π,8)），可得2x＋eq\f(π,4)∈（eq\f(π,4)，eq\f(π,2)），根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）在（0，eq\f(π,8)）上單調(diào)遞增，所以D正確．故選A.11．BcosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝－eq\f(3,5)，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝25＋1＋6＝32，故AB＝4eq\r(2)，A正確；sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(4,5)，故S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AC·sinC＝2，B錯(cuò)誤；由正弦定理知，外接圓直徑為eq\f(AB,sinC)＝eq\f(4\r(2),\f(4,5))＝5eq\r(2)，C正確；設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則eq\f(1,2)r·AB＋eq\f(1,2)r·AC＋eq\f(1,2)r·BC＝S△ABC，則r＝eq\f(2×2,1＋5＋4\r(2))＝6－4eq\r(2)，D正確．故選B.12．A對(duì)于A選項(xiàng)，將y＝f（x）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，可得到函數(shù)y＝sin（eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3)）的圖象，再將所得圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)g（x）＝sin[eq\f(1,2)（x－eq\f(π,6)）＋eq\f(π,3)]＝sin（eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)）的圖象，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，g（－eq\f(7π,2)）＝sin（－eq\f(7π,4)＋eq\f(π,4)）＝sin（－eq\f(3π,2)）＝1，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)g（x）的最小正周期為T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)－3π<x<－eq\f(3π,2)時(shí)，－eq\f(5π,4)<eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)<－eq\f(π,2)，所以，函數(shù)g（x）在區(qū)間（－3π，－eq\f(3π,2)）上單調(diào)遞減，D對(duì)．故選A.13．答案：－eq\f(\r(10),5)解析：由tan（θ＋eq\f(π,4)）＝eq\f(tanθ＋1,1－tanθ)＝eq\f(1,2)，解得tanθ＝－eq\f(1,3)，即eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(1,3)，即3sinθ＋cosθ＝0，根據(jù)角θ在第二象限，由3sinθ＋cosθ＝0sin2θ＋cos2θ＝1解得sinθ＝eq\f(\r(10),10)，cosθ＝－eq\f(3\r(10),10)，所以sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(10),5).14．答案：eq\f(\r(2)＋4,6)解析：由x∈（0，π），可得x＋eq\f(π,4)∈（eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)），因?yàn)閟in（x＋eq\f(π,4)）＝eq\f(1,3)<eq\f(\r(2),2)＝sineq\f(π,4)，所以x＋eq\f(π,4)∈（eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)），所以cos（x＋eq\f(π,4)）＝eq\f(2\r(2),3)，又由sinx＝sin[（x＋eq\f(π,4)）－eq\f(π,4)]＝eq\f(\r(2),2)sin（x＋eq\f(π,4)）－eq\f(\r(2),2)cos（x＋eq\f(π,4)）＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,3)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(\r(2)＋4,6).15．答案：8解析：根據(jù)題意，向量m＝（a＋2b，－9），n＝（8，ab），若m⊥n，則m·n＝8（a＋2b）－9ab＝0，即8（a＋2b）＝9ab，變形可得eq\f(1,b)＋eq\f(2,a)＝eq\f(9,8)，則2a＋b＝eq\f(8,9)×eq\f(9,8)（2a＋b）＝eq\f(8,9)×