第三章 函數(shù) 綜合（同步）-高中數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

第三章函數(shù)

一、單選題

/、[1,xeQ,/、

i.狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù)：若/(》)=八A；則稱y=/a)為狄

[U,XG

利克雷函數(shù).給出以下四個(gè)命題：

①對(duì)任意xeR,都有〃〃x))=l;

②對(duì)任意為、WeR,都有|/怠)—/(動(dòng)歸1；

③對(duì)任意王、X26R,都有/(百+*2)=/(毛)；

④對(duì)任意xeR,者K有/(x)+f(-x)=。.

其中，真命題的序號(hào)是()

A.①@B.①②C.②④D.③④

2.已知函數(shù)/(x)=x-〃?6+5,當(dāng)時(shí)，〃x)>l恒成立，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為

()

A.1-8,5B.(3,5)C.(3,4)D.(^0,5]

3.若“太2],使2dTx-1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是()

A.(-8,—JB.-]C.(-00,1]D.[g,+8)

4.已知不等式x-K+女>o對(duì)任意的正整數(shù)化成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為()

X—k+1

A.(F,-2)U(2,3)B.18,_?“2,3)

C.(f—2)|J(3,4)D.卜8；-1[U(3,4)

5.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且〃1-幻=-/(1+幻，/(0)=1,則

/(0)+/(1)+--.+/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2020

6.在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/r(。為大于0的常數(shù))所表示的曲線叫箕舌線.則箕舌

%+。一

線可能是下列圖形中的()

7.若/(x),g(x)都是奇函數(shù)，iLF(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+00)上有最大值8,則F(x)

在(-8,0)上有()

A.最小值-8B.最大值-8C.最小值-6D.最小值-4

8.已知是偶函數(shù)，它在［(),”)上是增函數(shù).若則x的取值范圍是

()

A.曲)B.|焉?(10.?)C.(Qo)D.(0,1)510,網(wǎng)

二、多選題

9.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的

函數(shù)=:署署］，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于f(x),下列說(shuō)法正確的是()

A.“X)的值域?yàn)椋?,1］

B.的定義域?yàn)镽

C.VxwR,/(/(x))=l

D.任意一個(gè)非零有理數(shù)T,/(x+T)=/(x)對(duì)任意xeR恒成立

10.關(guān)于函數(shù)〃x)=|ln|2-x||,下列描述正確的有()

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱

C.若公二電，但/(玉)=/(々)，則%+々=4

D.函數(shù)/(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

—x+2,x<1

11.已知/(幻二%,。,(常數(shù)ZwO),則()

—+k+2,x>l

、龍

A.當(dāng)2>0時(shí)，在R上單調(diào)遞減

B.當(dāng)時(shí)，f(x)沒(méi)有最小值

C.當(dāng)％=-1時(shí)，f(x)的值域?yàn)?0,+8)

D.當(dāng)％=-3時(shí)，>1,3x,<1,有/(%)+/(々)=0

12.下列說(shuō)法正確的是()

A.若方程/+(“-3)x+a=0有一個(gè)正實(shí)根，一個(gè)負(fù)實(shí)根，則。<0

B.函數(shù)y(x)=收-1+Qi-x2是偶函數(shù),但不是奇函數(shù)

C.若函數(shù)y(x)的值域是[―2,2J,則函數(shù)人元+1)的值域?yàn)閇-3,1]

D.曲線y=|3一和直線y=a(adR)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是相，則，"的值不可能是1

三、填空題

13.定義在義1,1)上的函數(shù)〃X)滿足f(x)=g(x)-g(-x)+1,對(duì)任意的西€(-1,1),X產(chǎn)々，

恒有卜a)-/優(yōu))](%一w)>0，則關(guān)于X的不等式/(2x+D+/(%)>2的解集為

14.已知函數(shù)/(x)=|x+l|-|x-3],若對(duì)VxeR,不等式/(為〈機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值

范圍是.

15.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+l)=I，當(dāng)xe(0,l]時(shí)，/?=2\則

f(x)

3

/(log,—)+/(2018)=.

Io

[X,X<1,

16.設(shè)函數(shù)"力=/八2,,則不等式f(l—|x|)+/(2)>0的解集為_(kāi)_____.

+1,X>1,

四、解答題

已知函數(shù)/")=胃?是定義在(-11)上的奇函數(shù)，且/2

17.

