北京市各區(qū)2021年中考模擬數(shù)學(xué)試題匯編：三角形解答

北京市各區(qū)2021年中考模擬數(shù)學(xué)試題匯編:

三角形解答

1.(2021?海淀區(qū)校級(jí)模擬)如圖1,在宓中，NBAC=90°,AB=AC,BDLCD干點(diǎn)、D,連接力〃，在CD

上截取第，處CE=BD,連接力￡

圖2

(1)直接判斷然與血的位置關(guān)系

(2)如圖2,延長力。，第交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)￡作&?〃然交8c于點(diǎn)G,試判斷用與48之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明;

(3)在(2)的條件下，若AE=2,EC=V2.求)的長.

2.(2021?平谷區(qū)二模)在△?!&?中，/ACB=90°,AC=BC,G是熊邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作射線過點(diǎn)4

作AM1.”于點(diǎn)M,過點(diǎn)8作BNLC戶于點(diǎn)N.

(1)求證：CM=BN、

(2)取四中點(diǎn)0,連接0%、ON,依題意補(bǔ)全圖，猜想線段8從AM,隔的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3.(2021?順義區(qū)二模)如圖，。為N4必平分線上一點(diǎn)，CD//OB交OA于點(diǎn)、D.

求證：OD—CD.

-A

4.（2021?門頭溝區(qū)二模）已知：如圖，AB=DE,AF=DC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件可以得到及=中

補(bǔ)充的條件：.

5.（2021?房山區(qū)二模）如圖，AB=AD,』BAC=NDAC,ND=70°,求N8的度數(shù).

6.（2021?豐臺(tái)區(qū)二模）已知N的290°,點(diǎn)48分別在射線的ON上（不與點(diǎn)。重合），且%＞因

。平分N例W,線段48的垂直平分線分別與8,AB,0〃交于點(diǎn)C,D,E,連接第，在射線加上取點(diǎn)尸，

使得。尸=",連接CE

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：CB=CF；

(3)用等式表示線段好與熊之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

7.(2021?西城區(qū)二模)如圖，在△力比中，NACA90。,AXBC,點(diǎn)戶為外一點(diǎn)，點(diǎn)戶與點(diǎn)C位

于直線異側(cè)，且N4年=45°,過點(diǎn)C作必，〃，垂足為D.

(1)當(dāng)24為90°時(shí)，在圖1中補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段為戶與紗之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)NABS時(shí)，

①用等式表示線段42與3之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②在線段上取一點(diǎn)(使得N力的UN/CZ?,畫出圖形并直接寫出此時(shí)我的值.

8.(2021?昌平區(qū)二模)如圖，在等腰直角中，四=4C,N比1仁90°,點(diǎn)。是勿延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)

￡是延長線上一點(diǎn)，且AD=BE,過點(diǎn)4作DE的垂線交〃￡于點(diǎn)尸，交&7的延長線于點(diǎn)G.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)當(dāng)N4￡P(guān)=a,請(qǐng)你用含a的式子表示N4?C；

(3)用等式表示線段CG與4?之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明思路.

EE

備用圖

9.（2021?石景山區(qū)一模）閱讀下面材料：

小石遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,NABC=90。,巫分別是N他?的邊BA,比上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8重合），

N4紙與的角平分線交于點(diǎn)P,△〃維的周長為a,過點(diǎn)戶作必辦外于點(diǎn)M,PN1BC千點(diǎn)、N,求PMPN

與△，蛇的周長a的數(shù)量關(guān)系.

小石通過測量發(fā)現(xiàn)了垂線段戶附與磁的數(shù)量關(guān)系，從而構(gòu)造全等三角形和直角三角形，經(jīng)過推理和計(jì)算

使問題得到解決.

請(qǐng)回答：線段PM與朋的數(shù)量關(guān)系為;

P除PN與a的數(shù)量關(guān)系是.

參考小石思考問題的方法，解決問題：

如圖2,當(dāng)24仇?=60°時(shí)，其它條件不變，判斷點(diǎn)P到林的距離與△〃蛇的周長a的數(shù)量關(guān)系，并簡要

說明理由.

圖1圖2

10.（2021?門頭溝區(qū)一模）已知，如圖，ZvIbC是等邊三角形，劭，4C于。，￡是8c延長線上的一點(diǎn)，DB

=DE.求NE的度數(shù).

