中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)《幾何模型》專題12 斜截模型解直角三角形（教師版）

專題12斜截模型解直角三角形【精典例題】1、如圖，兩座建筑物的水平距離BC為40m，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角α為45°，測(cè)得C點(diǎn)的俯角β為60°.求這兩座建筑物AB，CD的高度．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)解析：延長(zhǎng)CD，交AE于點(diǎn)E，則DE⊥AE，得矩形ABCE.在Rt△AED中，AE＝BC＝40m，∠EAD＝45°，∴ED＝AE·tan45°＝40m.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝40m，∴AB＝40eq\r(3)m.則CD＝EC－ED＝AB－ED＝40eq\r(3)－40≈29.3(m)．答：這兩座建筑物AB，CD的高度分別為69.3m和29.3m.

2、為積極參與鄂州市全國(guó)文明城市創(chuàng)建活動(dòng)，我市某校在教學(xué)樓頂部新建了一塊大型宣傳牌，如下圖．小明同學(xué)為測(cè)量宣傳牌的高度AB，他站在距離教學(xué)樓底部E處6米遠(yuǎn)的地面C處，測(cè)得宣傳牌的底部B的仰角為60°，同時(shí)測(cè)得教學(xué)樓窗戶D處的仰角為30°(A，B，D，E在同一直線上)．然后，小明沿坡度i＝1∶1.5的斜坡從C走到F處，此時(shí)DF正好與地面CE平行．(1)求點(diǎn)F到直線CE的距離(結(jié)果保留根號(hào))；(2)若小明在F處又測(cè)得宣傳牌頂部A的仰角為45°，求宣傳牌的高度AB(結(jié)果精確到0.1米，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)．解析：(1)過(guò)點(diǎn)F作FG⊥EC于點(diǎn)G，依題意，知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°.∴四邊形DEGF是矩形．∴FG＝DE.在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan30°＝2eq\r(3).∴點(diǎn)F到直線CE的距離為2eq\r(3)米．(2)∵斜坡CF的坡度i＝1∶1.5.∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2eq\r(3)×1.5＝3eq\r(3).∴FD＝EG＝CG＋CE＝3eq\r(3)＋6.在Rt△BCE中，BE＝CE·tan60°＝6eq\r(3).在Rt△AFD中，AD＝DF·tan45°＝3eq\r(3)＋6.∴AB＝AD＋DE－BE＝3eq\r(3)＋6＋2eq\r(3)－6eq\r(3)＝6－eq\r(3)≈4.3.答：宣傳牌的高度AB約為4.3米．

3、如圖所示，某工程隊(duì)準(zhǔn)備在山坡（山坡視為直線l）上修一條路，需要測(cè)量山坡的坡度，即tanα的值．測(cè)量員在山坡P處（不計(jì)此人身高）觀察對(duì)面山頂上的一座鐵塔，測(cè)得塔尖C的仰角為31°，塔底B的仰角為26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，圖中的點(diǎn)O、B、C、A、P在同一平面內(nèi)．求：（1）P到OC的距離．（2）山坡的坡度tanα．（參考數(shù)據(jù)sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）解析：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，則四邊形ODPE為矩形．在Rt△PBD中，∵∠BDP＝90°，∠BPD＝26.6°，∴BD＝PD?tan∠BPD＝PD?tan26.6°；在Rt△CPD中，∵∠CDP＝90°，∠CPD＝31°，∴CD＝PD?tan∠CPD＝PD?tan31°；∵CD﹣BD＝BC，∴PD?tan31°﹣PD?tan26.6°＝40，∴0.60PD﹣0.50PD＝40，解得PD＝400（米），∴P到OC的距離為400米；（2）在Rt△PBD中，BD＝PD?tan26.6°≈400×0.50＝200（米），∵OB＝240米，∴PE＝OD＝OB﹣BD＝40米，∵OE＝PD＝400米，∴AE＝OE﹣OA＝400﹣300＝100（米），∴tanα＝＝＝0.4，∴坡度為0.4．4、如圖，某中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了“利用三角函數(shù)測(cè)高”后，選定測(cè)量小河對(duì)岸一幢建筑物BC的高度，他們先在斜坡上的D處，測(cè)得建筑物頂端B的仰角為30°，且D離地面的高度DE＝5m，坡底EA＝30m，然后在A處測(cè)得建筑物頂端B的仰角是60°，點(diǎn)E，A，C在同一水平線上，求建筑物BC的高(結(jié)果用含有根號(hào)的式子表示)．解析：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，則四邊形DHCE是矩形，∴DH＝EC，DE＝HC＝5m.設(shè)建筑物BC的高度為xm，則BH＝(x－5)m.在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝eq\r(3)(x－5)m，AC＝EC－EA＝[eq\r(3)(x－5)－30]m.在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝eq\f(BC,AC)∴eq\f(x,\r(3)（x－5）－30)＝eq\r(3)，解得x＝eq\f(15＋30\r(3),2).答：建筑物BC的高為eq\f(15＋30\r(3),2)m.