(1)確定函數(shù)/(x)的解析式;

(2)用定義法證明/(x)在(-U)上是增函數(shù);

(3)解關(guān)于x的不等式/(x—l)+〃x)<0.

V+h

18.已知函數(shù)y=(〃、匕為正實(shí)數(shù))的圖像是中心對(duì)稱圖形，求它的對(duì)稱中心的坐標(biāo).

19.已知函數(shù)“力=黑巳是定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù)，且〃1)=|.

(1)用定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增；

(2)解不等式/(后+1)+/(2機(jī)—2)>0.

20.已知f(x)是定義在12,2]上的奇函數(shù)，且當(dāng)xe[-2,0)時(shí)，/(A:)=X2-X.

(1)求函數(shù)“X)在[-2,2]上的解析式；

⑵若的-9對(duì)所有xe[-2,2],ae[T,l]恒成立,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

21.定義在上的函數(shù)〃x）滿足：對(duì)任意的x,y?-Li）,都有f（x）+〃y）=/［肅J.

（1）求證：函數(shù)”X）是奇函數(shù)；

（2）若當(dāng)xe（—l,O］時(shí)，有/（力＞0,求證：在（一1,1）上是減函數(shù)；

⑶在（2）的條件下，若嗎,—〃力/一20一］對(duì)所有xe一器，恒

成立，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

22.某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知

該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）

之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為＞'=^X2-200X+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用

的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.

（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼

多少元才能使該單位不虧損？

參考答案

1.B

【分析】

根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義，然后討論x是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩種情況，進(jìn)而判定各個(gè)答案.

【解析】無(wú)論X是有理數(shù)或是無(wú)理數(shù)，/(X)的值必為有理數(shù)，因此/(/(x))=l恒成立，所

以①對(duì)；

對(duì)任意內(nèi)、的值只能為0或1,所以②對(duì)；

當(dāng)為為無(wú)理數(shù)，々為有理數(shù)時(shí)，為+看為無(wú)理數(shù)，因此f(x+w)=O,/(電)=1,所以③錯(cuò);

當(dāng)X為有理數(shù)時(shí)，-X也為有理數(shù)，因此/(x)+〃-x)=2,所以④錯(cuò).

故選：B.

2.C

【分析】

通過(guò)換元令t=?，函數(shù)可變?yōu)間⑺=/—〃4+5將“X)>1恒成立可轉(zhuǎn)化為g⑺>1在1VY3

上恒成立.即y=r-〃?t+4,te［l,3］大于0恒成立，通過(guò)對(duì)加與區(qū)間［1,3］之間的關(guān)系討論得

出結(jié)果.

【解析】令"五，貝岫14x49,得1叩,3］.由題意，得

g(r)=」-w+5=，-￡］+54>l在［L3］上恒成立，故有①當(dāng)宇1，即

心42時(shí),函數(shù)g(f)在［1,3］上單調(diào)遞增，式%“=g⑴=6-m,由6>1,得加<5,因

此〃區(qū)2.

②當(dāng)1音<3,即2cm<6時(shí)，g(/)min=g(￡)=5由5>1,得因此

2<m<4.

③當(dāng)葭23,即加26時(shí)，函數(shù)g(。在［1,3］上單調(diào)遞減，g(①n=g(3)=14-3加，由

13

14—3m>1,得加<不，與相>6矛盾.

綜上，m<4.

故選：C.

3.C

【分析】

等價(jià)于Wxe口，2],4,2x-L恒成立，令/(x)=2x」，xe[l,2],求出/(幻而,，最小值即得

XX

解.

【解析】解:若“二日1,2],使得2d一尢―1<0成立，，是假命題，

即“玉e[l,2],使得2>2x-‘成立”是假命題，

X

故Vxe[l,2],〃2x-L恒成立，

X

令〃x)=2x-」，xe[l,2],所以f(x)是增函數(shù)(增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù))，

X

所以f(X)mE=〃l)=l，

???4,1,

故選：C.

4.A

【分析】

(22

由題意轉(zhuǎn)化條件得「x>k，-;3k或ix<k-3k對(duì)任意的正整數(shù)人成立，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)

[X>AC-1

作出函數(shù))，=f—3x(xNl)與y=x-1(x21)的圖象，并標(biāo)出x取正整數(shù)的點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可

得解.