11.(2021?海淀區(qū)校級(jí)模擬)在RtZ\/8C中，NACB=90°,AC=BC,D,￡分別是射線力，射線8C上的

動(dòng)點(diǎn)，且滿足加=CE.連接〃￡,過點(diǎn)C作紙的垂線，垂足為尸，C尸交射線四于點(diǎn)G.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)伉E分別為線段4C,8c中點(diǎn)時(shí)，求證：DE=CG；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。，￡分別在線段/C與8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用等式表示線段4G與維的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,已知〃=2,當(dāng)點(diǎn)。，￡分別在線段力與8c的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若DF=4EF,直接寫出此

時(shí)線段CG的長.

12.(2021?朝陽區(qū)模擬)在幾何的證明中，經(jīng)?？梢酝ㄟ^“作一個(gè)角等于已知角，作一條線段等于已知線

段”或者“過一點(diǎn)作已知直線的平行線，過一點(diǎn)作已知直線的垂線”的方式添加輔助線，解決問題.

例如，證明“等腰三角形腰上的高與底邊所夾的角等于頂角的一半”.

即“已知：如圖，在△胸中，AB=AC,CDLAB.求證：.

證明的兩種方法雖然不同，但總體思路基本一致.

方法一方法二

如圖，作N仍C的平分線然交8c于點(diǎn)￡通過如圖，過點(diǎn)。作射線如交四于點(diǎn)￡使NDCE

作等角，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)=^DCB,通過作等角，利用“全等三角形對(duì)應(yīng)

和“三角形內(nèi)角和定理”，即可證明.角相等”，“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”和

“三角形內(nèi)角和定理”即可證明.

參考以上內(nèi)容，求證“若三角形的兩邊不等，則大邊同這邊上的高的和，一定大于小邊同這邊上的高的

13.(2021?朝陽區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在等邊三角形48C右側(cè)作射線。，NACP^Q(00<a<60°),點(diǎn)

/關(guān)于射線。的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4做交%于點(diǎn)￡,連接4?,AE.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求NO8c的大小(用含a的代數(shù)式表示)；

(3)直接寫出N/E8的度數(shù)；

(4)用等式表示線段BD,然之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

14.（2021?西城區(qū)校級(jí)模擬）（1）小板同學(xué)在網(wǎng)絡(luò)直播課中學(xué)習(xí)了勾股定理，他想把這一知識(shí)應(yīng)用在等

邊三角形中：邊長為a的等邊三角形面積是（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）小的同學(xué)進(jìn)一步思考：是否可以將正方形剪拼成一個(gè)等邊三角形（不重疊、無縫隙）？

①如果將一個(gè)邊長為2的正方形紙片剪拼等邊三角形，那么該三角形邊長的平方

是；

②小的同學(xué)按下圖切割方法將正方形48⑺剪拼成一個(gè)等邊三角形EFG：M、N分別為48、c邊上的中點(diǎn)，

P、。是邊8C、4?上兩點(diǎn)，G為他上一點(diǎn)，目NMGP=NPGN=NNGQ=60°.

請(qǐng)補(bǔ)全圖形，畫出拼成正三角形的各部分分割線，并標(biāo)號(hào)；

③正方形的邊長為2,設(shè)為x,則必=.

15.（2021?北京模擬）如圖，四邊形4及浦中，AB//CD,CD=AD,AADC=6Q°,對(duì)角線劭平分N48C交

AC干點(diǎn)、P.如是N4C8的角平分線，交劭于點(diǎn)0.

（1）請(qǐng)求出N仍C的度數(shù)；

（2）試用等式表示線段南、BC、少之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

16.（2020?西城區(qū)一模）如圖，在等腰直角中，N4第=90°.點(diǎn)戶在線段8c上，延長8c至點(diǎn)

使得。仁3,連接死AO.過點(diǎn)8作劭，%于點(diǎn)。，交AP于點(diǎn)、E,交4C于點(diǎn)尸.K是線段上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)4。不重合），過點(diǎn)｛作GNLAP于氤H,交48于點(diǎn)G,交4C于點(diǎn)M,交出的延長線于點(diǎn)N.

