遼寧省朝陽市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2023-2024學(xué)年度朝陽市高一年級(jí)12月考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，若集合，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先解不等式求出集合A，再由補(bǔ)集的概念求解答案即可.【詳解】∵集合，∴或，故選：B．2.下列統(tǒng)計(jì)量中，能更好地度量樣本，，…，的離散程度的有（）A.樣本，，…，的眾數(shù) B.樣本，，…，的中位數(shù)C.樣本，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差 D.樣本，，…，的平均數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用眾數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，平均數(shù)定義及含義分析求解.【詳解】眾數(shù)、中位數(shù)是反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的量；平均數(shù)是反映數(shù)據(jù)的平均水平及集中趨勢(shì)的量；極差是最大值與最小值之差，能在一定程度上刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，但可能會(huì)忽略一些重要的信息，因此能更好地反映一組數(shù)據(jù)離散程度的是標(biāo)準(zhǔn)差.故選：C．3.函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，故，所以的零點(diǎn)一定在內(nèi).故選：B.4.“”是“函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充要條件的概念求解即可.【詳解】的對(duì)稱軸為，且圖象開口向上，則要使其在區(qū)間上是增函數(shù)，需，解得．當(dāng)時(shí)，，即對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，圖象開口向上，在區(qū)間上是增函數(shù)．故選：C．5.實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，B，C如圖所示，下列判斷正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸點(diǎn)的位置以及不等式相關(guān)性質(zhì)直接求解.【詳解】對(duì)于A，由數(shù)軸可得，，，所以，，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，，得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，即，又，所以，又，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，且由圖可知，即，所以，又，所以，故選項(xiàng)D正確．故選：D6.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先由題意有，若是上的減函數(shù)，故只需當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，從而列出不等式組，解不等式組即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，且最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，不符題意，又注意到是上的減函數(shù)，故只能拋物線的開口向下即，其對(duì)稱軸為，則由題意有，解得．故選：A.7.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)“分段法”求得正確答案.【詳解】由題意知，，即，，即，，又，即，∴．故選：C8.已知是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意，均有，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，由題可知在上單調(diào)遞增，結(jié)合是定義在上的奇函數(shù)可知，是定義域上的偶函數(shù)，得到在上單調(diào)遞減，再求出不等式的解集.【詳解】因?yàn)?，，所以，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，即，解得.當(dāng)時(shí)，，不滿足.因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)且在單調(diào)遞減，則，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，即，解得.綜上，不等式解集為.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某工廠為了了解一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品測(cè)量其長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中，其頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.B.估計(jì)產(chǎn)品長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是C.估計(jì)產(chǎn)品長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是D.估計(jì)產(chǎn)品長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)頻率和為1計(jì)算A正確，確定分位數(shù)位于內(nèi)，計(jì)算得到B正確，根據(jù)眾數(shù)定義計(jì)算得到C正確，計(jì)算平均數(shù)得到D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，解得，正確；對(duì)選項(xiàng)B：長(zhǎng)度在以下的比例為，長(zhǎng)度在以下的比例為，故分位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)為，則，解得，正確；對(duì)選項(xiàng)C：產(chǎn)品長(zhǎng)度的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，正確；對(duì)選項(xiàng)D：平均數(shù)為，錯(cuò)誤.故選：ABC.10.以下結(jié)論中，正確的是（）A.方程組的解集是B.若，則C.函數(shù)（且）的圖象過的定點(diǎn)坐標(biāo)為D.函數(shù)與函數(shù)是相同函數(shù)【答案】AB【解析】【分析】A選項(xiàng)消元法解方程組；B選項(xiàng)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式；C選項(xiàng)中可令得定點(diǎn)坐標(biāo)；D選項(xiàng)通過判斷兩函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同判斷函數(shù)相等.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，可得或，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以原方程組的解集為，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由，得，即，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，即，，故的圖象恒過點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，與函數(shù)定義域相同但對(duì)應(yīng)法則不同，故不是相同函數(shù)．故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AB．11.若x，．且，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由基本不等式和不等式的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；對(duì)于B，，，，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則有，變形可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故D正確；故選：ABD．