導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教案

課題：變化率問題教學(xué)目標(biāo)：1．理解平均變化率的概念；2．了解平均變化率的幾何意義；3．會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率教學(xué)重點：平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率；教學(xué)難點：平均變化率的概念．教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)：一、物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;二、求曲線的切線;三、求函數(shù)的最大值與最小值;四、求長度、面積、體積和重心等。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大〔小〕值等問題最一般、最有效的工具。導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度．二、知識探究探究一：氣球膨脹率我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么當(dāng)V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當(dāng)V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了．思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?探究二：高臺跳水：在高臺跳水運動中,運發(fā)動相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t〔單位：s〕存在函數(shù)關(guān)系h(t)=-t2t+10.如何用運發(fā)動在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)?hto思考計算：和的平均速度hto在這段時間里，；在這段時間里，探究：計算運發(fā)動在這段時間里的平均速度，并思考以下問題：⑴運發(fā)動在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？⑵你認(rèn)為用平均速度描述運發(fā)動的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-t2t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，，所以，雖然運發(fā)動在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運發(fā)動仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運發(fā)動的運動狀態(tài)。探究〔三〕：平均變化率1、平均變化率概念：上述問題中的變化率可用式子表示,稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率2．假設(shè)設(shè),(這里看作是對于x1的一個“增量〞可用x1+代替x2,同樣)那么平均變化率為yx1Of(x1)f(xyx1Of(x1)f(x2)y=f(x)△△x=x2-x1△△y=f(x2)-f(x1)直線AB的斜率xx2xx3、函數(shù)f(x)從x0到x0＋△x的平均變化率怎么表示？三、典例分析例1．函數(shù)f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,那么．解：，∴例2、求在附近的平均變化率。解：，所以所以在附近的平均變化率為例3、求函數(shù)y＝5x2＋6在區(qū)間[2，2＋△x]內(nèi)的平均變化率8例4、某盞路燈距離地面高8m，一個身高1.7m的人從路燈的正底下出發(fā)，以1.4m/s的速度勻速沿某直線離開路燈，求人影長度的平均變化率.8解：略四．課堂練習(xí)1．質(zhì)點運動規(guī)律為，那么在時間中相應(yīng)的平均速度為．s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率.3.過曲線y=f(x)=x3上兩點P〔1，1〕和Q(1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時割線的斜率.五．回憶總結(jié)1．平均變化率的概念2．函數(shù)在某點處附近的平均變化率六．布置作業(yè)課后記:課題:導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)：1．了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；2．理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；3．會求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念；教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)的概念．教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1、函數(shù)平均變化率：2、函數(shù)平均變化率的幾何意義：表示曲線上兩點連線(割線)的斜率3、在高臺跳水運動中,平均速度不能準(zhǔn)確反映運發(fā)動在這段時間里運動狀態(tài).因為運發(fā)動從高臺騰空到入水的過程中，不同時刻的速度是不同的。二、知識探究hto1、引例：hto⑴運發(fā)動在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？⑵你認(rèn)為用平均速度描述運發(fā)動的運動狀態(tài)有什么問題嗎？探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-t2t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，，所以，雖然運發(fā)動在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運發(fā)動仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運發(fā)動的運動狀態(tài)．2、．瞬時速度：我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運發(fā)動的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運發(fā)動的瞬時速度呢？比方，時的瞬時速度是多少？考察附近的情況：①、思考：當(dāng)趨近于0時，平均速度有什么樣的變化趨勢？②、結(jié)論：當(dāng)趨近于0時，即無論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度都趨近于一個確定的值．③、從物理的角度看，時間間隔無限變小時，平均速度就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運發(fā)動在時的瞬時速度是④、為了表述方便，我們用表示“當(dāng)，趨近于0時，平均速度趨近于定值〞⑤、小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。3、導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是:我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或，即說明：〔1〕導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率〔2〕，當(dāng)時，，所以4、一般地，求函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)有哪幾個根本步驟？第一步，求函數(shù)值增量：△y＝f(x＋△x)－f(x0)；第二步，求平均變化率：第三步，取極限，求導(dǎo)數(shù)：5、常見結(jié)論：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕三、典例分析例1．〔1〕求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).分析：先求Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2再求再求解：法一〔略〕法二：〔2〕求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．解：例2．〔課本例1〕將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第時，原油的溫度〔單位：〕為，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．解：在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，所以同理可得:在第時和第時，原油溫度的瞬時變化率分別為和5，說明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升．注：一般地，反映了原油溫度在時刻附近的變化情況．四．課堂練習(xí)1．質(zhì)點運動規(guī)律為，求質(zhì)點在的瞬時速度為．2．求曲線y=f(x)=x3在時的導(dǎo)數(shù)．3．例2中，計算第時和第時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．五．回憶總結(jié)1．瞬時速度、瞬時變化率的概念2．導(dǎo)數(shù)的概念六．布置作業(yè)課題：導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1．了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；2．理解曲線的切線的概念；3．