初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《菱形》拓展練習(xí)

《菱形》拓展練習(xí)

一、選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.（5分）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC=8c/〃，BD=6cm,DH±AB

于點(diǎn)H,且?！迸cAC交于點(diǎn)G,AG=lcm,則G”的長(zhǎng)為（）

4

C.副D.^-cm

252021

2.（5分）如圖,把菱形ABC。向右平移至OCEE的位置，作EGLA8,垂足為

G,EG與CD相交于點(diǎn)K,GD的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)H,連接DE,則下列結(jié)

論:

①DG=DE；（2）ZDHE=1.ZBAD；③EF+FH=2KC；?ZB=ZEDH.

則其中所有成立的結(jié)論是（）

C.②③④D.①③

3.（5分）矩形A3CD中，。為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別與A3,C。交于

點(diǎn)、E,F,連接8尸交AC于點(diǎn)M連接OE,BO.若NCOB=60°,FO=FC,

則下列結(jié)論：

①△AOE四△COR

②AEOB咨ACMB；

（3）FB±OC,0M=CM；

④四邊形是菱形；

⑤MB：OE=3：2

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

4.（5分）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)0,過點(diǎn)C作AB垂線

交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)0E,若AB=2^BD=4,則0E的長(zhǎng)為（）

5.（5分）如圖，在菱形ABC。中，E、尸分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，EP1CD

于點(diǎn)P,ZBAD=l\0°,則NEPC的度數(shù)是（）

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

6.（5分）如圖，已知平行四邊形的兩條邊長(zhǎng)分別為1,a它能被平行

于邊的直線分割成4個(gè)菱形，則。的值可以是.

7.（5分）如圖，菱形ABC。，ZB=60°,A8=4,點(diǎn)￡為BC中點(diǎn)，點(diǎn)尸在菱

形ABCO的邊上，連接ER若EF=2^,則見的值為

DC

A.D

BC

8.（5分）在菱形ABC。中，M是BC邊上的點(diǎn)（不與8,C兩點(diǎn)重合），AB=

AM,點(diǎn)8關(guān)于直線AM對(duì)稱的點(diǎn)是N,連接。N,設(shè)NABC.NCDN的度數(shù)

分別為x,?則y關(guān)于光的函數(shù)解析式是.

9.（5分）如圖，菱形ABC。和菱形BE/G的邊長(zhǎng)分別是5和2,ZA=60°,

連結(jié)OF,則OE的長(zhǎng)為.

10.（5分）如圖，在菱形ABC。中，ZB=60°,對(duì)角線AC平分角NBA。，點(diǎn)

P是△A3C內(nèi)一點(diǎn)，連接Bl、PB、PC,若B4=6,PB=8,PC=10,則菱形

三、解答題（本大題共5小題，共50.0分）

11.（10分）菱形ABCD中，ZABC=60°,點(diǎn)E在上，連接8E,點(diǎn)尸、H

在BE上，為等邊三角形.

（1）如圖1,若CEL4O,BE=m，求菱形ABC。的面積；

（2）如圖2,點(diǎn)G在AC上，連接EG,HC,FG//AH,HC=2AH,求證：

AG=GC.

12.（10分）如圖，在菱形ABC。中，ZB=60°.

（1）如圖①，若點(diǎn)E、尸分別在邊AB、AD±,且8E=A凡求證：△CEF是

等邊三角形；

（2）小明發(fā)現(xiàn)若點(diǎn)E、尸分別在邊AB、A。上，且/CE「=60°時(shí)也是

等邊三角形，并通過畫圖驗(yàn)證了猜想；小麗通過探索，認(rèn)為應(yīng)該以CE=EF

為突破口構(gòu)造兩個(gè)三角形全等；小倩受到小麗的啟發(fā)，嘗試在上截取8M

=BE,連接ME,如圖②，很快就證明了△CEF是等邊三角形，請(qǐng)你根據(jù)小

倩的方法，寫出完整的證明過程.

13.（10分）在菱形A3CO中，ZABC=60°,E是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)

是線段8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且b=AE,連接BE、EF.