【解析】不等式.一內(nèi)+弘>0對(duì)任意的正整數(shù)后成立,

X-Z+1

a矛+3&>0或x-k2+3k<0

對(duì)任意的正整數(shù)k成立,

x—%+1>0x-Z+l<0

x>k2-3k_^\x<k2-3k

或V對(duì)任意的正整數(shù)人成立,

x>k-\x<k-\

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)丁=幺-3萬(wàn)(尤21)與丁=彳-1(工21)的圖象，并標(biāo)出x取正整數(shù)

的點(diǎn)，如圖:

數(shù)形結(jié)合可知，若要使kv>1k2_3一k或x對(duì)<A?任—3k意的正整數(shù)k成立,

則xe(f,-2)U(2,3).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式不等式的求解及二次函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合思

想，屬于中檔題.

5.C

【分析】

由函數(shù)的奇偶性和川-x)=-f(1+x)可得〃x)是周期為4的函數(shù)，分別求得

/⑴，〃2),〃3),進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的周期性求解即可.

【解析】由題，因?yàn)?(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以x)=〃x),

因?yàn)?'(1一》)=一/(1+幻,所以/(尢-1)=—/(1+工),則/(》一2)=-/(外，

所以“X-4)=-/(x-2)=/(x),所以是周期為4的函數(shù)，

因?yàn)?。)=一/。),所以/(1)=0;

因?yàn)椤?)=-〃0)=-1,/(3)=/(-1)=八1)=0,

所以〃0)+/?⑴+f(2)+/(3)=0,

所以“0)+/(1)+…+/(2020)=505[〃0)+〃1)+/(2)+〃3)]+〃0)=505X0+1=1,

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性判斷函數(shù)周期性,考查利用函數(shù)周期性求值.

6.A

【分析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)特殊值即可判斷；

【解析】解：因?yàn)檠?/("=/方定義域?yàn)镽,―=故

函數(shù)y=〃X)=Y^為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除D;

X-+a~

又函數(shù)y=f在(0,+⑹上單調(diào)遞增，函數(shù)y=勺%>0)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)/")=*了在(0,+8)上單調(diào)遞減，故排除B；

當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=1^=a>0,故排除C；

0'+?'

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.D

【分析】

由題意，得到/(力-2=4(力+像(同是奇函數(shù)，再結(jié)合題設(shè)條件和函數(shù)的奇偶性，即可求

解.

【解析】由題意,F(x)=>(x)+-(x)+2,可得*x)—2=/'(x)+bg(x)

函數(shù)〃x),g(x)都是奇函數(shù)，

所以b(—x)-2=4(f)+bg(-X)=-{af(x)+bg(x)]=T尸(x)-2],

所以*x)—2=4(力+像(可是奇函數(shù)，

又由F(x)在(0,+s)上有最大值8,即尸(力48,所以F(x)—246,

當(dāng)XC(T?,O)時(shí)，則-xe(0,+oo),

則F(—力一246,即一[/(同一2]46,所以尸(x)—22-6,即E(x)NY,

所以當(dāng)xe(y),0)時(shí)，尸(x)有最小值T.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)值及其意義，其中解答中根據(jù)函數(shù)的奇偶性的

性質(zhì)，構(gòu)造新函數(shù)尸(x)-2=4(x)+像(x)為奇函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【分析】

利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式變形為可愴可<〃1),再由函數(shù)y=/(x)在

[0,+w)上的單調(diào)性得出|也可<1,利用絕對(duì)值不等式的解法和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)

果.

【解析】由于函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，由/(lgx)</(—l)得/(|愴X)</(1)，

又???函數(shù)y=/(x)在[0,長(zhǎng)。)上是增函數(shù)，則即解得自<x<10.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，同時(shí)也涉及了對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查

分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

9.BCD

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式和函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷可得選項(xiàng).

(1%=為有理數(shù)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=0x=為無(wú)理數(shù)，所以/(X)的值城為｛0,1｝，故A不正確；

因?yàn)楹瘮?shù)〃X)=0:二端無(wú)理數(shù)，所以/(X)的定義城為R，故B正確；

因?yàn)閂xeR,f(x)e{0,l},所以f(/(x))=l,故C正確;

對(duì)于任意一個(gè)非零有理數(shù)T,若x是有理數(shù)，則x+T是有理數(shù)；若x是無(wú)理數(shù)，則x+T是無(wú)

理數(shù)，根據(jù)函數(shù)的解析式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T,都有/(x+T)=/(x)對(duì)任意xeR恒

成立，故D正確，

故選：BCD.