通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題；教學(xué)重點：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．教學(xué)過程：一．復(fù)習(xí)引入1、函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的含義是什么？2、求函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)有哪幾個根本步驟？3、導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示函數(shù)f(x)在x＝x0處的瞬時變化率，這是導(dǎo)數(shù)的代數(shù)意義，導(dǎo)數(shù)是否具有某種幾何意義，是一個需要探究的問題.二．知識探究探究一：導(dǎo)數(shù)的幾何意義1、曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線趨近于點時，割線的變化趨勢是什么？我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線在點P處的切線.問題：⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？⑵切線PT的斜率為多少？容易知道，割線的斜率是,當(dāng)點沿著曲線無限接近點P時，無限趨近于切線PT的斜率，即說明：⑴、設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.這個概念：①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).⑵、曲線在某點處的切線：①、與該點的位置有關(guān)；②、要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解。如有極限,那么在此點有切線,且切線是唯一的；如不存在,那么在此點處無切線；③、曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多個.2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點處的切線的斜率，即：說明：求曲線在某點處的切線方程的根本步驟:①、求出P點的坐標(biāo);②、求出函數(shù)在點處的變化率，得到曲線在點的切線的斜率；③、利用點斜式求切線方程.探究二；導(dǎo)函數(shù)概念：1、導(dǎo)函數(shù)定義：由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)x=x0時,是一個確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時,便是x的一個函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或，即:注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù)．2、函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。1〕函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)。2〕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)3〕函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。三．典例分析例1:〔1〕求曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.〔2〕求函數(shù)y=3x2在點處的導(dǎo)數(shù).解：〔1〕,所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即〔2〕因為所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即練習(xí)：求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點處的導(dǎo)數(shù)．解：例2．〔課本例2〕如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)，根據(jù)圖像，請描述、比擬曲線在、、附近的變化情況．解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況．當(dāng)時，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比擬平坦，幾乎沒有升降．當(dāng)時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．當(dāng)時，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢．例3．〔課本例3〕如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時間〔單位：〕變化的圖象．根據(jù)圖像，估計時，血管中藥物濃度的瞬時變化率〔精確到〕．解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度在此時刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點處的切線的斜率．如圖3.1-4，畫出曲線上某點處的切線，利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值．作處的切線，并在切線上去兩點，如，，那么它的斜率為：所以下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值：藥物濃度瞬時變化率0--四．課堂練習(xí)1．求曲線y=f(x)=x3在點處的切線；2．求曲線在點處的切線．五．回憶總結(jié)1．曲線的切線及切線的斜率；2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義六．布置作業(yè)課后記課題：幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個步驟推導(dǎo)四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式；2．掌握并能運用這四個公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．教學(xué)重點：四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用教學(xué)難點：四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式教學(xué)過程：一．復(fù)習(xí)引入1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？2、如何求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)？3、我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點處的切線斜率，物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度．那么，對于函數(shù)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最根本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，所以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運算上很麻煩，有時甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這一單元我們將研究比擬簡捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．二．知識探究函數(shù)導(dǎo)數(shù)1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)⑴根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因為，所以⑵表示函數(shù)圖像〔圖3.2-1〕上每一點處的切線的斜率都為0．假設(shè)表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，那么可以解釋為某物體的瞬時速度為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)．函數(shù)導(dǎo)數(shù)2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)⑴因為。所以⑵表示函數(shù)圖像〔圖3.2-2〕上每一點處的切線的斜率都為1．假設(shè)表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，那么可以解釋為某物體做瞬時速度為1的勻速運動．3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)⑴因為所以⑵表示函數(shù)圖像〔圖3.2-3〕上點處的切線的斜率都為，說明隨著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點的瞬時變化率來看，說明：當(dāng)時，隨著的增加，函數(shù)減少得越來越慢；當(dāng)時，隨著的增加，函數(shù)增加得越來越快．假設(shè)表示路程關(guān)于時間的函數(shù)，那么可以解釋為某物體做變速運動，它在時刻的瞬時速度為．4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)因為所以函數(shù)導(dǎo)數(shù)〔2〕推廣：假設(shè)，那么三．課堂練習(xí)1．課本P13探究1；2．課本P13探究2；3．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四．回憶總結(jié)五．