5.3.1函數(shù)的單調(diào)性1課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

引

入

在本章前兩節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)，它定量地刻畫了函數(shù)的局部變化.

微積分中重要的思想方法——以直代曲h(tt2t+11能否利用導(dǎo)數(shù)更加精確地研究函數(shù)的性質(zhì)呢?本節(jié)我們就來討論這個(gè)問題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2024/1/4

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用高二數(shù)學(xué)備課組引

入在必修第一冊中，我們通過圖象直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性質(zhì).復(fù)習(xí)鞏固：函數(shù)單調(diào)性的定義一般地，對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于屬于區(qū)間D的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，有

(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).探究新知問題1:判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有哪些?①.定義法：②.圖像法：③.性質(zhì)法:增+增→增，減+減→減，－增→減，

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減探究新知thaOb(1)thaOb(2)

思考1

圖(1)是某高臺跳水運(yùn)動(dòng)員的重心相對于水面的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象，圖(2)是跳水運(yùn)動(dòng)員的速度v隨時(shí)間t變化的函數(shù)v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的圖象.觀察圖象可以發(fā)現(xiàn):

(1)從起跳到最高點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而增加，即h(t)單調(diào)遞增.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)>0.

(2)從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時(shí)間t的增加而減小，即h(t)單調(diào)遞減.相應(yīng)地，v(t)=h'(t)<0.問題2:運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別?如何從數(shù)學(xué)上刻畫這種區(qū)別?探究新知對于高臺跳水問題，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)t∈(0,a)時(shí)，h′(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0,a)上單調(diào)遞增；當(dāng)t∈(a,b)時(shí)，h′(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)上單調(diào)遞減.

在區(qū)間(a,b)上，h′(t)>0在區(qū)間(a,b)上，h′(t)<0在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調(diào)遞增在區(qū)間(a,b)上，h(t)單調(diào)遞減思考2我們看到，函數(shù)h(t)的單調(diào)性與h'(t)的正負(fù)有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由h'(t)的正負(fù)來判斷函數(shù)h(t)的單調(diào)性呢?問題3:這種情況是否具有一般性呢？探究新知xyO(1)xyO(2)xyO(3)xyO(4)問題4:

觀察下面一些函數(shù)的圖象，探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系？探究新知xyO(1)xyOy′＝1xyO(2)xyOy′＝2x在(-∞,

0)上，f(x)單調(diào)遞減在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0y′＝1在(-∞,+∞)上，y′>0探究新知xyO(3)在(-∞,

0)上，f(x)單調(diào)遞增在(-∞,

0)上，f′(x)>0xyOf′(x)＝3x2在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0探究新知xyO(4)xyO在(-∞,

0)上，f(x)單調(diào)遞減在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調(diào)遞減在(0,+∞)上，f′(x)<0探究新知問題5：為什么函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間有這樣的關(guān)系？導(dǎo)數(shù)f′(x0)在區(qū)間上，f′(x)>0函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率在x=x0處f′(x0)>0函數(shù)y=f(x)的圖象上升，在x=x0附近單調(diào)遞增切線“左下右上”上升在區(qū)間上，f(x)單調(diào)遞增f(x0)>0f(x)在x0附近↗切線“左下右上”xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))探究新知問題5：為什么函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)之間有這樣的關(guān)系？導(dǎo)數(shù)f′(x1)在區(qū)間上，f′(x)<0函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(x1,f(x1))處切線的斜率在x=x1處f′(x1)<0函數(shù)y=f(x)的圖象下降，在x=x1附近單調(diào)遞減切線“左上右下”下降在區(qū)間上，f(x)單調(diào)遞減f(x1)<0f(x)在x1附近↘切線“左上右下”xyO(x0,f(x0))(x1,f(x1))探究新知1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：一般地，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系:在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增;在某個(gè)區(qū)間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減.aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0探究新知函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間上是常數(shù)函數(shù).f(x)仍為增函數(shù).例如:對于函數(shù)y=x3，y′=3x2.當(dāng)x=0時(shí)，y′=0，當(dāng)x>0時(shí)，y′>0，而函數(shù)y=x3在R上單調(diào)遞增.xyO問題6：如果在某個(gè)區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性?問題7：存在有限個(gè)點(diǎn)使得f'(x)=0,其余點(diǎn)都恒有f′(x)>0,則f(x)有什么特性?f'(x)≥0且f'(x)不恒為0例題講解例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：xyO(1)xyO(2)π-π(1)f(x)=x3+3x,其定義域?yàn)镽.f'(x)=3x2+3>0,例題講解例1

利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：xyO(3)11探究新知①求出函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f

(x)；③判定導(dǎo)數(shù)f

(x)的符號；④確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.2.判定函數(shù)單調(diào)性的步驟：課堂練習(xí)1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:解：(1)f(x)=x2?2x+4,x∈R(2)f(x)=ex

?x,x∈R課堂練習(xí)解：x∈R,例題講解解：xyO14例2

已知導(dǎo)函數(shù)f′(x)的下列信息:當(dāng)1<x<4時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x<1，或x>4時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x=1，或x=4時(shí)，f′(x)=0.試畫出函數(shù)