10.ABD

【分析】

畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像分析判斷即可

【解析】函數(shù)〃x)=|ln|2-刈的圖像如圖所示：

由圖可得：函數(shù)/(X)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，故A正確；

函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故B正確；

若入尸々，但/(芭)=/(々)，則當(dāng)％>2,々>2時(shí)，%,+x2>4,故C錯(cuò)誤；

函數(shù)/(x)的圖像與x軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是畫出

函數(shù)圖像，根據(jù)圖像求解即可,，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題

11.BD

【分析】

根據(jù)不同的左值，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值與值域等，從而可判斷各選項(xiàng).

【解析】％>0時(shí)，-1+2=1,彳+/+2=2&+2,2k+2>\,f(x)在R上不是減函數(shù)，A錯(cuò);

由上面討論知Q0時(shí)，〃x)在［1,+8)上是減函數(shù)，無(wú)最小值.而x<l時(shí)/(x)=-x+2遞減,

也無(wú)最小值，因此/(x)無(wú)最小值,

當(dāng)時(shí)，x>l,f(x)——F&+2是增函數(shù)，/⑴=2左+2,但2%+2>1,不是/(X)的

zx

最小值，

綜上，f(x)無(wú)最小值，B正確；

4=一1時(shí)，x<l,/(X)=-X+2G(1,+OO),

xNl時(shí)，f(x)=-」-l+2=-L+l是增函數(shù)，/(1)=0,/(%)=--!-+16[0,1),

XXX

???/(X)的值域是[O,l)u(L”),C錯(cuò)；

女=-3時(shí).，xNl時(shí)，/(x)=---le[-4,-l),而x<l時(shí)，/(%)=-%+2e(l,+oo),

x

(1,4]￡(1,4W),因此％21,3X2<1,使得/(西)+/(々)=0.D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性與值域，解題關(guān)鍵中根據(jù)上的不同取值，確定函數(shù)

的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的值域.從而判斷各選項(xiàng).

12.AD

【分析】

對(duì)A,結(jié)合韋達(dá)定理判斷；對(duì)B,先判斷定義域，再結(jié)合奇偶函數(shù)定義判斷；對(duì)C,結(jié)合函

數(shù)平移特點(diǎn)可判斷錯(cuò)誤；對(duì)D,畫出/(》)=|3-丹的圖像，采用數(shù)形結(jié)合方法判斷即可

【解析】設(shè)方程/+(a—3)x+a=0的兩根分別為xi,X2,則xrX2=a<0,故A正確；

函數(shù)加+Jl-f的定義域?yàn)椋?；-?則*=±1,.\/U)=0,所以函數(shù)兀t)既是奇

1-x>0,

函數(shù)又是偶函數(shù)，故B不正確；

函數(shù)7U+1)代表函數(shù)/(可向左平移一個(gè)單位，故人x+1)的值域與函數(shù)人的的值域相同，故

C不正確；

曲線y=|3一燈的圖像如圖，由圖知曲線y=|3—和直線y=“的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是2,3或

4,故D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，奇偶函數(shù)的判斷，函數(shù)圖像的平移與值

域的判斷，數(shù)形結(jié)合法判斷交點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，解題關(guān)鍵在于：

(1)學(xué)會(huì)應(yīng)用韋達(dá)定理處理兩根之和與兩根之積對(duì)應(yīng)的系數(shù)問(wèn)題；

(2)奇偶函數(shù)的判斷，一定要先判斷定義域，再根據(jù)〃-x)與“X)關(guān)系判斷即可；

(3)當(dāng)函數(shù)圖像發(fā)生左右平移時(shí)，函數(shù)值域不變；

(4)數(shù)形結(jié)合法常用于處理兩函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷問(wèn)題.

13.(季)

【分析】

設(shè)/i(x)=/(x)-l=g(x)-g(-x),由已知不等式得函數(shù)f(x)是增函數(shù)，即得〃(X)是增函數(shù)，

又由函數(shù)表達(dá)式得函數(shù)為奇函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為〃(X)的函數(shù)不等式，利用奇偶性變形，再

由單調(diào)性可解.