布置作業(yè)課題：根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法那么教學(xué)目標(biāo)：1．熟練掌握根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四那么運算法那么；3．能利用給出的根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四那么運算法那么求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．教學(xué)重點：根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四那么運算法那么教學(xué)難點：根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四那么運算法那么的應(yīng)用教學(xué)過程：一．復(fù)習(xí)引入1、四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用二．知識探究探究一：根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)數(shù)探究二：導(dǎo)數(shù)的運算法那么導(dǎo)數(shù)運算法那么1．2．特別：3．三．典例分析例1．假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價〔單位：元〕與時間〔單位：年〕有如下函數(shù)關(guān)系，其中為時的物價．假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少〔精確到0.01〕？解：根據(jù)根本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有所以〔元/年〕因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲．例2．根據(jù)根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法那么，求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．〔1〕〔2〕y＝；〔3〕y＝x·sinx·lnx；〔4〕y＝；〔5〕y＝．〔6〕y＝〔2x2－5x＋1〕ex〔7〕y＝說明：①求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實行的．②求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)，必須細(xì)心、耐心．例3、日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的．隨著水純潔度的提高，所需凈化費用不斷增加．將1噸水凈化到純潔度為時所需費用為：求凈化到以下純潔度時，所需凈化費用的瞬時變化率：〔1〕〔2〕解：略四．課堂練習(xí)1．課本P92練習(xí)2．曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點的切線方程；〔y＝－12x＋8〕五．回憶總結(jié)〔1〕根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表〔2〕導(dǎo)數(shù)的運算法那么六．布置作業(yè)課后記課題：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么．教學(xué)重點：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)之積．教學(xué)難點：正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，做到不漏，不重，熟練，正確．教學(xué)過程：一．復(fù)習(xí)引入1、根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)數(shù)2、導(dǎo)數(shù)的運算法那么導(dǎo)數(shù)運算法那么1．2．特別：3．二、知識探究1、復(fù)合函數(shù)的概念：一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作。2、以下函數(shù)可以看成那兩個函數(shù)復(fù)合而成？⑴y＝ln(x2＋3)⑵y＝(2x＋3)3⑶y＝sin(ax＋1)3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積．假設(shè)，那么三．典例分析例1求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：〔1〕y＝(2x＋3)3；〔2〕〔3〕〔4〕y＝ln(3x＋2).例2求y＝的導(dǎo)數(shù)．例3求y＝sin4x＋cos4x的導(dǎo)數(shù)．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x＝1－〔1－cos4x〕＝＋cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x例4曲線y＝x〔x＋1〕〔2－x〕有兩條平行于直線y＝x的切線，求此二切線之間的距離．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－或x＝1．于是切點為P〔1，2〕，Q〔－，－〕，過點P的切線方程為，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．顯然兩切線間的距離等于點Q到此切線的距離，故所求距離為＝．四．課堂練習(xí)1．求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=sinx3+sin33x；〔2〕;(3)的導(dǎo)數(shù)五．回憶總結(jié)六．布置作業(yè)課題：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1．了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項式函數(shù)一般不超過三次；教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學(xué)過程：一．情景導(dǎo)入函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個根本的了解．下面，我們運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用．二．知識探究1．問題：圖3.3-1〔1〕，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1〔2〕表示高臺跳水運發(fā)動的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像．運發(fā)動從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：⑴、運發(fā)動從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，．⑵、從最高點到入水，運發(fā)動離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，．2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系．如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上〞式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下〞式的，這時，函數(shù)在附近單調(diào)遞減．結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．說明：〔1〕特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)．3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：〔1〕確定函數(shù)的定義域；〔2〕求導(dǎo)數(shù)；〔3〕解不等式，解集在定義域內(nèi)的局部為增區(qū)間；〔4〕解不等式，解集在定義域內(nèi)的局部為減區(qū)間．三．典例分析例1．導(dǎo)函數(shù)的以下信息：當(dāng)時，；當(dāng)，或時，；當(dāng)，或時，，試畫出函數(shù)圖像的大致形狀．解：當(dāng)時，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，或時，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)，或時，，這兩點比擬特殊，我們把它稱為“臨界點〞．綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示．例2．判斷以下函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間．〔1〕；〔2〕〔3〕；〔4〕解：〔1〕因為，所以，因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5〔1〕所示．〔2〕因為，所以，當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)的圖像如圖3.3-5〔2〕所示．〔3〕因為，所以，因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5〔3〕所示．〔4〕因為，所以．當(dāng)，即時，函數(shù)；當(dāng)，即時，函數(shù)；函數(shù)的圖像如圖3.3-5〔4〕所示．注：〔3〕、〔4〕生練如圖3.3-6，水以常速〔即單位時間內(nèi)注入水的體積相同〕注入下面四種底面積相同的容器中，請分別找出與各容器對應(yīng)的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像．解：思考：例3說明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，這時，函數(shù)的圖像就比擬“陡峭〞；反之，函數(shù)的圖像就“平緩〞一些．