(1)依題意補(bǔ)全圖1;

(2)求證：N4NF；

若AM=CP,用等式表示線段4F,G（與歌之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

17.（2021?北京模擬）已知N4必=30°,〃為射線）上一定點(diǎn)，。/=后1,P為射線仍上一點(diǎn)，附為線

段加上一動(dòng)點(diǎn)，連接朋滿足/戚為鈍角，以點(diǎn)戶為中心，將線段掰順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。，得到線段

PN,連接CW.

（1）依題意補(bǔ)全圖1;

(2)求證：ZOMP^ZOPN-,

(3)點(diǎn)"關(guān)于點(diǎn)，的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接QP.寫出一個(gè)華的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)〃總有ON=QP,并證

明.

18.(2021?海淀區(qū)一模)如圖，在△?!&?中，AB=AC,^BAC=AQQ,作射線陽AACM=QQa.。在射線

CM上,連接加，￡是段的中點(diǎn)，C關(guān)于點(diǎn)￡的對(duì)稱點(diǎn)為尸，連接〃尸.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)判斷力8與相的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)平面內(nèi)一點(diǎn)G,使得。G=〃C,FG=FB,求NCAG的值.

備用圖

19.(2021?房山區(qū)一模)已知：在。中，N/l=45°,NABXa,以8c為斜邊作等腰Rt△劭C,使得

4〃兩點(diǎn)在直線外的同側(cè)，過點(diǎn)〃作。于點(diǎn)￡.

(1)如圖1,當(dāng)a=20°時(shí)，

①求NCZE的度數(shù)；

②判斷線段與維的數(shù)量關(guān)系；

(2)若45°<aV90°,線段與宏的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？依題意補(bǔ)全圖2,并證明.

cc

圖1圖2

20.(2021?平谷區(qū)一模)在中，NACB=90。，AC=BC,。是直線上一點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)4、8重合)，

連接外并延長到￡,使得醫(yī)=3，過點(diǎn)日乍日」直線成7,交直線8c于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。為線段的上任意一點(diǎn)時(shí)，用等式表示線段￡尸、CF、4c的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。為線段班的延長線上一點(diǎn)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,猜想線段爐、CF、4C的數(shù)量關(guān)系

是否發(fā)生改變，并證明.

參考答案

1.【分析】(1)利用倒6定理證明△/!，慮△/劭，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義證明結(jié)論；

(2)過點(diǎn)8作3”!被交配于點(diǎn)的,證明ACE儂△8MF,得到CG=BF,進(jìn)而證明&A8C,根據(jù)等腰直

角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案；

(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DE,進(jìn)而求出CD,證明△應(yīng)Gs/xa巴根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列

出方程，解方程求出G￡

【解答】解：(1)AELAD^

理由如下：,:ZBDF=ZBAXQG,/DFB=4AFC,

：.NDBA=NACE,

在△4?￡和44劭中，

'CE=BD

-ZACE=ZABD,

AC=AB

.,.△ACE94ABD(SAS),

ZEAC=NBAD,

?：ZBAB-ZEAC=90°,

：.NBAB~ZBAD=9Q°,即NZZ4E=90°,

：.AErAD-,

(2)FG=y[2AB,

理由如下：過點(diǎn)、B作BMLBD交DF于煎M,

?:XACE沿IXABD、

：.AE^AD,

■：AE^.AD,

；.N40E=45°,

BD1.CD,

:.NBDQ45°,

.?.△氏湖為等腰直角三角形，

:.BMBM,

:.CE=BM,

■：EG//AF,

：?NEGC=NMFB、

■:Z.FB帆■4ABD=A5°,ZGCB-ZACE=45°,

，F(xiàn)BM=/GCE、

:ZEGQXBMFQAAS,

:?CG=BF、

；.CaBG=BRBG,

：.FG=BC,

'''BC=

.'.FG=史1AB；

(3)-：AD=AE=2,為等腰直角三角形,

；.DE=?AE=2近,

--CE=y/2,

?1?^^3V2>

'：BD=CE=-72，

；.DM=?BD=2,

'：△CEG^XBMF、

：.EG=FM,

設(shè)EG=FM=x,

:.DF=2+x、

?：EG//DF,

:.叢CEGs^CDF、

■EG_CE即x_&

"DFCD'x+23V2)

解得，x=1,

：.EG=\.

