高職高等數(shù)學(xué)-函數(shù)

第1講函數(shù)

2014-10-91/4/2024一函數(shù)的概念二函數(shù)的表示方法三分段函數(shù)四反函數(shù)五初等函數(shù)六函數(shù)的幾種性質(zhì)1/4/2024一函數(shù)的概念

常量與變量定義設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x和y，變量y隨著x的變化而變化，當(dāng)x在一個(gè)非空數(shù)集D上任取一值時(shí)，y依照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則f總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y是變量x的函數(shù)。記為1/4/2024其中,x叫做自變量，y叫做因變量或函數(shù)。數(shù)集D稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，記為D（f）。當(dāng)自變量x在其定義域內(nèi)取某確定值x0時(shí)，因變量y按照所給的函數(shù)關(guān)系（對(duì)應(yīng)法則），求出的對(duì)應(yīng)值y0，稱做當(dāng)x=x0時(shí)的函數(shù)值。記為

相應(yīng)地，y值的集合稱為函數(shù)y=f(x）的值域。

或1/4/2024注意

1.函數(shù)的定義有兩個(gè)要素，即定義域(D)與對(duì)應(yīng)規(guī)則(f)。所以，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則完全相同時(shí)，他們才是同一個(gè)函數(shù)。

2.函數(shù)的定義域D，要符合客觀要求。如：身高、體重等不能小于0;……

1/4/20243.求函數(shù)定義域時(shí)，要注意：分式中分母不為0;根式中負(fù)數(shù)不能開偶次根；對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0…

4.對(duì)于特殊函數(shù)——反三角函數(shù)(arcsinx等)，除定義域與法則以外，數(shù)學(xué)上同時(shí)也規(guī)定了它的值域。1/4/20241/4/2024二函數(shù)的表示方法常用的表示方法有三種：解析法（公式法）、表格法和圖示法。

(1)解析法是指用解析表達(dá)式（或公式）去表示函數(shù)關(guān)系。例如

1/4/2024

(2)表格法是用列表的方法來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，例如水文監(jiān)測(cè)站統(tǒng)計(jì)了某河流20年內(nèi)平均月流量V，如表1.1所示。

表1.1

這是用表格表示的函數(shù)，當(dāng)自變量x取1～12之間任意一個(gè)整數(shù)時(shí)，從表格里可得出y的一個(gè)對(duì)應(yīng)值。x月份123456789101112y平均月流量V/億m0.320.290.470.640.330.774.14.23.71.90.90.721/4/2024

(3)圖示法是用直角坐標(biāo)系x0y平面上的曲線表示函數(shù)關(guān)系

1/4/2024三分段函數(shù)例它們的圖形如下：-1101/4/2024寫出下面函數(shù)關(guān)系的表達(dá)式例：學(xué)校外超市，由于期假貨物積壓，現(xiàn)物價(jià)促銷，可樂(lè)原價(jià)2.50元/罐，現(xiàn)促銷如下：10罐以上（含）8折，20罐以上（含）7折。請(qǐng)寫出此時(shí)可樂(lè)的銷售量（Q）與銷售收入（R）之間的關(guān)系函數(shù)。1/4/2024四反函數(shù)定義設(shè)給定y是x的函數(shù)，，如果對(duì)其值域R中的任一值y，都可通過(guò)關(guān)系式在其定義域D中確定唯一的一個(gè)x與之對(duì)應(yīng)，則得到一個(gè)定義在R上的以y為自變量，x為因變量的函數(shù)，我們稱其為的反函數(shù)。記為

1/4/20241/4/2024Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)是單值函數(shù)什么樣的函數(shù)存在單值的反函數(shù)？1/4/2024Oxy-xxy=x2yy=x2的反函數(shù)是多值函數(shù)：x=

。把x限制在區(qū)間[0,)，則y=x2的反函數(shù)是單值的，即x=。它稱為函數(shù)y=x2的反函數(shù)的一個(gè)單值分支。反函數(shù)的單值分支：另一個(gè)單值分支為x=-

。1/4/2024在數(shù)學(xué)中，習(xí)慣上自變量用x表示，因變量用y表示。按此習(xí)慣，我們把函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)x=j(y)改寫成y=j(x)。例如y=x2的反函數(shù)寫為y=。反函數(shù)的圖形：反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關(guān)于反函數(shù)的變量符號(hào)：1/4/2024五初等函數(shù)

1.5.1基本初等函數(shù)及其圖形下列函數(shù)稱為基本初等函數(shù)常量：y=c（C為常數(shù)）(2)冪函數(shù)：(3)指數(shù)函數(shù)：(4)對(duì)數(shù)函數(shù)：(5)三角函數(shù)：(6)反三角函數(shù)：1/4/20241.5.2復(fù)合函數(shù)定義，函數(shù)的值域的全部或一部分包含在函數(shù)的定義域內(nèi)，則對(duì)的定義域內(nèi)的某些x，有

此函數(shù)稱函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中u稱為中間變量。重點(diǎn)掌握復(fù)合函數(shù)的分解1/4/2024注意

不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，例如，，就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，因?yàn)榈亩x域中的任何值x所對(duì)應(yīng)的u值都大于或等于2，即全部落在的定義域之外。1/4/2024例已知求的表達(dá)式。解：令解出

將u換成x，得出

例

設(shè)，求復(fù)合函數(shù)的定義域。解：已知的定義域?yàn)椋碵-3，3]；的定義域?yàn)?。由得定義域?yàn)閇-4，2]。1/4/20241.5.3初等函數(shù)定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算及有限次復(fù)合過(guò)程所構(gòu)成的函數(shù)，叫作初等函數(shù)。

例如

等等。1/4/2024六函數(shù)的幾種性質(zhì)

1.6.1函數(shù)的單調(diào)性定義設(shè)函數(shù)定義在D上：1/4/20241.6.2函數(shù)的奇偶性定義3設(shè)函數(shù)在D上有定義，（1）若對(duì)于任意的恒有則稱f(x)為偶函數(shù)。（2）對(duì)于任意的恒有，則稱f(x)為奇函數(shù)。注意

當(dāng)函數(shù)具有奇偶性時(shí)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，即若,則。偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。1/4/2024Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數(shù)舉例：y=x2，y=cosx都是偶函數(shù)偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果對(duì)于任意的x

D，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。1/4/2024奇偶函數(shù)舉例：

y=x3，y=sinx都是奇函數(shù)。101x-22y如果對(duì)于任意的x

D，有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。1/4/2024例判定函數(shù)的奇偶性1/4/20241.6.3函數(shù)的周期性定義

若存在常數(shù)，對(duì)任意的x，恒有，則稱為周期函數(shù)。使得上述等式成立的最小正數(shù)T，稱為的最小正周期，簡(jiǎn)稱函數(shù)的周期。例，就是一個(gè)周期函數(shù)，它的周期為。1/4/20241.6.4函數(shù)的有界性定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，若存在正數(shù)使得對(duì)于任意的，恒有，則稱函數(shù)在（a，b）內(nèi)是有界的。否則，稱函數(shù)在（a，b）內(nèi)是無(wú)界的。例如

函數(shù)在