如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭〞，在或內(nèi)的圖像“平緩〞．求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．證明：因為當(dāng)即時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．說明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟：〔1〕求導(dǎo)函數(shù)；〔2〕判斷在內(nèi)的符號；〔3〕做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)．例5、函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．解：，因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數(shù)的取值范圍為．說明：函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“假設(shè)函數(shù)單調(diào)遞增，那么；假設(shè)函數(shù)單調(diào)遞減，那么〞來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否那么漏解．四．課堂練習(xí)1．求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔1〕.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3.f(x)=sinx,x4.y=xlnx2．課本練習(xí)五．回憶總結(jié)〔1〕函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系〔2〕求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間〔3〕證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性六．布置作業(yè)課后記課題：函數(shù)的極值〔一〕教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)的極大值、極小值、極值點的意義.2、掌握函數(shù)極值的判別方法.進(jìn)一步體驗導(dǎo)數(shù)的作用.教學(xué)重點：求函數(shù)的極值.教學(xué)難點：嚴(yán)格套用求極值的步驟.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有什么關(guān)系？2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的根本步驟如何？二、知識探究探究一；函數(shù)的極值的概念1、觀察以下圖中的曲線a點的函數(shù)值f(a)比它臨近點的函數(shù)值都大．b點的函數(shù)值f(b)比它臨近點的函數(shù)值都?。?、觀察函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋7的圖象，思考：函數(shù)y＝f(x)在點x＝0，x＝2處的函數(shù)值，與它們附近所有各點處的函數(shù)值，比擬有什么特點?〔1〕函數(shù)在x＝0的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值；〔2〕函數(shù)在x＝2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，那么f(2)是函數(shù)的一個極小值．函數(shù)y＝2x3－6x2＋7的一個極大值:f(0)；一個極小值:f(2)．函數(shù)y＝2x3－6x2＋7的一個極大值點:(0，f(0))；一個極小值點:(2，f(2))．3、極值的概念：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)我們就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作：y極大值＝f(x0)；如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0)，我們就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作：y極小值＝f(x0)．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．探究二：函數(shù)極值的求解1、觀察以下圖中的曲線考察上圖中，曲線在極值點處附近切線的斜率情況．上圖中，曲線在極值點處切線的斜率為0，極大值點左側(cè)導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)為負(fù)；極小值點左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)，右側(cè)為正．2、、利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)的極大〔小〕值：一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，判別f(x0)是極大〔小〕值的方法是：⑴如果在x0附近的左側(cè)f'(x)＞0，右側(cè)f'(x)＜0，那么，f(x0)是極大值；⑵如果在x0附近的左側(cè)f'(x)＜0，右側(cè)f'(x)＞0，那么，f(x0)是極小值；思考：導(dǎo)數(shù)為0的點是否一定是極值點？〔導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點．〕如函數(shù)f(x)＝x3，x＝0點處的導(dǎo)數(shù)是0，但它不是極值點．說明：⑴、函數(shù)的極值點xi是區(qū)間[a,b]內(nèi)部的點，區(qū)間的端點不能成為極值點．⑵、函數(shù)的極大(小)值可能不止一個，并且函數(shù)的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值．⑶、函數(shù)在[a,b]上有極值，其極值點的分布是有規(guī)律的，像相鄰兩個極大值間必有一個極小值點．x1x1x2x3x4x5x6x7x8三、典例分析例1求函數(shù)解：y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令y＝0，解得x1＝－2，x2＝2．當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如下表．因此，當(dāng)x＝－2時，y極大值＝，當(dāng)x＝2時，y極小值＝－．總結(jié)：求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：⑴求導(dǎo)函數(shù)f(x)；⑵求方程f(x)＝0的根；⑶檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值．例2．求函數(shù)的極值例3求函數(shù)y＝(x2－1)3＋1的極值．解：定義域為R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1

當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如下表：當(dāng)x＝0時，y有極小值，并且y極小值＝0．例4．的極值例5．的極值練習(xí)：求函數(shù)的極值四、課堂小結(jié)1．函數(shù)的極值的定義。2、求函數(shù)極值的根本步驟：確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)→解方程f′(x)＝0→判斷在根附近左右兩側(cè)f′(x)的符號→作出結(jié)論.五、課后作業(yè)課后記課題：函數(shù)的極值(二)教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)的極大值、極小值、極值點的意義.2、掌握函數(shù)極值的判別方法進(jìn)一步體驗導(dǎo)數(shù)的作用.教學(xué)重點：求函數(shù)的極值教學(xué)難點：嚴(yán)格套用求極值的步驟.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1．函數(shù)的極值的定義。略〔1〕函數(shù)的極值點xi是區(qū)間[a,b]內(nèi)部的點，區(qū)間的端點不能成為極值點．〔2〕函數(shù)的極大(小)值可能不止一個，并且函數(shù)的極大值不一定大于極小值，極小值不一定小于極大值．〔3〕函數(shù)在[a,b]上有極值，其極值點的分布是有規(guī)律的，像相鄰兩個極大值間必有一個極小值點．2、求函數(shù)極值的根本步驟：確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)→解方程f′(x)＝0→判斷在根附近左右兩側(cè)f′(x)的符號→作出結(jié)論.二、講授新課練習(xí)：〔1〕函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知當(dāng)x＝－1時取得極大值7，當(dāng)x＝3時取得極小值，試求函數(shù)f(x)的極小值，并求a、b、c的值例5、設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x3–x2–x+a.，〔1〕求f(x)的極值；〔2〕當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，曲線y=f(x)與x軸僅有一個交點.例2．函數(shù)．〔1〕求曲線在點處的切線方程；〔2〕設(shè)，如果過點可作曲線的三條切線，證明：．例3．在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)假設(shè)在區(qū)間(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范圍.例4．設(shè)函數(shù)，其中． 