圖2

D

圖1

2.【分析】（1）由題意補(bǔ)全圖形，證明儂（加5）,由全等三角形的性質(zhì)可得出。U8M

（2）連接0C,證明修△沏（弘5）,由全等三角形的性質(zhì)可得出加。乂COM=NCOM=NBON,

由等腰直角三角形的性質(zhì)得出解右、乃陽則可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖，

N4/=NM?=90°,

；.NAC雌NCAM=9Q°,

,:NACB=9Q°,

：./AC他/BCN=9Q°,

:./CA44BCN,

■：AC=BC,

，△力。但△渤（445）,

：.CM=BN.

（2）依題意補(bǔ)全圖形如圖,

結(jié)論：AMBN=近0時(shí).

證明：連接0C,

???N478=90。,AC=BC,0是48的中點(diǎn)，

：.OC=OB,NAC0=NCB0=45。,

'：XAC旭XCBN、

：.AM=CN,ZOCM^^ACO=ZCBO^ZOBN,

???NOCM=ZOBN,

?:CM=BN,

儂△期（SIS）,

：、OM=ON、COM=Z.COM=Z.BON,

YNCO卅/M0B=9G°,

B0N^/M0B=9QQ,

/.ZM0N=9Q°,

：.AM=CN=C*MN=BM6pM.

3.【分析】由角平分線的性質(zhì)可得N4比=N80C,由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得N，g=N80a貝l]N40C

="C0,由等角對(duì)等邊即可得解.

【解答】證明：TOC平分N45,

???NA0C=NB0C,

?JCD//0B,

/.NDCO=NBOC,

：./AOC=4DC0,

/.0D=CD.

4.【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，即可補(bǔ)充條件.

【解答】解：補(bǔ)充條件：NA=ND.

證明過程：

：.AF^FC=DC+CF.即：AC=DF.

在叢ABC與叢DEF中、

'AB=DE

<ZA=ZD-

AC=DF

:AABgADEF(SAS.

：.BC^EF.

5.【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△力跆(倒S),進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出

答案.

【解答】證明：在△羔C與△?1如中，

'AB=AD,

<ZBAC=ZDAC,

,AC=AC.

:.XABC絲IXADC(SAS),

:.NB=ND,

'：ZP=70°,

；.NB=70°.

6.【分析】(1)根據(jù)幾何語言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；

(2)過點(diǎn)C作綏垂直平分4瓦CF±OP,垂足分別為。，C,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到C4=C8,

根據(jù)角平分線的定義得到/加仁/刀。，則可判斷足△尸0C,從而得到第=C尸；

(3)證明/力必=90°,結(jié)合(2)證明三角形48C是等腰直角三角形，進(jìn)而可得線段次與48之間的數(shù)

量關(guān)系.

【解答】（1）解：如圖即為補(bǔ)全的圖形;

(2)證明：連接。I,

?.,0戶是NMCW的平分線，

2AOC=LFOC,

在和△尸0c中，

"OA=OF

<ZAOC=ZFOC,

oc=oc

：./\AOC^/\FOC(SAS),

CA=CF、

??,3是線段48的垂直平分線,

CA—CB,

:?CB=CF；

(3)AB=同八

證明：〈△彳。電

NCAO=NCFB,

YCF=CB、

???ZCBF=ZCFB、

???NCAO=NCBF,

???NC86N680=180°,

???N)/NC80=18O°,

JN力覿NX第=180°,

ZAOB=9Q°,

：.ZACB=90°,

?：CA=CB,

.,.△/8C是等腰直角三角形，

：.AB=

yf^CF.

7.【分析】（1）首先畫出圖形，得出⑺和以重合，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；

（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得力戶與力尸的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得4尸與

3的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；

②延長CD、BK交于點(diǎn)、。,先詆2AGRAQGB,據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得/以4/。=45°,再證△。歐

sXPBK、據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得N陽K=N//=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：（1）如圖1,

：4C8=90°,AC=BC,

J.N78=45°,

AB—yf^AC,

,:NABP=Q00,NAPB=45°,

N外-45°,

:/CAP=/CAB^/BAP=q$,

???CD,PA,

和力重合，

AP~—

：.AP=&4?=2〃=2C。；

(2)①A-2CD,

證明：過點(diǎn)4作44加于點(diǎn)尸,

c

?：ZBPA=45°,

/.ZFAP=ZFPA=45°,

.AP

一正

：.AP=揚(yáng)￡

YNABF=/BA田/P=/BA845°,

又Y/CAD=/BA丹4CAB=/BA丹45°,

：.^CAD=^FBA.