（1）如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：BE=EF.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)，其它條件不變時(shí)，請(qǐng)你判斷（1）中

請(qǐng)證明；若不成立，說明理由.

圖2

14.（10分）如圖，菱形A3CO的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AC到E,

使CE=CO,連接E8,ED.

(1)求證：EB=ED；

(2)過點(diǎn)A作交BC于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)F,若NAE3=45°,

①試判斷AABF的形狀，并加以證明；

②設(shè)CE=m,求所的長(zhǎng)(用含機(jī)的式子表示).

15.(10分)已知：如圖，菱形A8CO的對(duì)角線AC,8。相交于O,點(diǎn)E,F分

別是AO,。。的中點(diǎn)，已知。七=反，EF=3,求菱形A3CO的周長(zhǎng)和面積.

2

0

BC

《菱形》拓展練習(xí)

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.（5分）如圖，四邊形A3CO是菱形，對(duì)角線AC=8C7〃，BD=6cm,DH±AB

于點(diǎn)H,且。"與AC交于點(diǎn)G,AG=Lcm,則G”的長(zhǎng)為（）

4

D.至an

252021

【分析】先求出菱形的邊長(zhǎng)，然后利用面積的兩種表示方法求出DH,在RtA

中求出8”，然后得出A”，勾股定理可得出GH的值.

【解答】解：二?四邊形ABCO是菱形，對(duì)角線AC=8C7",BD=6cm,

.".AO=4cm,BO=3cm,

在RtAAOB中，AB=->/^024.502=cm'

\,LBDXAC=ABXDH,

2

：.DH=2±cm,

5

在RtADHB111,BH—g2_￡)2—cm,

5

則AH=AB-BH=l.cm,

5

?-G"=J()22嚕%

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形及三角函數(shù)值的知識(shí)，注意菱形

的面積等于對(duì)角線乘積的一半，也等于底乘高.

2.（5分）如圖，把菱形ABC。向右平移至。CEb的位置，作EGLAB,垂足為

G,EG與CD相交于點(diǎn)K,GD的延長(zhǎng)線交EF于點(diǎn)H,連接DE,則下列結(jié)

論：

①DG=DE；②NDHE=yBAD；③EF+FH=2KC；④NB=NEDH.

則其中所有成立的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③

【分析】首先證明△AOG/△bDH,再利用菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線

的性質(zhì)即可一一判斷;

【解答】解：???四邊形ABC。和四邊形。CE尸是菱形,

J.AB//CD//EF,AD=CD=DF,

：.ZGAD=ZF,

■:ZADG=ZFDH,

：.△ADGQXFDH,

：.DG=DH,AG=FH,

EGLAB,

：.ZBGE=ZGEF=90°,

：.DE=DG=DH,故①正確，

:.ZDHE=ZDEH,

?:/DEH=L/CEF,ZCEF=ZCDF=/BAD,

2

ZDHE=LZBAD,故②正確，

AEF+FH=AB+AG=BG,故③正確，

*：NB=NDCE,ZCED=ZCDE=ZDEF=ZDHE,

：.ZB=ZEDH,故④正確.

故選：A.

G

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、平移變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角

形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬

于中考?？碱}型.

3.（5分）矩形ABC。中，。為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)0的直線分別與AB,CD交于

點(diǎn)E,F,連接8F交AC于點(diǎn)M連接OE,B0.若NCO8=60°,FO=FC,

則下列結(jié)論：

①△AOE四△COR

（3）FB±0C,OM=CM；

④四邊形EB/7）是菱形；

⑤MB：0E=3：2

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.5B.4C.3D.2

【分析】①由矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法即可證明①AAOE四△COF；

②根據(jù)已知得出AOB/絲△CBR可求得408尸與ACB尸關(guān)于直線8尸對(duì)稱，進(jìn)

而求得fBLOC,0M=CM；

③因?yàn)椤鱁OB之△F03會(huì)△尸CB,故△E03不會(huì)全等于△CBM.