證明：當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點；當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個極值點，并求出極值．例5．設(shè)函數(shù)，其中．〔Ⅰ〕當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；〔Ⅱ〕求函數(shù)的極值點；〔Ⅲ〕證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立．解：略四、小結(jié)五、作業(yè)：見資料課題：函數(shù)的最大〔小〕值與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1、使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上所有點〔包括端點a,b〕處的函數(shù)中的最大〔或最小〕值必有的充分條件；2、使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法．教學(xué)難點：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系．教學(xué)過程：一．創(chuàng)設(shè)情景我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)．也就是說，如果是函數(shù)的極大〔小〕值點，那么在點附近找不到比更大〔小〕的值．但是，在解決實際問題或研究函數(shù)的性質(zhì)時，我們更關(guān)心函數(shù)在某個區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最?。绻呛瘮?shù)的最大〔小〕值，那么不小〔大〕于函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值．二．知識探究吧1、觀察圖中一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是．2、結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值．說明：⑴、如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么稱函數(shù)在這個區(qū)間上連續(xù)．〔可以不給學(xué)生講〕⑵、給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；⑶、在閉區(qū)間上的每一點必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷，⑷、函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．〔可以不給學(xué)生講〕3、“最值〞與“極值〞的區(qū)別和聯(lián)系⑴、最值〞是整體概念，是比擬整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對性；而“極值〞是個局部概念，是比擬極值點附近函數(shù)值得出的，具有相對性．⑵、從個數(shù)上看，一個函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一；⑶、函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個⑷、極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．3．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比擬，就可以得出函數(shù)的最值了．一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：⑴、求在內(nèi)的極值；⑵、將的各極值與端點處的函數(shù)值、比擬，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值，得出函數(shù)在上的最值三．典例分析例1．〔課本例5〕求在的最大值與最小值解：由例4可知，在上，當(dāng)時，有極小值，并且極小值為，又由于，因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是．例2求函數(shù)y＝x4－2x2＋5在區(qū)間[0，2]上的最大值與最小值.答案：f(x)max=f(2)＝13，f(x)min=f(1)＝4.例3求函數(shù)f(x)＝sin2x－x在區(qū)間上的最大值與最小值.答案：例4求函數(shù)在上的最大值.例5m≤1為常數(shù)，求證：x≥ln(x＋m).例6、假設(shè)對任意x∈[－1，2]，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.答案：例7、集合，，其中a≥1為常數(shù)，假設(shè)當(dāng)x∈[0，1]時，，求a的取值范圍.答案：例8、假設(shè)存在正實數(shù)x，使不等式成立，求a的取值范圍.答案：a∈(0，2).例9函數(shù)，其中a＜0為常數(shù)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值.答案：略四．課堂練習(xí)1．以下說法正確的選項是()A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C.函數(shù)的最值一定是極值D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值2．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,假設(shè)M=m,那么f′(x)()A.等于0 B.大于0C.小于0 D.以上都有可能3．函數(shù)y=，在［－1，1］上的最小值為()A.0 B.－2C.－4．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．五．回憶總結(jié)1．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點必在以下各種點之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點，導(dǎo)數(shù)不存在的點，區(qū)間端點；2．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件；3．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，假設(shè)有唯一的極值，那么此極值必是函數(shù)的最值4．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值方法．六．布置作業(yè)課題：生活中的優(yōu)化問題舉例〔一〕教學(xué)目標(biāo)：使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大〔小〕值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．二．新課講授導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其本錢有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的根本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案三．典例分析例1．海報版面尺寸的設(shè)計學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進(jìn)行宣傳。現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最??？解：設(shè)版心的高為xdm，那么版心的寬為dm,此時四周空白面積為。求導(dǎo)數(shù)，得。令，解得舍去〕。于是寬為。當(dāng)時，<0；當(dāng)時，>0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2．在邊長為60cm解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，那么箱高cm，得箱子容積．令＝0解得x=0〔舍去〕，x=40，并求得V(40)=16000由題意可知，當(dāng)x過小〔接近0〕或過大〔接近60〕時，箱子容積很小，因此，16000是最大值答：當(dāng)x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，那么箱底長為(60-2x)cm，那么得箱子容積．〔后面同解法一，略〕由題意可知，當(dāng)x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處．事實上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例3．圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，那么外表積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，那么S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令 +4πR=0解得，R=，從而h====2即h=2R，因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的外表積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最省？例4．矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長．【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為〔x，y〕，且x＞0，y＞0，那么另一個在拋物線上的頂點為〔－x，y〕，在x軸上的兩個頂點為〔－x，0〕、〔x，0〕，其中0＜x＜2．設(shè)矩形的面積為S，那么S＝2x〔4－x2〕，0＜x＜2．由S′〔x〕＝8－6x2＝0，得x＝，易知x＝是S在〔0，2〕上的極值點，即是最大值點，所以這種矩形中面積最大者的邊長為和．