12.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱C. D.【答案】AC【解析】【分析】由首先得出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，由此即可判斷AB，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，以及即可判斷CD.【詳解】由題意定義域?yàn)?，且滿足，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，A正確，B錯(cuò)誤．又在上遞增，故在上遞增．由，因?yàn)?，所以，則，所以，C正確，D錯(cuò)誤故選：AC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.______．【答案】10【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】．故答案為：10．14.不等式組的解集為，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先解不等式組，再結(jié)合解集為可確定a的取值范圍.【詳解】由得，因?yàn)椴坏仁浇M的解集為，所以，即a的取值范圍是．故答案為：．15.若是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則______．【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)的定義求出m的值，再結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或2，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意．故答案為：-1.16.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③函數(shù)_________．①在R上單調(diào)遞增；②；③．【答案】（答案不唯一，形如均可）【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及運(yùn)算得出.【詳解】對(duì)函數(shù)，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增；，.故答案為：（答案不唯一，形如均可）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若函數(shù)在上的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得正確答案.（2）根據(jù)的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，根據(jù)的最值求得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，即即，解得或，所以的解集是或．【小問2詳解】的對(duì)稱軸為，圖象開口向上，①當(dāng)，即時(shí)，，即，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，，即，不符合題意；③當(dāng)，即時(shí)，，無解，不符合題意．綜上，可得．18.已知函數(shù)，且．（1）求a的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的判斷．【答案】（1）（2）減函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）將代入求值；（2）利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性.【小問1詳解】由，得，解得．【小問2詳解】在區(qū)間上是減函數(shù)，證明過程如下：由（1）得，對(duì)任意，且，則，所以，由，得，，又由，得，于是，即，所以在區(qū)間上是減函數(shù)．19.已知a，b是一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．（1）求的值（用m表示）；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使成立？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由；（3）求的取值范圍．【答案】（1）（2）不存在實(shí)數(shù)m，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）利用判別式求得的范圍，然后根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求得正確答案.（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)已知等式，根據(jù)的范圍確定正確答案.（3）用表示，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍．【小問1詳解】因?yàn)橐辉畏匠?，所以，解得，且，即．由韋達(dá)定理可得，，．所以，的值為．【小問2詳解】由韋達(dá)定理可知．令，整理得，解得．由（1）可知，所以不存在實(shí)數(shù)m，使成立．【小問3詳解】，記，在和上單調(diào)遞減．由（1）知．所以．20.研究表明，過量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等問題，因而減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號(hào)召，2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備．通過市場(chǎng)分析，全年投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)（單位：百輛）新能源汽車需另投入成本（單位：萬元），且如果每輛車的售價(jià)為5萬元，且假設(shè)全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完．（注：利潤＝銷售額－成本）（1）求2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤．【答案】（1）（2）100百輛，最大利潤為1800萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)表達(dá)式結(jié)合利潤的求法即可得到函數(shù)關(guān)系；（2）分和,再分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求出其最值，再比較即可.【小問1詳解】∵∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故【小問2詳解】由（1）得當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故．∵，故當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1800萬元．21.已知，（1）用分段函數(shù)表示的解析式，作出其圖象；并指出函數(shù)的定義域與值域，單調(diào)區(qū)間；（2）解不等式；（3）討論直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并寫出實(shí)數(shù)a的取值范圍（不需要證明）．【答案】（1），作圖見解析，定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）采用分段討論法可求解析式，由解析式畫出圖形，結(jié)合圖形寫出的定義域與值域，單調(diào)區(qū)間；（2）采用分段討論法，解分段函數(shù)對(duì)應(yīng)不等式即可；（3）結(jié)合圖形可判斷，需討論三種情況下與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由可得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由可得，此時(shí)，.綜上所述，不等式的解集為.【小問3詳解】由（1）中的圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與圖象有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與圖象只有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與圖象有0個(gè)交點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線與圖象有2個(gè)交點(diǎn)