2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)訓(xùn)練 相交線與平行線 有答案

2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)訓(xùn)練：

《相交線與平行線》

1.平面內(nèi)有任意一點(diǎn)P和N1,按要求解答下列問題：

(1)當(dāng)點(diǎn)。在N1外部時，如圖①，過點(diǎn)尸作R41OMPBLON,垂足分別為4、B,

量一量N/期和N1的度數(shù)，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)它們之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在N1內(nèi)部時，如圖②，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作N400,使N4P0的兩邊分別和N

1的兩邊垂直，垂足分別為4、B,用數(shù)學(xué)式子寫出//期和N1的數(shù)量關(guān)系;

(3)由上述情形，用文字語言敘述結(jié)論：如果一個角的兩邊分別和另一個角的兩邊垂直,

那么這兩個角.

(4)在圖②中，若/1=50°17,求N4E8的度數(shù).

2.探究：如圖①，ABHCD//EF,試說明下面給出了這道題的解題過

程，請在下列解答中，填上適當(dāng)?shù)睦碛?

解：YABIICD,（已知）

：.AB=/_\.()

同理可證，ZF=Z2.

?.,ZBCF=Z1+Z2,

：.ABCF=LB+/.F.()

應(yīng)用：如圖②，AB/ICD,點(diǎn)尸在宓之間，F(xiàn)E與4B交于點(diǎn)M,FG與8交于

點(diǎn)N.若/用G=115°,NEMB=55°,則N&VG的大小為度.

拓展：如圖③，直線8在直線43、石尸之間，且AB/CDHEF,點(diǎn)G、H分別在直線

45、石尸上，點(diǎn)Q是直線CD上的一個動點(diǎn)，且不在直線GH上，連結(jié)QG、QH.若/

GQH=70°,則N4G叱/即Q=度.

3.綜合與探究

如圖，已知AMIIBN,N4=60°,點(diǎn)P是射線上一動點(diǎn)（與點(diǎn)/不重合）.BC,

班＞別平分即和NMN,分別交射線43于點(diǎn)C,D.

(1)求N4BMNO。的度數(shù)；根據(jù)下列求解過程填空.

解：-：AMIIBN,

AABN+AA=180°

?：AA=60°,

：.AABN=,

，N4B7斗/PBN=120°,

平分N4SP,BD平分(PBN,

：.AABP=2ACBP.乙PBN=,()

2ZCBP^2ZDBP=120°,

/.zCBD=zCBPrzDBP=.

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，N4期與NADB之間的數(shù),量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化,

請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律.

(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到使N/CS=N4B「時，直接寫出N/3C的度數(shù).

4.探究:

如圖①，在△4BC中，點(diǎn)。、E、尸分別在邊AS、AC.C8上，且DEIIBC,EFIIAB,

若N43C=65°,求NO即的度數(shù).請將下面的解答過程補(bǔ)充完整，并填空(理由或數(shù)

學(xué)式):

圖①圖②

解：-：DEHBC()

：./_DEF=()

■：EFHAB

：.=/_ABC()

/_DEF=/_ABC()

?：AABC=65°

：.￡DEF=

應(yīng)用：

如圖②，在△ABC中，點(diǎn)E、尸分別在邊4B、AC.的延長線上，旦DEHBC,

EF//AB,若N/BC=B，則NO昉的大小為(用含P的代數(shù)式表示).

5.三角板是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要工具，將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)C按如圖

方式疊放在一起，當(dāng)0°<ZACE<90°且點(diǎn)E在直線4c的上方時，解決下列問題：(友

情提示：ZA=60°,Z￡>=30°,乙B=乙E=

(1)①若NE?CE=45°,則的度數(shù)為；

②若N4CB=140°,則NDCE1的度數(shù)為；

(2)由(1)猜想N4C8與NACE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)這兩塊三角板是否存在一組邊互相平行？若存在，請直接寫出N4CE的角度所有可

能的值(不必說明理由)；若不存在，請說明理由.

6.【探究】如圖①，和NCHF的平分線交于點(diǎn)O,EG經(jīng)過點(diǎn)。且平行于陽，分別

與AB、8交于點(diǎn)E、G.

(1)若NHfH=60。,ZC7YF=50°,則NEOF=度，乙FOH=度.

(2)若N4R任(■/CHF=100°,求NR2修的度數(shù).

【拓展】如圖②，/45方和NCS的平分線交于點(diǎn)。，EG經(jīng)過點(diǎn)。且平行于皿分

別與48、CD交于點(diǎn)E、G.塞(AFH+乙CHF=a,直接寫出NEQH的度數(shù).(用含a

的代數(shù)式表示)

7.課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

閱讀理解：

如圖1,已知點(diǎn)4是外一點(diǎn)，連接幺B,AC.

求NH4CFN8+NC的度數(shù).

(1)閱讀并補(bǔ)充下面推理過程

解：過點(diǎn)力作即〃8C,所以NB=N區(qū)48,LC=.

