直線與圓復(fù)習(xí)

直線與圓復(fù)習(xí)課高三文科2023.

[備考方向要明了]考

什

么1.理解直線的傾斜角和斜率的概念及相互間的關(guān)系，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．2.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.怎

么

考1.直線方程的求法是命題的熱點(diǎn)．多與兩直線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系相結(jié)合交匯命題．2.題型多為客觀題，難度中等，著重考查學(xué)生的綜合應(yīng)用

能力.一、直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角(1)定義：x軸

與直線

的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角．當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為

.(2)傾斜角的范圍為

．正向向上0°[0，π)正切值tanα二、直線方程的形式及適用條件名稱幾何條件方程局限性點(diǎn)斜式過點(diǎn)(x0，y0)，斜率為k不含的直線斜截式斜率為k，縱截距為b不含的直線兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)不包括

的直線y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b垂直于x軸垂直于x軸垂直于坐標(biāo)軸名稱幾何條件方程局限性截距式在x軸、y軸上的截距分別為a，b(a，b≠0)不包括

和

的直線一般式垂直于坐標(biāo)軸過原點(diǎn)Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)答案：B答案：A3．直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，那么a的值是 ()A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1答案：D5．(教材習(xí)題改編)過點(diǎn)M(3，－4)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為________．1．直線的傾斜角與斜率的關(guān)系斜率k是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)傾斜角α≠90°時(shí)，k＝tanα.直線都有斜傾角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為90°的直線無斜率．2．直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距式等都是直線方程的特殊形式，其中點(diǎn)斜式是最根本的，其他形式的方程皆可由它推導(dǎo)．直線方程的特殊形式都具有明顯的幾何意義，但又都有一些特定的限制條件，如點(diǎn)斜式方程的使用要求直線存在斜率；截距式方程的使用要求橫縱截距都存在且均不為零；兩點(diǎn)式方程的使用要求直線不與坐標(biāo)軸垂直．因此應(yīng)用時(shí)要注意它們各自適用的范圍，以防止漏解．[答案]

B[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)答案：B[沖關(guān)錦囊]1．求傾斜角的取值范圍的一般步驟(1)求出斜率k＝tanα的取值范圍．(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖像或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角α的取值范圍．2．求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在.[精析考題][例2](2023·龍巖期末)△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程．答案：A3．(2023·溫州模擬)A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，那么△ABC的BC邊上的高所在直線方程為()A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0答案：

B答案：A求直線方程的方法主要有以下兩種(1)直接法：根據(jù)條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程，再根據(jù)條件求出待定系數(shù)，最后代入求出直線方程.[沖關(guān)錦囊][精析考題][例3]直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過定點(diǎn)；(2)假設(shè)直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；[自主解答](1)證明：法一：直線l的方程可化為y＝k(x＋2)＋1，故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)(－2,1)．法二：設(shè)直線過定點(diǎn)(x0，y0)，那么kx0－y0＋1＋2k＝0對任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直線l總過定點(diǎn)(－2,1)．[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)5．(2023·東北三校聯(lián)考)直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)．(1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程是__________；(2)當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，直線l的方程是________________．答案：(1)x＋2y－4＝0

(2)x＋y－3＝0[沖關(guān)錦囊]1．解決直線方程的綜合問題時(shí)，除靈活選擇方程的形式外，還要注意題目中的隱含條件．2．與直線方程有關(guān)的最值或范圍問題可以數(shù)形結(jié)合也可從函數(shù)角度考慮構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)進(jìn)而轉(zhuǎn)化求最值．

[備考方向要明了]考

什

么1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直．2.會(huì)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離.怎

么

考1.兩條直線的平行與垂直，點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)間距離

是命題的熱點(diǎn)．2.對于距離問題多融入解答題中，注重考查分類討論與數(shù)

形結(jié)合思想．題型多為客觀題，難度中低檔.一、兩條直線的位置關(guān)系k1≠k2A1B2－A2B1k1k2＝－1A1A2＋B1B2k1＝k2斜截式一般式A1B2－A2B1B2C1－B1C2A1B2－A2B1A1C2－A2C1b1＝b2斜截式一般式重合

且

A1＝A2，B1＝B2，C1＝C2(≠0)(當(dāng)A2B2≠0時(shí)，記為)b1＝b2k1＝k2相交交點(diǎn)坐標(biāo)無解平行三、幾種距離1．兩點(diǎn)間的距離:平面上的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)間的距離公式d(A，B)＝|AB|＝.2．點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P(x1，y1)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝

.3．兩條平行線間的距離：兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.答案：

D答案：A2．過點(diǎn)(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是(

)A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案：

A解析：由a×1＋1×(－2)＝0，∴a＝2.4．(教材習(xí)題改編)假設(shè)兩直線x＋ay＋3＝0與3x－2y＋a＝0平行，那么a＝________.5．與直線7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距離等于3的直線方程是________．答案：7x＋24y－80＝0或7x＋24y＋70＝01.一般情況下，與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋n＝0，在用待定系數(shù)法求直線方程時(shí)，這種設(shè)法可以防止對斜率是否存在的討論．2.在使用點(diǎn)到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式時(shí)直線方程必須先化為Ax＋By＋C＝0形式后才能指出A，B，C的值，否那么會(huì)出錯(cuò)．[答案]

1[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)1．(2023·長沙模擬)過點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.假設(shè)l1∥l2，l2⊥l3，那么實(shí)數(shù)m＋n的值為()A．－10 B．－2C．0 D．8答案：

A2．(2023·深圳第一次調(diào)研)p：直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，那么p是q的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：由于直線l1：x－y－1＝0與直線l2：x＋ay－2＝0平行的充要條件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.答案：A[沖關(guān)錦囊](1)充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決此題的關(guān)鍵，對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.假設(shè)有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意．(2)①假設(shè)直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：直線l1⊥l2的充要條件是k1·k2＝－1.②設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.那么：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.[精析考題][例2](2023·北京高考)點(diǎn)A(0,2)，B(2,0)．假設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)y＝x2的圖像上，那么使得△ABC的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為 ()A．4 B．3C．2 D．1[答案]

A答案：B答案：

①③④(1)對于直線恒過定點(diǎn)的探索，可轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點(diǎn)

問題，即取兩種特殊情況的直線求其交點(diǎn)即可．(2)利用兩平行線間距離公式時(shí)注意C1，C2的值是x，y的系數(shù)相同且直線方程都是一般式時(shí)對應(yīng)的值．[沖關(guān)錦囊][精析考題][例3](2023·皖南八校聯(lián)考)直線2x－y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是 ()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0[自主解答]

由題意可知，直線2x－y＋1＝0與直線x＝1的交點(diǎn)為(1,3)，直線2x－y＋1＝0的傾斜角與所求直線的傾斜角互補(bǔ)，因此它們的斜率互為相反數(shù)，直線2x－y＋1＝0的斜率為2，故所求直線的斜率為－2，所以所求直線方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.[答案]

C將本例條件變?yōu)榍笾本€2x－y＋1＝0關(guān)于直線x－2y－1＝0的對稱的直線方程．[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)答案：

A解析：由條件知以(10,0)和(－6,8)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線為y＝2x，那么求與點(diǎn)A(－4,2)重合的點(diǎn)即為求點(diǎn)(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點(diǎn)，求得為(4，－2)．答案：A[沖關(guān)錦囊][考題范例](2023·安慶模擬)平面直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)A(1,1)的距離為1，且與點(diǎn)B(－2，－3)的距離為6的直線條數(shù)為________．[巧妙運(yùn)用]∵|AB|＝5，∴以A為圓心，半徑為1的圓(x－1)2＋(y－1)2＝1與以B為圓心，半徑為6的圓(x＋2)2＋(y＋3)2＝36內(nèi)切．∴與A距離為1，與B距離為6的直線只有過兩圓公共切點(diǎn)并與兩圓都相切的一條直線．答案：1[題后悟道]解決此題時(shí)，假設(shè)直接設(shè)出直線方程利用A點(diǎn)與B點(diǎn)到其距離去求解，無從入手，思路會(huì)受阻．假設(shè)將點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離即所探求的直線轉(zhuǎn)化為同時(shí)以A、B為圓心的圓的切線問題，思路便清晰且易解決．

[備考方向要明了]考

什

么1.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題.

怎

么

考1.求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo)，半徑是高考的

熱點(diǎn)，多與直線相結(jié)合命題，著重考查待定系數(shù)法求圓的方程，同時(shí)注意方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．2．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題.一、圓的定義及方程定義平面內(nèi)與

的距離等于

的點(diǎn)的集合(軌跡)限定條件標(biāo)準(zhǔn)方程圓心：(

)，半徑：r>0一般方程圓心：()，半徑：

D2＋E2－>0定點(diǎn)定長(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0a，br二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系(1)假設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)在圓上，那么；(2)假設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)在圓外，那么；(3)假設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)在圓內(nèi)，那么.(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r21．(教材習(xí)題改編)圓心在y軸上，半徑為1且過點(diǎn)(－1,2)的圓的方程為 (

)A．x2＋(y－3)2＝1

B．x2＋(y－2)2＝1C．(x－2)2＋y2＝1 D．(x＋2)2＋y2＝1答案：

B解析：設(shè)圓心(0，b)，半徑為r.那么r＝1.∴x2＋(y－b)2＝1.又過點(diǎn)(－1,2)代入得b＝2，∴圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.2．過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是 (