又,：/ADC=/AFB=qy,

:.△CADSXABF、

,,AFFFAB心廠

■,*AF—*\j^2.CDy

，AP=?AF=2CD；

②延長C。、斜交于點(diǎn)0,

VZ1=Z2,NACG=NABK,

「?△/JGC5△仇泡

???/狽7=N0=45°,

???NP=45°,

：?40=￡P(guān)、

■/N3=N4,

：./\ODK^/\PBK,

:?NPBK=2QDK=9C,

VZP=45°,

：.KP=?BP,

,KP

??薩sr

8.【分析】(1)依題意補(bǔ)全圖形即可；

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得/助NOIG=45°,再證NOIG=N%F=a,即可

求解；

(3)過G作交/C的延長線于“，則是等腰直角三角形，得CH=GH,CggGH,設(shè)48=

Aga,AgBE=b,C4G4m,再證得喋_=地_,得出〃=6,即可得出結(jié)論.

ADHG

【解答】解：(1)依題意補(bǔ)全圖形如圖1所示：

圖1

(2)\'AB=AC,NBAC=90°,

???N4第=45°,

AAGC+Z.CAG=ZACB=45°,

AFA-DE.

：?NAFE=9G=4DAE,

，NAE步/EAF=/DA丹/EAF=9G,

NDAF=NAED=a,

NCAG=ZDAF=a,

N46^7=45°-a；

(3)C2版AD,證明思路如下：

過G作G〃_L4;交/C的延長線于〃，如圖2所示:

E

則NGW4=90°=^DAE,是等腰直角三角形，

得CH=GH,CG=^GH,

AB—AC^a,AD^BE—b,C4G4m,

由（2）可知，NAED=ZHAG,則△/!〃叱△//（%,

但AE_HAgna+b_a+m

AD-HG'_bin-'

整理得：am'rbm—a/bm,則b,

故CG==j^AD.

9.【分析】過點(diǎn)夕作PG1.DE,垂足為G,由角平分線的性質(zhì)得PM=PG=PN,根據(jù)HL得RtAPNEmRt/XPGE,

RSPGD^RtAPMD,從而得到結(jié)論；

連接加，過戶作皿如于“，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)得加力/,同理，PH=PN,HE=EN,然后

根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)關(guān)系可得答案.

【解答】解：過點(diǎn)戶作"GJLOE垂足為G,

??,N/鹿與N0&7的角平分線交于點(diǎn)凡PMLBA于點(diǎn)、M,PNLBC干點(diǎn)、N,

：.PM=PG=PN,ZPNE=ZPGE-ZPGD=ZPMD=90°,

?：PE=PE,PD=PD,

:.RSPNEQRQPGE(HD,Rtl\PGD^Rt4PMD(HL),

:.MD=GD,NE=GE,

???△〃國的周長為a,

：.P%PN=BADM^B@EgBADaB@GE=BD^B&DE=a.

故答案為：PM=PN,P業(yè)PN=a；

解決問題：

P4返a.

6

連接昭，過P悴PHLDE千H、

,:DP平方4ADE、PM±BA,

：.PM^PH,NMDP4HDP,

:.△PMD^XPHD(A4S),

:.DQDH、

同理，PH=PN,HE=EN,

:.PMPN、

■：PM±BM,PNLBC,

...RtZ\8的運(yùn)Rt△97(也)，

ZPBN^ZPBMZ.y,/ABC^300,MB=NB、

?：M及NB=DB^DM^BE^EN=PB^B&DE=a,

：.MB=NB=—,

2

:.PgM8?tan3Q°=返?

6

10.【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出48=8C,N48(7=60°,根據(jù)“三線合一”得出&?=N/劭=30°,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可.

【解答】解：,??△/及7是等邊三角形,

：.AB=BC,N480=60°,

?：BDLAC,

ZDBC=ZABD=yX60°=30°,

■：DB^DE,

:.ZE=NDBC=30°.

11.【分析】(1)想辦法證明第=/48,如=,48,可得結(jié)論.