【解析】設(shè)〃(x)=f(x)-l=g(x)-g(-x),

因?yàn)閷?duì)任意的西,々€(-l，l)，x產(chǎn)々，恒有[/(為)-f(w)](x_7)>0,

所以函數(shù)fM在以1,1)上為增函數(shù),則h(x)在(-1,1)上為增函數(shù),

又〃(-x)=g(-x)-g(x),而〃(x)=g(x)-g(-x),所以/z(x)+M-x)=O,

所以力(x)為奇函數(shù)，綜上，4(X)為奇函數(shù)，且在(-1,1)上為增函數(shù),

所以不等式/(2x+1)+/(X)>2等價(jià)于f(2x+1)-1+/(x)-1>0,

即h(2x+l)+h(x)>0,亦即h(2x+1)>-h(x)=h(-x),

—1<2x+1<1,

可得一1<X<1,,解得-Q<X<。.

2x+l>-x,

故答案為：

14.［4,+<?)

【分析】

去絕對(duì)值將f(x)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，求出其最大值，帆即可.

【解析】因?yàn)閂xeR,不等式恒成立，則機(jī)2/。)皿,

-x-l-(3-x),x<-1-4,x<-l

/(x)=|x+l|-|x-3|=",x+l-(3-x),-l<x<3=<2x—2,—1<x<3,

x+l-(x-3),x>34,x>3

作出函數(shù)/(x)的圖象如圖:

所以機(jī)24,

所以實(shí)數(shù)”?的取值范圍是［4,+8),

故答案為：［4,+00)

5L

6

【分析】

依題意首先求出函數(shù)的周期，再結(jié)合周期及相關(guān)條件分別求得了(log,和“2018),進(jìn)而

可得到結(jié)果.

【解析】函數(shù)/(?滿足：/(》+1)=7L，

可得：對(duì)VxwR,都有〃x+2)=Uy=/(x),

71/.函數(shù)/(x)的周期T=2.

總=〃1叫3-4)"(1暇3)=溫其=普=|,

由〃°)=赤=3得f(2018)=f(0)=g,

???{log高+/(2018)=|+>].

-7

故答案為：—■

0

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：定義在R上的函數(shù)/*),若存在非零常數(shù)。，使得對(duì)X/xeR,都有/(》+幻=7二,

f(x)

則函數(shù)f(x)的周期T=2a.

16.(-3,3)

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，把問(wèn)題中的函數(shù)值大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較，從而求得解集.

【解析】由函數(shù)解析式知f(x)在R上單調(diào)遞增，且-/(2)=-2=/(-2),

則/(1-W)+〃2)>0n/(1-|動(dòng)>-/(2)=/(-2),

由單調(diào)性知1-國(guó)>-2,解得xe(-3,3)

故答案為：(-3,3)

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：找到函數(shù)單調(diào)性，將函數(shù)值大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較即可.

17.

⑴/(%)=—^-7

1+X

(2)證明見(jiàn)解析

⑶(0.1)

【分析】

(1)由f(O)=O,求得匕=0,再根據(jù)/(》=],求得。的值，即可求得函數(shù)的解析式.

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可證得函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1』)上是增函數(shù).

(3)把不等式f(x—l)+f(x)<0轉(zhuǎn)化為f(x—l)=〃T),列出不等式組，即可求解.

(1)

(1)由題意，函數(shù)〃力=學(xué)岑是定義在(7,1)上的奇函數(shù)，

可得40)=0,即〃x)=b=0,可得6=0,即〃到=恐，

\_a

又由可得上「=叁，解得a=l,所以/(》)=三，

⑶51+(%51+x2

經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)滿足/(-x)=—/(x),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

所以函數(shù)/(x)的解析式為/(力=品，

(2)

解：設(shè)內(nèi),%€(-1,1)且玉<多，

則/(蒼)-"々)=X,W=(王一%2)(1一中2)

1+工；1+考(1+內(nèi)2)(1+《)，

2

因?yàn)闅v,王W(—LD且看</，可得％-占<0A-X]X2>0,1+%(>0,l+Xj>0,

所以即/(x)</(w)，

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(T1)上是增函數(shù).