【點評】應(yīng)用題求解，要正確寫出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值．四．課堂練習(xí)1．把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長、寬、高各為多少時，面積最大？2．把長為100用總長為14.8m的鋼條制作一個長方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．答案：〔高為1.2m，最大容積〕五．回憶總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的根本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。六．布置作業(yè)1.4生活中的優(yōu)化問題舉例〔二〕教學(xué)目標(biāo)1、使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大〔小〕值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．二．新課講授導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其本錢有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的根本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案三．典例分析例1.飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響〔1〕你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？〔2〕是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造本錢是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米。每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm問題：〔１〕瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？〔２〕瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最小？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是令解得〔舍去〕當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)半徑時，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑時，它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低．〔1〕半徑為cm時，利潤最小，這時，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的本錢，此時利潤是負(fù)值．〔2〕半徑為cm時，利潤最大．換一個角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)時，，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的本錢恰好相等；當(dāng)時，利潤才為正值．當(dāng)時，，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm時，利潤最小．例2．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的本錢稱為本錢函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)?！?〕、如果C(x)＝，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際最低？(邊際本錢：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時本錢的增加量)〔2〕、如果C(x)=50x＋10000，產(chǎn)品的單價P＝100－0.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？變式：某商品生產(chǎn)本錢C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去本錢C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤．解：收入，利潤，令，即，求得唯一的極值點答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大1、書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫費40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？【解】假設(shè)每次進(jìn)書x千冊，手續(xù)費與庫存費之和為y元，由于該書均勻投放市場，那么平均庫存量為批量之半，即，故有y＝×30＋×40，y′＝－＋20，令y′＝0，得x＝15，且y″＝，f″(15)＞0，所以當(dāng)x＝15時，y取得極小值，且極小值唯一，故當(dāng)x＝15時，y取得最小值，此時進(jìn)貨次數(shù)為＝10〔次〕．即該書店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少．2、甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費用分別為每千米500元和700元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費用最?。俊窘狻吭O(shè)水廠D點與乙城到岸的垂足B點之間的距離為x千米，總費用為y元，那么CD＝．y＝500〔50－x〕＋700＝25000－500x＋700，y′＝－500＋700·(x2＋1600)·2x＝－500＋，令y′＝0，解得x＝．答：水廠距甲距離為50－千米時，總費用最?。?.某公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的本錢為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元〔3≤a≤5〕的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元〔9≤a≤11〕時，一年的銷售量為(12-x)2萬件.〔1〕求分公司一年的利潤L〔萬元〕與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a).五．回憶總結(jié)建立數(shù)學(xué)模型1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的根本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。六．布置作業(yè)課題：生活中的優(yōu)化問題舉例〔三〕教學(xué)目標(biāo)1使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用2、提高將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)難點：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．教學(xué)過程一．創(chuàng)設(shè)情景生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大〔小〕值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．二．新課講授導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：1、與幾何有關(guān)的最值問題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題；3、與利潤及其本錢有關(guān)的最值問題；4、效率最值問題。解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的根本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題優(yōu)化問題的答案三．典例分析例1．磁盤的最大存儲量問題計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為根本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個根本單元通常被稱為比特〔bit〕。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有磁道要具有相同的比特數(shù)。問題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域．是不是越小，磁盤的存儲量越大？為多少時，磁盤具有最大存儲量〔最外面的磁道不存儲任何信息〕？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲量×〔1〕它是一個關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲量越大．〔2〕為求的最大值，計算，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為例2．汽油的使用效率何時最高我們知道，汽油的消耗量〔單位：L〕與汽車的速度〔單位：km/h〕之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題：〔1〕是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？〔2〕“汽油的使用率最高〞的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率〔單位：L/m〕就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量〔單位：L〕，表示汽油行駛的路程〔單位：km〕．