5、金橋?qū)W?！翱萍俭w藝節(jié)”期間，八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的任務(wù)是測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高，他們?cè)谄鞐U正前方臺(tái)階上的點(diǎn)C處，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°，朝著旗桿的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)F處，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為60°，已知升旗臺(tái)的高度BE為1米，點(diǎn)C距地面的高度CD為3米，臺(tái)階CF的坡角為30°，且點(diǎn)E、F、D在同一條直線上，求旗桿AB的高度（計(jì)算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）解析：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M．則四邊形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3．CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，設(shè)EF＝x，則AF＝2x，AE＝x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝3，在Rt△AMC中，∠ACM＝45°，∴∠MAC＝∠ACM＝45°，∴MA＝MC，∵ED＝CM，∴AM＝ED，∵AM＝AE﹣ME，ED＝EF+DF，∴x﹣3＝x+3，∴x＝6+3，∴AE＝（6+3）＝6+9，∴AB＝AE﹣BE＝9+6﹣1≈18.4米．答：旗桿AB的高度約為18.4米．

6、太陽(yáng)能熱水器的玻璃吸熱管與太陽(yáng)光線垂直時(shí)，吸收太陽(yáng)的效果最佳．如圖，某戶根據(jù)本地區(qū)冬至?xí)r刻太陽(yáng)光線與地面水平線的夾角(θ)確定玻璃吸熱管的傾斜角(太陽(yáng)光與玻璃吸熱管垂直)．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，F(xiàn)E⊥AD于點(diǎn)E，若∠θ＝37°，求EF的長(zhǎng)．(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)[xk.Com]解析：如圖，延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.[∵太陽(yáng)光線與玻璃吸熱管垂直，∴∠1＋∠θ＝90°又∠1＋∠H＝90°，∴∠H＝∠θ＝37°.在Rt△CDH中，HC＝eq\f(CD,tan37°)，∴HF＝HC＋CF＝eq\f(CD,tan37°)＋CF.在Rt△EFH中，EF＝HF·sin37°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,tan37°)＋CF))·sin37°≈76.答：EF的長(zhǎng)為76cm.

7、如圖，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏東35°方向，B位于C正西方向．輪船甲從A出發(fā)沿正南方向行駛40海里到達(dá)點(diǎn)D處，此時(shí)輪船乙從B出發(fā)沿正東方向行駛20海里至E處，E位于D南偏西45°方向，這時(shí)，E處距離港口C有多遠(yuǎn)？（參考數(shù)據(jù)：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）解析：由題意得：∠BAP＝37°，∠CAP＝35°，AD＝40海里，BE＝20海里，∠PDE＝45°，∠DPE＝90°，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD＝PE，設(shè)PD＝PE＝x海里，則PA＝4