四川省眉山市仁壽第一中學(xué)南校區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

仁壽一中南校區(qū)2022級(jí)高二下12月階段性模擬測(cè)試第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“直線和直線平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別當(dāng)時(shí)，判斷兩直線的位置關(guān)系和當(dāng)兩直線平行且不重合時(shí)，求的范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為：，，兩直線斜率相等，則平行且不重合．若兩直線平行且不重合，則或，綜上所述，是兩直線平行的充分不必要條件．故選：A2.某廣場(chǎng)的一個(gè)橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過(guò)橫截面圓心的縱截面為橢圓，該橢圓的離心率為．若該橢球橫截面的最大直徑為米，則該橢球的高為（）A.米 B.米 C.4米 D.米【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)解題即可.【詳解】由題意可知，，則，由該橢球橫截面的最大直徑為米，可知米，所以米，米，該橢球的高為米．故選：D3.圓上的點(diǎn)到直線距離的取值范圍是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得出圓心和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式及圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題即可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到該直線的距離的取值范圍是，即，故選：A..4.已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（）A. B. C.4 D.4【答案】A【解析】【分析】設(shè)出交點(diǎn)代入橢圓方程，相減化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】設(shè)弦與橢圓交于，，斜率，則，，相減得到，即，解得.故選：A.5.已知點(diǎn)，，，，則直線，的位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交 C.重合 D.異面【答案】D【解析】【分析】計(jì)算、、的坐標(biāo)，由空間向量共線定理可證明選項(xiàng)A，C不正確，再證明三個(gè)向量不共面即可求證直線，不相交，即可得直線，的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，，，所以，，，因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以、不共線，所以直線，不平行，不重合，故選項(xiàng)A、D不正確；假設(shè)、、三個(gè)向量共面，設(shè)，則，此方程組無(wú)解，可得、、三個(gè)向量不共面，所以直線，不相交，所以直線，異面，故選：D.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，若直線：上存在點(diǎn)M，使得，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合直線與圓有公共點(diǎn)的條件即可求解.【詳解】設(shè)，由，可得，整理得，因?yàn)橹本€：與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得或．所以的取值范圍為.故選：B.7.已知拋物線C：，點(diǎn)M在C上，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若面積最小值為，則（）A.44 B.4 C.4或44 D.1或4【答案】B【解析】【分析】為定值，設(shè)則可將面積表示為以為自變量的二次函數(shù)，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可將面積的最小值用表示出來(lái)，因?yàn)槊娣e的最小值為，解方程可以求出的值.【詳解】不妨設(shè)，，由，，知．設(shè)，則，故，故.故選：B．8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，又因?yàn)椋?，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，即，解得，所以，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，，所以，即：，所以，?故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則直線的方程可能是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，分直線的截距為0和直線的截距不為0，兩種情況討論，結(jié)合直線的截距式方程，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的截距為0時(shí)，此時(shí)直線的方程為，即．當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得直線的方程為，即；若時(shí)，可得則直線的方程為，即．故選：BCD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的是（）A.三棱錐的體積是B.平面C.平面與平面所成的二面角為D.異面直線與所成角的范圍是【答案】AB【解析】【分析】利用等體積法，求得三棱錐的體積，即可得判斷A的正誤；利用面面平行的判定定理，可證平面平面，又平面，即可判斷B的正誤；根據(jù)面面垂直的判定定理，可證平面平面，可判斷C的正誤；分析可得點(diǎn)P位于兩端點(diǎn)時(shí)，與所成的角最小，P位于中點(diǎn)時(shí)，與所成角最大，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)镃到平面的距離不變，為的一半，等于，的面積不變，且所以三棱錐的體積不變，根據(jù)等體積法可得，故A正確；對(duì)于B：連接DB，DP，，因?yàn)檎襟w，所以平面，平面，所以平面，同理平面，，所以平面平面，又平面，所以平面，故B正確.對(duì)于C：因?yàn)?，，所以平面，所以，同理，所以平面，所以平面平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以異面直線與所成角等于與所成的角，因?yàn)?