)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案：

C答案：

B4．圓心在原點(diǎn)且與直線x＋y－2＝0相切的圓的方程為________．答案：x2＋y2＝25．假設(shè)點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：

(－1,1)解析：由條件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，即2＋2a2<4.∴a2<1.即－1<a<1.1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是：(1)B＝0

(2)A＝C≠0

(3)D2＋E2－4AF>0.2．確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的幾個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．[精析考題][例1](2023·遼寧高考)圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，那么C的方程為________．[答案]

(x－2)2＋y2＝10[巧練模擬]——————(課堂突破保分題，分分必保！)1．(2023·濟(jì)南模擬)假設(shè)圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，那么該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案：

A2．(2023·銀川模擬)圓心在y軸上且通過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，那么該圓的方程是 ()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：設(shè)圓心為(0，b)，半徑為R，那么R＝|b|，∴圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2.∵點(diǎn)(3,1)在圓上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5.∴圓的方程為x2＋y2－10y＝0.答案：

B[沖關(guān)錦囊]1．利用圓的幾何性質(zhì)求方程：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．2．利用待定系數(shù)法求圓的方程：(1)假設(shè)條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，那么設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)假設(shè)條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，那么選擇圓的一般方程，依據(jù)條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，從而求出D，E，F(xiàn)的值.[答案]

B答案：

A[沖關(guān)錦囊][精析考題][例3](2023·廣東高考)設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，那么C的圓心軌跡為 ()A．拋物線 B．雙曲線C．橢圓 D．圓[答案]

A將本例條件變?yōu)椤皥AC與圓O1x2＋(y－3)2＝1和圓O2x2＋(y＋3)2＝9都外切〞，仍然求圓C的圓心的軌跡．解：設(shè)圓C的圓心為(x，y)，半徑為r.由O1(0,3)，r1＝1，O2(0，－3)，r2＝3.∴|CO2|－|CO1|＝2<6，故圓心C的軌跡為以O(shè)1，O2為焦點(diǎn)的雙曲線的上半支．[巧練模擬]—————(課堂突破保分題，分分必保！)5．(2023·溫州模擬)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案：

A[沖關(guān)錦囊]求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下做法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)直線、圓、圓錐曲線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，代入點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．?dāng)?shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合定“圓形〞，巧設(shè)方程求半徑[考題范例](2023·重慶高考)設(shè)圓C位于拋物線y2＝2x與直線x＝3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，那么圓C的半徑能取到的最大值為________．[題后悟道]1．此題重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合思想在求圓的半徑(方程)中的應(yīng)用．2．解決此題需要分兩步走：第一步：定形，即確定圓的半徑最大時(shí)圓C的位置和形狀．第二步：定量，在確定圓的位置和形狀后，利用待定系數(shù)法求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑．3．此題求解過程中易忽條件3－a<a，忽略這一點(diǎn)，圓C有可能不在題目要求的封閉區(qū)域內(nèi)．

[備考方向要明了]考

什

么1.能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題.怎

么

考1.直線與圓的位置關(guān)系，特別是直線與圓相切一直是高考

考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．2.多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也出現(xiàn)在綜合性

較強(qiáng)的解答題中.一、直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)

0

0

0幾何觀點(diǎn)d

rd

rd

r＜＝＞＞＝＜二、圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1、⊙O2半徑r1、r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d＞

r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|1．(教材習(xí)題改編)直線l：y－1＝k(x－1)和圓x2＋y2－2y＝0的位置關(guān)系是 (

)A．相離B．相交C．相切

D．相切或相交答案：

B答案：

D3．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有(

)A．1條

B．2條C．3條

D．4條答案：

B解析：可判斷圓C1與C2相交，故公切線有兩條．4．(教材習(xí)題改編)直線x－y＋2＝0被圓x2＋y2＋4x－4y－8＝0截得的弦長等于________．5．圓C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圓C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，那么兩圓的公共弦所在的直線方程為________，公共弦長為________．解析：設(shè)兩圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么A、B兩點(diǎn)滿足方程x2＋y2＋2x－6y＋1＝0與x2＋y2－4x＋2y－11＝0，將兩個(gè)方程相減得3x－4y＋6＝0，即為兩圓公共弦所在直線的方程．易知圓C1的圓心(－1,3)，半徑r＝3，用點(diǎn)到直線的距離公式可以求得點(diǎn)C1到直線的距離為：2．兩圓的方程組成的方程組有一解或無解時(shí)．不能準(zhǔn)確地判定兩圓的位置關(guān)系，當(dāng)兩圓方程組成的方程組有一解時(shí)，兩圓有外切和內(nèi)切兩種可能情況．當(dāng)方程組無解時(shí)，兩圓有相離和內(nèi)含兩種可能情況