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少〞，就是求的最小值的問題．通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過程中，汽油平均消耗率〔即每小時的汽油消耗量，單位：L/h〕與汽車行駛的平均速度〔單位：km/h〕之間有如下圖的函數(shù)關(guān)系．從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題．因此，我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率〔即每小時的汽油消耗量，單位：L/h〕與汽車行駛的平均速度〔單位：km/h〕之間關(guān)系的問題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問題．解：因為，這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率．進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最小．在此切點處速度約為90．因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為L．例3．一條水渠，斷面為等腰梯形，如下圖，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h(yuǎn)和下底邊長b.解：由梯形面積公式，得S=(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b,∴S=①∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=×2+b ②由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)=l′==0,∴h=,當(dāng)h<時，l′<0,h>時，l′>0.∴h=時，l取最小值，此時b=四．課堂練習(xí)OO1請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐〔如右圖所示〕。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心OO1解：設(shè)OO1為，那么由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：，〔單位：〕故底面正六邊形的面積為：=，〔單位：〕帳篷的體積為：求導(dǎo)得。令，解得〔不合題意，舍去〕，，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)?！喈?dāng)時，最大。答：當(dāng)OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為。【點評】當(dāng)要求的最大〔小〕值的變量y與幾個變量相關(guān)時，我們總是先設(shè)幾個變量中的一個為x，然后再根據(jù)條件x來表示其他變量，并寫出y的函數(shù)表達(dá)式f〔x〕．五．回憶總結(jié)1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的根本思路：2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個有利的工具。六．布置作業(yè)課題：曲邊梯形的面積教學(xué)目標(biāo)：理解求曲邊圖形面積的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想方法教學(xué)重點：掌握過程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近〔取極限〕教學(xué)難點：對過程中所包含的根本的微積分“以直代曲〞的思想的理解教學(xué)過程：1．創(chuàng)設(shè)情景問題1：我們學(xué)過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題。定積分在科學(xué)研究和實際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將學(xué)習(xí)定積分的根本概念以及定積分的簡單應(yīng)用，初步體會定積分的思想及其應(yīng)用價值。一個概念：如果函數(shù)在某一區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把函數(shù)稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．〔不加說明，下面研究的都是連續(xù)函數(shù)〕2．新課講授問題2：如圖，陰影局部類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何計算這個曲邊梯形的面積？例1：求圖中陰影局部是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。問題3：〔1〕曲邊梯形與“直邊圖形〞的區(qū)別？〔2〕能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形〞面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形〞的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形〞的所有邊都xxx1x1xxx1x1xy1xyy把區(qū)間分成許多個小區(qū)間，進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代取〞，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值．分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無限變細(xì)時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S．也即：用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積．解：〔1〕．分割：在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，，記第個區(qū)間為，其長度為分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，，顯然，〔2〕近似代替記，如下圖，當(dāng)很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊〔如圖〕．這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取〞，那么有①〔3〕求和由①，上圖中陰影局部的面積為====從而得到的近似值〔4〕取極限分別將區(qū)間等分8，16，20，…等份〔如圖〕，可以看到，當(dāng)趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有從數(shù)值上的變化趨勢：見教材3．求曲邊梯形面積的四個步驟:第一步：分割．在區(qū)間中任意插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替，“以直代取〞。用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．第四步：取極限。說明：1．歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近2．最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值例2．求圍成圖形面積解：1．分割：在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，，記第個區(qū)間為，其長度為，分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作：，，…，，顯然，〔2〕近似代替：∵，當(dāng)很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取〞，那么有①〔3〕求和：由①，上圖中陰影局部的面積為====從而得到的近似值〔4〕取極限：練習(xí)：設(shè)S表示由曲線，x=1，以及x軸所圍成平面圖形的面積。四：課堂小結(jié)求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近〔“以直代曲〞的思想〕五：課后作業(yè)課后記：課題：汽車行駛的路程教學(xué)目標(biāo)：1、了解求曲邊梯形面積的過程和解決有關(guān)汽車行駛路程問題的過程的共同點；感受在其過程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限〔逼近〕2、通過與求曲邊梯形的面積進(jìn)行類比，求汽車行駛的路程有關(guān)問題，再一次體會“以直代曲“的思想教學(xué)重點：掌握過程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近〔取極限〕教學(xué)難點：過程的理解教學(xué)過程：一．復(fù)習(xí)引入1、連續(xù)函數(shù)的概念；2、求曲邊梯形面積的根本思想和步驟；3、利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“物體運動路程與時間的關(guān)系，求物體運動速度〞的問題．反之，如果物體的速度與時間的關(guān)系，如何求其在一定時間內(nèi)經(jīng)過的路程呢？二．知識探究1、引例：汽車以速度作勻速直線運動時，經(jīng)過時間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為〔單位：km/h〕，那么它在0≤≤1(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程〔單位：km〕是多少？分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變〞的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題．