⑵結(jié)論：脛=脫BE.如圖2中，過點(diǎn)。作DHLAC交四于H,連接CH.想辦法證明C4DE,C4CG,

可得結(jié)論.

(3)沒EF=a,貝I]〃F=4a,證明△C7Ts△力引，可得C尸尸，推出方"=2a,推出tanNO=4,由

此求出EC,CD,“可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖1中，

圖1

?:D,￡分別是4C,8c的中點(diǎn),

：.DE=^AB,DE//AB,

?：CG±DE,

：.CGI.AB,

/.GA=GB,

：.CG^^AB,

：.CG=DE.

(2)解：結(jié)論：AG=?BE.

理由：如圖2中，過點(diǎn)。作加4/C交于〃，連接儀

\'AC=BC,N加8=90°,

：.ZA=ZB=45°,

'：ADS-DH,

：,ZADH=90°,

??.N4=NZ?//4=45°,

:.DA=DH,

\'AD=CE,

:?DH=CE、

?:CD=DC,/CDH=/DCE=9S,

:ACDHQADCE（SAS'）,

:?/DCH=/CDE、DH=CE,

'：CGI.DE,

CD&/DCG=9G,NO朋N8CG=90°,

：.4CDE=/BCG=4ACH,

,:CA=CB,N4=N8=45°,

SAC厘4BCG（力弘）,

：.AH=BG,

、：BG=AH=血DH=y[^EC,AB=^BC,

：.AG=AB-BG=&8c一6EC=料（BC-EO=&8E

(3)解：如圖3中,

E

G

A

圖3

D

,：DF=4EF,

?.?可以假設(shè)*a,則站=4況

'：CF±DE,/ECD=90。,

???NAN&;尸=90°,/ECR/FCD=9Q0,

:./E=4FCD、

'：4CFE=/DFC=9N,

「?△OTs△/7Q

:,CP=EF，DF,

CF"=2a,

.CE=1

"CD~~2'

.CE_1

2+EC-2'

：.EC^2,CA4,

DE=VEC2-HSD2=V22+42=2辰'

CG=DE=2

12,【分析】先寫出已知，求證，根據(jù)加5證明再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形判

定與性質(zhì)即可求解.

【解答】解：已知：如圖，在中，A8>AC,BD,綏分別為做4C邊上的高.求證：AB^CE>AC+BD.

證明：如圖，在上截取力尸=妝過點(diǎn)尸作6/，“于點(diǎn)”，

,:4AHF=4AEC=90°,N4=N4AF=AC,

：.I\AFH^i\ACE(AAS),

：.FH^CE,

過點(diǎn)尸作尸"劭于點(diǎn)G,

???四邊形尸G7/是平行四邊形,

:.F4GD,

：.BF=AB-AF=AB-AC,

BG=BD-GD=BD-CE,

在RtZkb。7中，BF>BG,

：.AB-AOBD-CE,

：.AB^CE>AC+BD.

13.【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；

（2）連接政根據(jù)線段4C和外關(guān)于射線。的對(duì)稱，可得〃=%，NACE=NDCE=Q.根據(jù)△/!&?是

等邊三角形，即可表示ND8c的大?。?/p>

（3）在州上取點(diǎn)尸，使NRE=60°,連接勿，設(shè)m與CQ交于點(diǎn)〃，根據(jù)已知條件證明ACS走△力￡

3倒），可得CF=CE,得△支尸是等邊三角形，進(jìn)而可得N4房的度數(shù)；

（4）根據(jù)△第&△刈￡,可得8F=4E=0￡,根據(jù)△廢尸是等邊三角形，進(jìn)而可得線段力￡,BD,綏之間

的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：（1）依題意補(bǔ)全圖形如下：

（2）連接辦.

.??線段4C和加關(guān)于射線。的對(duì)稱,

.,.AC=DC,NACE=NDCE=a.

???△48C是等邊三角形，

：.AC=BC,ZACB=60°.

:.BC=DC、N/M=60°+2a.

ZDBC=ZBDC-1[1800-(60°+20)1=60°-a.

(3)NAEB=60°.理由如下：

如圖，在維上取點(diǎn)尸，使/磔'=60°,連接切，設(shè)和與CP交于點(diǎn)、H,

???△48C是等邊三角形，

：.AC=BC,2ACB=60°.