④先證得/AB0=N05/=30°,再證得OE=OF,進(jìn)而證得O8LER因?yàn)?/p>

BD、E尸互相平分，即可證得四邊形EBFD是菱形；

⑤根據(jù)三角函數(shù)求得MB和OF的長(zhǎng)，根據(jù)OE=OF即可求得MB：OE的值.

【解答】解:

?.?四邊形ABC。是矩形，

C.AB//CD,

：.ZOCF=ZOAE,

???O為AC的中點(diǎn)，

：.AO=CO,

在△AOE和△(%>尸中

fZ0AE=Z0CF

<A0=C0，

kZA0E=ZC0F

△bOEQXCOF,

...①正確；

連接BD,

?.?四邊形A3CO是矩形，

：.AC=BD,AC、8?；ハ嗥椒郑?/p>

???0為AC中點(diǎn)，

...8D也過。點(diǎn)，

：.OB=OC,

VZCOB=60°,OB=OC,

...△OBC是等邊三角形，

：.OB=BC=OC,NOBC=60°,

在△08F與△C3F中

'BF=BF

<FO=FC，

OB=BC

：./\OBF^ACBF(SSS),

，/\OBF與ACBF關(guān)于直線BF對(duì)稱,

：.FBLOC,0M=CM；

...③正確，

ZOBC=60°,

/.ZABO=30°,

<AOBF公ACBF,

：.ZOBM=ZCBM=30°,

NABO=NOBF,

,JAB//CD,

：.ZOCF=ZOAE,

?：OA=OC,

易證△AOE四△COR

：.OE=OF,

：.OBLEF,

，四邊形破產(chǎn)。是菱形，

...④正確，

■:MOB咨AFOB/4FCB,

:AEOB烏4CMB錯(cuò)誤.

，②錯(cuò)誤，

?：/OMB=NBOF=90°,NOB/=30°,

：ON0M

.MB=逅OF=豆

32

■:OE=OF,

：.MB：OE=3：2,

二⑤正確；

綜上可知其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè),

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì).全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.（5分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作43垂線

交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)0E,若AB=2疾,BD=4,則0E的長(zhǎng)為（）

A.6B.5C.275D.4

【分析】先判斷出OE=QA=OC,再求出OB=1,利用勾股定理求出0A,即可

得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形A8CO是菱形，

：.OA=OC,BDLAC,"."CELAB,

：.OE=OA=OC,

VBD=4,

，0B=kBD=2,

2

在Rt"08中，AB=2匹,0B=2,

?■-OA=VAB2-OB2=4-

:.OE=OA=4.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分

線的定義，勾股定理，判斷出CO=AO=AB是解本題的關(guān)鍵.

5.（5分）如圖，在菱形ABC。中，E、尸分別是AB、BC邊的中點(diǎn)，EP1.CD

于點(diǎn)P,/班。=110°,則NfPC的度數(shù)是（）

BD

A.35°B.45°C.50°D.55°

【分析】延長(zhǎng)PREB交于點(diǎn)G；連接ER易證△(:「P，則點(diǎn)尸為PG

的中點(diǎn)，F(xiàn)P=FG=FE,則/bPC=NFGB=NGEF；連接AC,則NGEF=

ZBAC=kZBAD=55°,進(jìn)而可求出/FPC的度數(shù).

2

【解答】解：延長(zhǎng)PF、EB交于點(diǎn)G；連接E凡

?.?四邊形A8CO是菱形，

J.AG//DC,

：.ZGBF=ZPCF,

?.?尸是BC中點(diǎn),

：.BF=CF,

，ZGBF=ZPCF

在ABGF和△CPF中一BF=CF，

NBFG=NCFP

:.△BGFQACPF,

：.PF=GF,

...點(diǎn)尸為PG的中點(diǎn),

'：ZGEP=90°,

:.FP=FG=FE,

：.ZFPC=ZFGB=ZGEF,

連接AC,

則NGEF=NBAC=LNBAO=55°,

2

...NFPC的度數(shù)是55°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上

的中線的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)難度較大，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線,

構(gòu)造全等三角形，從而得到點(diǎn)尸為PG的中點(diǎn).