，?dāng)P與兩端點(diǎn)重合時(shí)，與所成的角最小，且為，當(dāng)P位于中點(diǎn)時(shí)，與所成角最大，且為，所以異面直線與所成角的范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】證明線面平行時(shí)，常用判定定理，即線線平行推出線面平行，也可用面面平行的性質(zhì)定理，即先證兩個(gè)面平行，一個(gè)面內(nèi)一條線平行另一個(gè)平面，也可得線面平行.11.畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓C：的離心率為，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).直線的方程為.下列說(shuō)法正確的是（）A.的蒙日?qǐng)A的方程為B.對(duì)直線上任意點(diǎn)，C.記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為D.若矩形的四條邊均與相切，則矩形面積的最大值為【答案】AD【解析】【分析】由在蒙日?qǐng)A上可得蒙日?qǐng)A方程，結(jié)合離心率可得關(guān)系，由此可知A正確；由過(guò)且在蒙日?qǐng)A上，可知當(dāng)恰為切點(diǎn)時(shí)，，知B錯(cuò)誤；根據(jù)橢圓定義可將轉(zhuǎn)化為，可知時(shí)，取得最小值，由點(diǎn)到直線距離公式可求得最小值，代入可得的最小值，知C錯(cuò)誤；由題意知蒙日?qǐng)A為矩形的外接圓，由矩形外接圓特點(diǎn)可知矩形長(zhǎng)寬與圓的半徑之間的關(guān)系，利用基本不等式可求得矩形面積最大值，知D正確.【詳解】對(duì)于A，過(guò)可作橢圓的兩條互相垂直的切線：，，在蒙日?qǐng)A上，蒙日?qǐng)A方程為：；由得：，的蒙日?qǐng)A方程為：，A正確；對(duì)于B，由方程知：過(guò)，又滿足蒙日?qǐng)A方程，在圓上，過(guò)，當(dāng)恰為過(guò)作橢圓兩條互相垂直切線的切點(diǎn)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在橢圓上，，；當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為到直線的距離，又到直線的距離，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)矩形的四條邊均與相切時(shí)，蒙日?qǐng)A為矩形的外接圓，矩形的對(duì)角線為蒙日?qǐng)A的直徑，設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為，則，矩形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即矩形面積的最大值為，D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線中的新定義問(wèn)題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義，結(jié)合點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，得到蒙日?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而結(jié)合圓的方程來(lái)判斷各個(gè)選項(xiàng).12.用于加熱水和食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物面（拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，集中于它的焦點(diǎn).用一過(guò)拋物線對(duì)稱軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若拋物線C：的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)M射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)反射，再經(jīng)過(guò)C上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則（）A.C的準(zhǔn)線方程為B.C.若點(diǎn)，則D.設(shè)直線AO與C的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為N，則點(diǎn)N在直線上【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可判定A正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)，求得，可判定C錯(cuò)誤；由，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，可判定D正確.【詳解】由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以A正確；由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F，且斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以，所以B錯(cuò)誤；若點(diǎn)，則，所以，所以，，所以，所以C錯(cuò)誤；又由直線，聯(lián)立方程組，解得，由，得，所以，所以點(diǎn)N在直線上，所以D正確.故選：AD.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.已知雙曲線的離心率為2，則_________．【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即可求得.【詳解】由可得，利用離心率為，可得，解得.故答案為：14.如圖，圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，母線長(zhǎng)，過(guò)的中點(diǎn)B作OA的垂線交圓O于點(diǎn)C，則異面直線與所成角的大小為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】證明或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，然后在直角（需要證明其為直角三角形）中求得角的大?。驹斀狻吭谥苯翘菪沃?，因?yàn)锽為OA的中點(diǎn)，，所以，連接，又，所以是平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，是圓臺(tái)的高，則它與底面垂直，所以與底面垂直，從而它與底面上的直線垂直，在直角三角形中，，所以，連接OC，在直角三角形OBC中，由，，得；在直角三角形中，，所以.故答案為：．15.已知點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】曲線表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的上半個(gè)圓，表示上半圓上的點(diǎn)與連線的斜率，作出圖形，可知當(dāng)直線與半圓相切時(shí)的斜率即得解.