：.AACB-/ACF=/FCE-NACF,

：.NBCF=NACE,

???點(diǎn)/和點(diǎn)〃關(guān)于射線。的對(duì)稱，

..?丹是的垂直平分線，

'.AC=DC,AE=DE,NAGE=NDCE=a.

/.ZCAD=ZCDA,4EAD=4EDA,

???NCAE=ZCDE,

'：BC=AC=DC,

???NCBF=NCDE,

???NCBF=NCAE,

在aCA尸和△"E中，

fZCBF=ZCAE

"CB=CA,

ZBCF=ZACE

：.^CBF^/\CAE{ASA),

：.CF=CE,

,:NFCE=60°,

???△斯是等邊三角形，

：?4CEF=60°,

/.AAEH=ADEH=ZCEF=60°,

???N4房=180°-NAEH-NCEF=W-60°-60°=60°；

(4)結(jié)論：BD=2A&CE.理由如下：

由(1)知，AE=DE,

???△弼絲△以￡

:?BF=AE、

：.BF=AE=DE,

???△c中是等邊三角形，

：.CE=EF,

/.BD=BF+FE^ED=CB-2AE.

14.【分析】(1)如圖1,過力作?回于。，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到劭=3=獷=小，由勾股

定理得到AD=JAB?-BD2={a?-a)之=~^~a,于是得到$△被尸4"；

(2)①根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

②補(bǔ)全圖形如圖2所示；

③由題意知，PG=PE,G仁花推出/W是4G標(biāo)的中位線，得到戶”=、￡尸,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖，過4作段，8c于4

???△/8C是等邊三角形，

：.BD^CD^—BC^—a,

22

-'-AD=VAB2-BD2=a2-(ya)2=辛a,

$/\雄=^-BC*AD=-^-a2;

乙TE

(2)①?..邊長為2的正方形的面積=4,

剪拼成的等邊三角形的面積=4,

返a?=4,

4

3

即該三角形邊長的平方是迎巨;

3

②補(bǔ)全圖形如圖2所示；

③由題意知，PG=PE,GN=NF,

是aGE廠的中位線，

:.Pg^EF,

?〃為邊上的中點(diǎn)，

：.BN=—AB=\,

2

.??邊長為2的正方形的面積=4,

.??剪拼成的等邊三角形的面積=4,

:4=4,

4

d監(jiān)

3_

即4G中邊長的平方是更旦，

3

矗

■:Ptt=BS+BP,

1；

A

B

圖1

15.【分析】(1)證明△47。為等邊三角形，可得出N4;，=60°,則N勿仁/4;。=60°；

(2)在8c上截取8尸=8￡證明ABEO^LBFO,可得NBOE=NBOF,證明△。館△￡/力，得出CP=CF,

則仇=8日■。可得出.

【解答】(1)解：?.?微=4?,NADC=60；

???△力切為等邊三角形，

：.ZACD=60°,

-：AB//CD.

/.Z^46*=Z>4627=60°；

(2)證明：在8c上截取8尸=8￡

,:BD平假乙ABC,

:?/EBO=/OBF、

'.'08=OB,

「△BEgXBFO(弘S),

JNBOE=NBOF,

???N84=60°,宏是N478的角平分線,

:?NOBC+40cB=60",

:'4POC=NBOE=60。,

：?￡COF=60°,

：./COF=/POC、

又?；OC=OC,ZOCP=ZOCF.

???△的運(yùn)△的7(ASA),

：.CP=CF,

：.BC=BRCF=B&CP.

16.【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖1即可；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AP=AQ,求得N仍？=N。，求得N網(wǎng)W=N0,同理，/NMF=4APQ,

等量代換得到NMFN=/FMN、于是得到結(jié)論；

(3)連接結(jié)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到北=40,求得NPAC=N(MC,得到NOU2=N0劭，根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得到為/求得加=%得到府=題推出直線宏垂直平分他得至IJN&?8=N