二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

6.（5分）如圖，已知平行四邊形的兩條邊長(zhǎng)分別為1,a（a>l）,它能被平行

于邊的直線分割成4個(gè)菱形，則a的值可以是4或2.5或?或”.

3-3―

【分析】結(jié)合菱形的性質(zhì)畫出圖形，根據(jù)圖形可以直接得到答案.

【解答】解：如圖所示，-4或片2.5或片茅a4

LL」」r-T77

a=45

故答案是：4或2.5或&或5.

33

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題時(shí)，采用了“分類

討論”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，使抽象的問題變得形象化，降低了題的

難度.

7.（5分）如圖，菱形ABC。，ZB=60°,AB=4,點(diǎn)E為8。中點(diǎn)，點(diǎn)尸在菱

形ABCO的邊上，連接ER若EF=2^,則見的值為1或工.

DC2-

AD

【分析】①當(dāng)點(diǎn)F與A重合時(shí)，易知EF=2g,此時(shí)。尸=。。=4,可得邁=1,

DC

②當(dāng)點(diǎn)F'是CD的中點(diǎn)時(shí)，由BE=EC,DF'=CF',推出EF'=1.BD

=2?,滿足條件，

【解答】解：如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)、O.

?.?四邊形ABC。是菱形，NABC=60°,AB=4,

...易知△ABC,△AOC都是等邊三角形，

：.AC=AB=4,0B=0D=2M，

：.BD=4y/3,

①當(dāng)點(diǎn)口與A重合時(shí)，易知EF=2代，此時(shí)OF=DC=4,

.?覘=1,

DC

②當(dāng)點(diǎn)尸是CO的中點(diǎn)時(shí)，,:BE=EC,DF'=CF',

：.EF'=1-BD=243,滿足條件，此時(shí)。尸=2,0c=4,

.?工=工

DC2

故答案為1或

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

8.（5分）在菱形A3CD中，M是BC邊上的點(diǎn)（不與8,C兩點(diǎn)重合），AB=

AM,點(diǎn)8關(guān)于直線AM對(duì)稱的點(diǎn)是N,連接ON,設(shè)NABC.NCOV的度數(shù)

1800多（0<x<72°）

分別為x,y,則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是二三<_

1X-180°（72。<x<90°）

【分析】①當(dāng)x=72°時(shí)，如圖1中，易知點(diǎn)N在C。上，此時(shí)y=0；②當(dāng)72°

Vx<90°時(shí)，如圖2中，根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)，構(gòu)建方程求解；③當(dāng)0<x

<72°,如圖3中，同法可得；

【解答】解：①當(dāng)尸72°時(shí)，如圖1中，易知點(diǎn)N在。上，此時(shí)y=0.

圖1

②當(dāng)72°<x<90°時(shí)，如圖2中,

圖2

"：AB=AM=AN=AD,

：./ABM=NAMB=/AMN=/ANM=x,/ADN=ZAND=x-y,

"：ZB+ZBAD=180°,

；.x+(360°-4x)+[180°-2(x-y)]=180°,

：.y=^c-180°.

2

③當(dāng)0VxV72°,如圖3中，同法可得：龍+(360°-4x)+[180°-2(x+y)]

=180°,

D

圖3

180°-yx(0<x<72°)

.,.^=180°\-耳

■|x-180°(72。<x<90)

180°-4X(0<x(72。)

綜上所述，y=\

1x-180°(72。<x<90°)

180°多(0<x<72°)

故答案為曠=

yx-180002。<x<90)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

9.（5分）如圖，菱形ABC。和菱形BE/G的邊長(zhǎng)分別是5和2,NA=60°,

連結(jié)QF,則DF的長(zhǎng)為_炳_.

【分析】延長(zhǎng)FG交于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作交4?于點(diǎn)"，交GF的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)N,由菱形的性質(zhì)和勾股定理再結(jié)合已知條件可求出NF,DN的長(zhǎng)，

在直角三角形ON/中，再利用勾股定理即可求出DF的長(zhǎng).