【詳解】變形為，它是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的上半圓，如圖，在上半圓上，表示點(diǎn)與連線的斜率，由題意得，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)斜率最大，設(shè)直線與半圓相切時(shí)直線斜率為，直線方程，即，因此，解得（由圖舍去），所以的最大值為.故答案為：16.已知斜率為k的直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足，則______．【答案】【解析】【分析】求出拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為．直線的方程為．利用，說(shuō)明在以為直徑的圓上．設(shè)點(diǎn)，，，，利用平方差法求出斜率，設(shè)的中點(diǎn)為，，推出．通過(guò)點(diǎn)，在直線上，結(jié)合點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心．轉(zhuǎn)化求解直線的斜率，求解弦長(zhǎng)即可．【詳解】解：由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，得，所以拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為．因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為．因?yàn)?，所以在以為直徑的圓上．設(shè)點(diǎn)，，，，聯(lián)立方程組兩式相減可得．設(shè)的中點(diǎn)為，，則．因?yàn)辄c(diǎn)，在直線上，所以，所以點(diǎn)是以為直徑的圓的圓心．由拋物線的定義知，圓的半徑，因?yàn)?，所以，解得，所以弦長(zhǎng)．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.17.已知直線l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．(1)求直線l1關(guān)于x軸對(duì)稱的直線l3的方程，并求l2與l3的交點(diǎn)P；(2)求過(guò)點(diǎn)P且與原點(diǎn)O（0，0）距離等于2的直線m的方程．【答案】(1)2x﹣y+3＝0，P（﹣2，﹣1）；(2)3x+4y+10＝0或x＝﹣2.【解析】【分析】(1)由對(duì)稱關(guān)系求直線l3的方程，聯(lián)立l2與l3的方程，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，(2)當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的點(diǎn)斜式方程，由點(diǎn)到直線距離公式列方程求斜率，由此可得直線m的方程，再檢驗(yàn)過(guò)點(diǎn)P的斜率不存在的直線是否滿足要求.【詳解】(1)由題意，直線l3與直線l1的傾斜角互補(bǔ)，從而它們的斜率互為相反數(shù)，且l1與l3必過(guò)x軸上相同點(diǎn)，∴直線l3的方程為2x﹣y+3＝0，由解得∴P（﹣2，﹣1）．(2)當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0，∴原點(diǎn)O（0，0）到直線m距離為，解得，∴直線m方程為3x+4y+10＝0，當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線x＝﹣2滿足題意，綜上直線m的方程為3x+4y+10＝0或x＝﹣2．18.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，平面，平面，為的中點(diǎn)，．（1）設(shè)，，，用表示；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接，利用空間向量的線性運(yùn)算，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，連接，可得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，且平?平面，所以，又因?yàn)?，所以，所?19.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)，，，記的外接圓為E.（1）求圓E的方程；（2）若直線與圓E沒(méi)有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】19.；20..【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求圓的方程即可；（2）利用幾何法判定直線與圓位置關(guān)系計(jì)算即可求參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為：，代入A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可得：，解之得，所以圓的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，即圓心，半徑為，由題意可知E到的距離或，即.20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為菱形，，為的中點(diǎn)，．為上的一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值為．（1）證明：平面平面；（2）試確定的值，并求出平面與平面所成二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）；平面與平面所成二面角的正弦值為【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)和勾股定理可分別證得，，由線面垂直和面面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由線面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，由此可得；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，，為中點(diǎn)，；，，；四邊形為菱形，，為等邊三角形，，又分別為中點(diǎn)，，，即；，平面，平面，平面，平面平面.【小問(wèn)2詳解】連接，由（1）知：為等邊三角形，，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，；設(shè)，則，，軸平面，平面的一個(gè)法向量，，解得：（舍）或，即，；由得：，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一