把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得〔單位：km〕的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到〔單位：km〕的精確值．〔思想：用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程〕．解：1．分割:在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，,記第個區(qū)間為，其長度為;把汽車在時間段，，…，上行駛的路程分別記作：，，…，;顯然，〔2〕近似代替:當(dāng)很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速〞，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取〞，那么有①〔3〕求和:由①，====從而得到的近似值〔4〕取極限：當(dāng)趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？結(jié)合上述求解過程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積．一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變〞的方法及無限逼近的思想，求出它在a≤≤b內(nèi)所作的位移．三、典例分析：例1．彈簧在拉伸的過程中，力與伸長量成正比，即力〔為常數(shù)，是伸長量〕，求彈簧從平衡位置拉長所作的功．分析：利用“以不變代變〞的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解．解：將物體用常力沿力的方向移動距離，那么所作的功為．1．分割：在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，；記第個區(qū)間為，其長度為，把在分段，，…，上所作的功分別記作：，，…，〔2〕近似代替：有條件知：〔3〕求和：=從而得到的近似值〔4〕取極限：所以得到彈簧從平衡位置拉長所作的功為：四：課堂小結(jié)求汽車行駛的路程有關(guān)問題的過程．五：課后作業(yè)課后記課題：定積分的概念教學(xué)目標(biāo)：1.通過求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程，了解定積分的背景；2.借助于幾何直觀定積分的根本思想，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡單的定積分；3.理解掌握定積分的幾何意義．教學(xué)重點：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義．教學(xué)難點：定積分的概念、定積分的幾何意義．教學(xué)過程：一．復(fù)習(xí)引入：1．回憶前面曲邊梯形的面積，汽車行駛的路程等問題的解決方法，解決步驟：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取極限〔逼近〕2．對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點．二．知識探究探究一、定積分的概念1、定積分的概念：一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為〔〕，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式：如果無限接近于〔亦即〕時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：，其中積分號，－積分上限，－積分下限，－被積函數(shù)，－積分變量，－積分區(qū)間，－被積式。說明：〔1〕定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)〔時〕記為，而不是．〔2〕用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：〔3〕曲邊圖形面積：；變速運動路程；變力做功探究二：定積分的幾何意義1、定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影局部)的面積，這就是定積分的幾何意義。說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各局部面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負(fù)號。分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，假設(shè)在上可取負(fù)值?？疾旌褪讲环猎O(shè)；于是和式即為陰影的面積—陰影的面積〔即軸上方面積減軸下方的面積〕思考：根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影局部的面積S嗎？探究三：定積分的性質(zhì)1、定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1；性質(zhì)2〔定積分的線性性質(zhì)〕；性質(zhì)3〔定積分的線性性質(zhì)〕；性質(zhì)4〔定積分對積分區(qū)間的可加性〕(1)；(2)；說明：①推廣：②推廣:③性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)1性質(zhì)4性質(zhì)1三．典例分析例1．利用定積分的定義，計算的值。分析：令；〔１〕分割：把區(qū)間n等分，那么第i個區(qū)間為：，每個小區(qū)間長度為：；〔２〕近似代替、求和：取，那么〔３〕取極限：.例2．計算定積分分析：所求定積分是所圍成的梯形面積，即為如圖陰12yxO12yxO思考：假設(shè)改為計算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？〔后面解決的問題〕例３．計算定積分分析：利用定積分性質(zhì)有，利用定積分的定義分別求出，，就能得到的值。四．課堂練習(xí)計算以下定積分1．2．3．課本練習(xí)：計算的值，并從幾何上解釋這個值表示什么？五．回憶總結(jié)1．定積分的概念、用定義法求簡單的定積分、定積分的幾何意義．六．布置作業(yè)P503、5課題：微積分根本定理教學(xué)目標(biāo)：1、通過實例，直觀了解微積分根本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分2、通過實例體會用微積分根本定理求定積分的方法教學(xué)重點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分根本定理的含義，并能正確運用根本定理計算簡單的定積分。教學(xué)難點：了解微積分根本定理的含義。教學(xué)過程：一．復(fù)習(xí)舊知問題1；定積分的概念問題2：用定義計算定積分的步驟二．引入新課我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比擬復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比擬一般的方法。變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)〔〕，那么物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為。〔板書〕另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S〔t〕在上的增量來表達(dá)，即=而。對于一般函數(shù)，設(shè)，也有假設(shè)上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)〔即滿足〕的數(shù)值差來計算在上的定積分的方法。注：1：定理如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個原函數(shù)，那么為了方便起見，還常用表示，即該式稱之為微積分根本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了根底。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的開展帶來了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。例1．計算以下定積分：〔1〕；〔2〕。解：〔1〕因為，所以?！?〕〕因為，所以。練習(xí)：計算解：由于是的一個原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有===例2．計算以下定積分：。由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因為，所以，，.可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0:(l〕當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時〔圖1.6一3)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1.6一3(2〕〔2〕當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時〔圖1.6一4)，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)；(3〕當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0〔圖1.6一5)，且等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．例3．汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車開始到停車經(jīng)過了多少時間。當(dāng)t=0時，汽車速度=32公里/小時=米/秒8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,