【解答】解：

延長(zhǎng)EG交AO于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作。交A3于點(diǎn)”，交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

N,

???四邊形ABCD和四邊形BEFG都是菱形,

C.GF//BE,EF//AM,

：.四邊形AMFE是平行四邊形，

：.AM=EF=2,MF=AE=AB+BE=5+2=7,

DM=AD-AM=5-2=3,

VZA=60°,

：.ZDAH=30°,

:.MN=LDM=1,

22

???ON=V^^=竽,NF=MF-MN*

在RtZXONF中，。尸=而西京=病，

故答案為：V37.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、含30。直角三角

形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確作出圖形的輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.（5分）如圖，在菱形ABCD中，ZB=60°,對(duì)角線AC平分角NBA。，點(diǎn)

P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接以、PB、PC,若加=6,PB=8,PC=10,則菱形

【分析】將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM,連接PM,想辦法證

明NAPH=30°,利用勾股定理求出AB的平方即可解決問題.

【解答】解：將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM,連接PM,作A"

于”.

???四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC,VZABC=60°,

ZVIBC是等邊三角形，

\'AM=AP,NMAP=60°,

.?.△AMP是等邊三角形，

ZMAP=ZBAC,

：.ZMAB=ZPAC,

：.BM=PC=IQ,

V/,M2+P52=100,BM2=100,

:.PM2+PB2=BM2,

：.ZMPB=90°,VZAPM=60°,

ZAPB=\50°,ZAPW=30°,

：.AH=LR\=3,PH=3-^3,B”=8+3行，

2

：.AB2=AH2+BH1=100+48A/3，

菱形ABCD的面積=2?△ABC的面積=2X返XAB2=50吐72,

4

故答案為50后72.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和

性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造

全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

三、解答題（本大題共5小題，共50.0分）

11.（10分）菱形ABC。中，ZABC=60°，點(diǎn)￡在AO上，連接BE,點(diǎn)口、H

在BE上，為等邊三角形.

（1）如圖1,若CEJ_A。，8E=倔，求菱形ABC。的面積；

(2)如圖2,點(diǎn)G在AC上，連接fG,HC,若尸G〃A〃，HC=2AH,求證:

AG=GC.

【分析】(1)首先證明△ABC,ZXAOC都是等邊三角形，由CE_LA。，推出AE

=DE,BCA.CE,設(shè)AE=OE=加，則AO=8C=2m，CE=^n,在RtZSBCE

中，根據(jù)8序=。序+8不，構(gòu)建方程求出，〃即可解決問題；

(2)作CK〃AH交BE于點(diǎn)K.想辦法證明廠”=尸《利用平行線分線段成比

例定理即可解決問題；

【解答】(1)解：如圖1中，

?.?四邊形A8CO是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,ZABC=ZD=60°,AD//BC

：.AABC,△AOC都是等邊三角形，

VCE1AD,

：.AE=DE,BCA.CE,設(shè)則AO=8C=2機(jī)，CE=j%i,

在RtABCE中，*/BE1=CEr+BC2,

4〃/+3〃/=63,

加=±3,

'：m>Q,

??/%=3,

：.BC=6,EC=3y[3,

?二S菱形4BC￡>=BC?CE=18如.

(2)作CK〃AH交BE于點(diǎn)K.

圖2

???△A/T/是等邊三角形，

AZAHF=ZAFH=60°,

,JAH//CK,

：.ZAHF=ZCKE=60°,

AZAFB=ZBKC=120°,

VZABF+ZCBK=6Q°,NCBK+/BCK=60°,

二ZABF=ZBCK,

,:AB=BC,

:.△ABF-BCK(A4S),

：.BK=AF,

,：ZBAC=ZFAH=60°,

：.ZBAF=ZCAH,

'：BA=AC,AF=AH,

.?.△BAE之△CAH(SAS),

：.BF=CH,

\'CH=2AH,AH=AF=FH=BK,

：.BK=FK=FH,

'：AH//FG//CK,FH=FK,

：.AG=CG.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和

性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，

正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

12.(10分)如圖，在菱形A3CO中，ZB=60°.