￡勿=45°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(D依題意補(bǔ)全圖1如圖所示；

(2),/CQ=CP,ZACB=90°,

：.AP=AQ,

J/APQ=

'：BD.LAO,

QBM/Q=/QBA/BFC=9G,

：./Q=/BFC、

,：/MFN=/BFC、

同理，/NMF=4APQ,

：?4MFN=4FMN、

:?NM=NF，、

(3)連接CE,

??,ACLPQ,PC=CQ,

???AP=AQ,

???ZPAC=ZQAC,

?：BDLA。、

「?NZ?8aNtf=90°,

9：ZCM-ZCAQ=90°,

NCAQ=NQBD,

:?/PAG=/FBC、

'：AC=BC,NACP=NBCF,

:、△APC^XBFCkAAS),

：?CP=CF,

?：AM=CP,

:、AM=CF、

?：NCAB=NCBA=45°,

:?4EAB=NEBA,

:.AE=BE、

YAC=BC、

???直線笫垂直平分彳昆

：?NECB=/ECA=45°,

NGAM=NECF=45°,

、：/AMG=Z.CFE、

:、XAG的XCEF<AS4,

：.GM=EF,

???BN=B&ERFN=A&G%MN,

：,BN=AB-GN.

17.【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形.

(2)由旋轉(zhuǎn)可得N/W=150°,故N0W=15O°-N。物；由N478=30°和三角形內(nèi)角和180°可得N

腋=180°-30°-/“物=150°-2OPM,得證.

(3)根據(jù)題意畫出圖形，以加。戶為已知條件反推。的長度.由(2)的結(jié)論/戚=/0/聯(lián)想到其

補(bǔ)角相等，又因?yàn)樾D(zhuǎn)有*戶外已具備一邊一角相等，過點(diǎn)力作肌工出于點(diǎn)C,過點(diǎn)戶作外，勿于

點(diǎn)。即可構(gòu)造出△陽儂△攸R進(jìn)而得如=也，DM=CP,此時(shí)加上加0R則易證得△仇*△勿R

所以O(shè)C=QD.利用N478=30°,設(shè),PD=NC=a,則。=2%外=近會(huì)再設(shè)D4cp=x,所以QD=OC

=ORPC=2才x,MQ=D^QD=2a^2x.由于點(diǎn)儂。關(guān)于點(diǎn)，對(duì)稱，即點(diǎn)，為附中點(diǎn)，故MH=^MQ=弁x,

DH=MH-DM=a,斫以O(shè)H=0訃DH=,求得日=1,故-2.證明過程則把推理過程反過

來，以“，=2為條件，利用構(gòu)造全等證得如

【解答】解：（1）如圖1所示為所求.

(2)設(shè)N0*a,

.?.線段/物繞點(diǎn)戶順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。得到線段PN

；.NMPN=\5Q°,PM=PN

：.ZOPN=ZMPN-ZOPM^1500-a

N408=30°

N戚=180°-ZAOB-NOPM=\8Q°-30°-a=1500-a

NOMPNOPN

(3)0=2時(shí)，總有以/="，證明如下：

過點(diǎn)兒作M7JL08于點(diǎn)C,過點(diǎn)夕作外，必于點(diǎn)〃，如圖2

NNC4NPD4ZPDgW°

?：^AOB=3Qa,OP=2

：.PD=—OP=\

2

VOP2-PD2=V3

,?,班=后1

：.DH=OH-OD=\

'：NOMPNOPN

.?.180°-N戚=180°-4OPN

貨NPMD=/NPC

在XPDM與IXNCPk

'/PDM=/NCP

"ZPMD=ZNPC

PM=NP

:ZD蛇IXNCP(44S)

：.PD=NC,DM=CP

設(shè)防=CP=x,貝I]a7=0G%=2+x,MH=MMDH=K'

??,點(diǎn)"關(guān)于點(diǎn)，的對(duì)稱點(diǎn)為0

：.DQ=D*HQ=1+A+1=2+X

：.OC^DQ

在△aw與△aw中

fOC=QD

-Z0CN=ZQDP=90o

NC=PD

:.△OCgXQDP〈SAS)

18.【分析】(1)由題意畫出圖形，如圖所示；

(2)由"SAS*'可證△然心△龍F(tuán),可得4?=〃尸=48；

(3)由題意可得點(diǎn)G在以點(diǎn)。為圓心，0C為半徑的圓上，點(diǎn)G在以點(diǎn)尸為圓心，/為半徑的圓上，則

兩圓的交點(diǎn)為G,由“SS6可證