(3)

(3)因?yàn)楹瘮?shù)是定義在(T1)上的奇函數(shù),

則不等式/(x-l)+F(x)<0可化為/(X-1)=-/(X)=F(T),

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),

x-\<-x

可得,解得0<x<；,即不等式的解集為(0,；)

18.對(duì)稱中心的坐標(biāo)為

【分析】

設(shè)函數(shù)＞=￡幼(〃、〃為正實(shí)數(shù))的圖像的對(duì)稱中心為C(機(jī),〃)，進(jìn)而根據(jù)定義域得

2-a

^=log2a,再根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性求解得〃=f,進(jìn)而得答案.

2a

【解析】解:記“X)=號(hào)2.設(shè)函數(shù)y=學(xué)2(a、b為正實(shí)數(shù))的圖像的對(duì)稱中心為c(〃7,n).

2-a2-a

*4-h

因?yàn)楹瘮?shù)y=-^——的定義域?yàn)?T?,log2a)U(log24+co)，所以機(jī)fog?。.

2-a

(2*+b\

由題意，對(duì)于函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)PA;,,—,其關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)

、z一aJ

P'\2m-,2n-——也在函數(shù)y=的圖像上.

VXv2—a)2-a

所以42〃L%)=2〃-；、“+?，即2"-；=；2,吁、“+6對(duì)任意xe(-oo,log2a)u(log2?,+<?)

恒成立.

2^+h22gg2"*。+〃

將m=k>g2a代入上式，得2〃-二把.

2^-a2?鶴

a2,

?---Fb

記1=2”,整理得2〃一^一-=p——,即(2〃〃+/?—。)，=2W2—/+"對(duì)一切，￡(0,+00)恒成

-----a

2na+b-a=0iwna-b

立.所以解得〃F

Ina1-a2+ab=O'

綜上所述，函數(shù)二法nb為正實(shí)數(shù))的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(晦。，啜

19.

(1)證明見(jiàn)解析

(2)(72-1,1)

【分析】

(1)先求出/(X)的解析式，再利用定義法證明函數(shù)/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增;

(2)利用單調(diào)性法解不等式，求出實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

(1)

為定義在區(qū)間(-2,2)上的奇函數(shù),

/./(0)=^=0,：.b=0.

又‘⑴=WH'?5L

QY—qV-

檢驗(yàn)：當(dāng)』，時(shí)‘小)=工,八-3

.../(x)為奇函數(shù)，符合題意,

???小)=言?

對(duì)任意的-2<X1<工2<2,

3x,3X3(%一玉)(4-辦々)

/(%)--(占)=2

x；+4x；+4(片+4)(W+4)?

-2<Xj<x2<2,

/.Xj-<0,x[x2<4,/.4-x1x2>0.

又#+4>0,x?+4>0,f(石)一。(電)<0.

函數(shù)〃x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增.

〃x)為定義在區(qū)間(-2,2)上的函數(shù),

.—2<+1<2.

??<,,?0<772<1.

—2<2m—2<2

V/(;n2+l)4-/(2^-2)>0,且/(x)為定義在區(qū)間(—2,2)上的奇函數(shù),

又/(%)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增,

m2+1>2-2m,,,/??>\/2—1m<—y/2.—1?

綜上，實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是

20.

x2-x,-2<x<0

(1)/(x)=<0,x=0

——x,0<xW2

(2)[-1,1]

【分析】

(1)利用奇函數(shù)的定義可得函數(shù)的解析式;

(2)由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)/(x)的最小值，代入不等式，進(jìn)而利用一次函數(shù)的性質(zhì)列

不等式組，可得實(shí)數(shù)加的取值范圍.

(1)

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為定義域上的奇函數(shù)，所以/(0)=0,

22

當(dāng)x?0,2］時(shí)，-xe［-2,0),/(-x)=(-x)-(-x)=x+x,

因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以/(一x)=-/(x)=d+x,

所以”X)=-x2-X,

x2-x,-2<x<0

所以〃x)=O,x=O

-x2-x,0<x<2

作出在區(qū)間［-2,2］上的圖象，如圖:

可得函數(shù)〃x)在［-2,2］上為減函數(shù)，所以/(x)的最小值為"2)=-6,

要使/(無(wú))2加2-2加-9對(duì)所有工€［-2,2］,ae［-Ll］恒成立，

即-62癡2-2a/w-9對(duì)所有“w[-l,?亙成立，

令g(a)=_2ma+，〃2-3,?e[-l,l],

^(-l)=/w2+2/n-3<0f-3