(1)如圖①，若點(diǎn)E、尸分別在邊A3、AD±,且8E=AE求證：△CEF是

等邊三角形；

(2)小明發(fā)現(xiàn)若點(diǎn)E、尸分別在邊AB、A。上，且NCEF=60°時(shí)也是

等邊三角形，并通過畫圖驗(yàn)證了猜想；小麗通過探索，認(rèn)為應(yīng)該以CE=EF

為突破口構(gòu)造兩個(gè)三角形全等；小倩受到小麗的啟發(fā)，嘗試在3c上截取3M

=BE,連接ME,如圖②，很快就證明了是等邊三角形，請(qǐng)你根據(jù)小

倩的方法，寫出完整的證明過程.

【分析】(1)想辦法證明ABEC四△AR7(SAS),即可解決問題;

(2)想辦法證明△ECMgAFEA(ASA),即可解決問題；

【解答】(1)證明：四邊形ABCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,

VZB=60°,

...△ABC,△AOC都是等邊三角形，

/.ZB=ZCAF=ZACB=60°,

\'BC=AC,BE=AF,

.'.△BEC?AAFC(SAS),

：.CE=CF,NBCE=/ACF,

：.ZECF=ZBCA=60°,

.?.△ECF是等邊三角形.

(2)證明：,:BE=BM,ZB=60°,

.?.△BEM是等邊三角形，

/.ZEMB=ZBEM=6Q°,ZEMC=ZAEM=\20°,

?:AB=BC,ZE4F=120°,

：.AE=CM,ZEAF=ZEMC,

,：ZFEC=60°,

AZAEF+ZCEM=6Q°,

VZCEM+ZECM=6Q0,

，ZAEF=ZECM,

:.△ECMQXEEA（ASA）,

：.EF=EC,':NFEC=60°,

...△E/C是等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

13.（10分）在菱形A3CD中，ZABC=60°,E是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)

是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且C/=AE,連接BE、EF.

（1）如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：BE=EF.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E不是線段AC的中點(diǎn)，其它條件不變時(shí)，請(qǐng)你判斷（1）中

的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說明理由.

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出NBCA

=60°,由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件得出CE=CR由等腰三角形的性質(zhì)

和三角形的外角性質(zhì)得出即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)E作EG〃3c交A3延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,先證明△ABC是等邊三角形，得

出AB=AC,ZACB=60°,再證明△AGE是等邊三角形，得出AG=AE=

GE,ZAGE=60°,然后證明△8GE四即可得出結(jié)論；

【解答】（1）證明：???四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC,

VZABC=60°,

，△ABC是等邊三角形，

/.ZBC4=60o,

???E是線段AC的中點(diǎn)，

：.ZCBE=ZABE=30°,AE=CE,

'：CF=AE,

：.CE=CF,

ZF=ZCEF=LZBCA=?>Q0,

2

:.NCBE=NF=30°,

：.BE=EF；

(2)解：結(jié)論成立；理由如下：

過點(diǎn)E作EG〃BC交A3于點(diǎn)G,如圖2所示:

?..四邊形A3CD為菱形，

：.AB=BC,NBCD=120°,AB//CD,

：.ZACD=60°,ZDCF=ZABC=60°,

：.ZECF=120°,

又?.?NA8C=60°,

...△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,ZACB=60°,

又,：EG〃BC,

：.ZAGE=ZABC=60a,

又?.,N54C=60°,

...AAGE是等邊三角形，

：.AG=AE=GE,ZAGE=60°,

：.BG=CE,ZBGE=120°=ZECF,

XVCF=AE,

：.GE=CF,

在△BGE和△CEE中，

'BGXE

<NBGE=/ECF，

,GE=CF

.?.△BGE四△ECF(SAS),

：.BE=EF.

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定

與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等

和等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵.

14.（10分）如圖，菱形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AC到E,

使CE=CO,連