又因為NE4B+N皿GN。4c=180°,

所以/研/及4公/。=180°

解題反思：

從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將/創(chuàng)C,AB,Z.C

“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

方法運(yùn)用：

(2)如圖2,已知ABHED,求/3+/8血/。的度數(shù).(提示：過點(diǎn)C作CF///B)

深化拓展：

(3)如圖3,已知ABIICD,點(diǎn)C在點(diǎn)。的右側(cè)，AADC=1Q°.點(diǎn)B在點(diǎn)4的左側(cè)，

N43C=60°,BE平分N4SC,平分N4DC,BE,所在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)E

在4B與8兩條平行線之間，求/班。的度數(shù).

圖3

8.如圖卜，已知射線4B與直線8交于點(diǎn)O,OF平分乙BOC,OGLOF于點(diǎn)O,AE/I

OF.

(1)若N4=30°時①求F的度數(shù)；②試說明8平分N4OG;

(2)如圖2,設(shè)//的度數(shù)為a,當(dāng)a為多少度時，射線。。是N49G的三■等分線，并

說明理由.

圖1圖2

9.如圖1,已知ABIICD,NB=20°,/￡>=110°.

(1)若NE=50°,請直接寫出/戶的度數(shù);

(2)探索/E與/產(chǎn)之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖2,EP平分乙BEF,尸G平分NEED,FG的反向延長線交融于點(diǎn)尸，求/尸

的度數(shù).

10.問題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線43,S和一塊含60°角的直角三角

尺昉G(NEFG=90°,NEG尸=60°)”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

操作發(fā)現(xiàn)

(1)如圖(1),小明把三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在CD上，若/2=2/1,求N1的

度數(shù)；

(2)如圖(2),小穎把三角尺的兩個銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在/出和8上，請你探

索并說明N4即與NRGC之間的數(shù)量關(guān)系；

結(jié)論應(yīng)用

(3)如圖(3),小亮把三角尺的直角頂點(diǎn)尸放在CD上，30°角的頂點(diǎn)E落在48上.若

NAEG=a,則N57等于(用含a的式子表示).

11.已知直線4B//CD.

(1)如圖1,直接寫出NENEW的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖2,/項組與N&VE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,試探究NP與NE之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(3)如圖3,￡ABM=—/_MBE,Z_CDN=—/.NDE,直線MS、ND交干葭F,

nn喙

12.已知，ABHCD,點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn).

(1)如圖1,若N皿尸=30°,NEDG=40°,則N4ED='

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在尸G延長線上時，此時8與4El交于點(diǎn)“，則N4ED、LEAF.

NEOG之間滿足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論；

(3)如圖3,DI平分(EDC,交AE于點(diǎn)K,交㈤■于點(diǎn)/,且NE”:ZBA/=1:2,

ZAED=22°,ZZ=20°,求NEK。的度數(shù).

13.如圖，兩條射線AMIIBN,線段。的兩個端點(diǎn)C、。分別在射線BN、40上，且N4

=Z5CD=108°.E是線段40上一點(diǎn)(不與點(diǎn)4。重合)，且即平分/即C.

(1)求N43。的度數(shù).

(2)請在圖中找出與N4BC相等的角，并說明理由.

(3)若平行移動CD,且4D>CD,則N4DS與N4ES的度數(shù)之比是否隨著8位置的

變化而發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個比值.

AEDM

B

14.如圖，已知AMIIBN,N4=60°,點(diǎn)尸是射線3上一動點(diǎn)(與點(diǎn)4不重合)，BC,

分別平分N4即和NPBN,分別交射線,于點(diǎn)C,D.

(1)求的度數(shù);

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，AAPB-.NAD3的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值;

若變化，請找出變化規(guī)律一；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到某處時，￡ACB=￡ABD,求此時N4BC的度數(shù).

15.已知：點(diǎn)4C、8不在同一條直線上，ADUBE

(1)如圖①，當(dāng)N4=58°,NB=118°時，求NC的度數(shù)；

(2)如圖②，AQ.BQ分別為NR4C、/即C的平分線所在直線，試探究NC與N4QB

的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，在(2)的前提下，且有ACIIQB,QP1PB,直接寫出NO4C:/.ACB-.

NCBE的值.

EBEB

圖①EB

圖②圖③

參考答案

1.解：(1)如圖1中，設(shè)PA交ON于尸.

■：PA]_OM,PB]_ON,

；ZPBF=4OAF=90°,

-：/_PFB=LOFA,

：./_APB=/_\.

故答案為NARS=N1.

(2)如圖2中，?.,NE4O=N2BO=90°,

1=180°.

故答案為NARB+N1=18O°.

(3)由上述情形，用文字語言敘述結(jié)論：如果一個角的兩邊分別和另一個角的兩邊垂直,

那么這兩個角相等或互補(bǔ).

(4),.-ZAPS+Z1=180°,

.,.ZAPS=180°-50°17'=129"43'.

2.解：探究：：-：AJBIICD,

（兩直線平行內(nèi)錯角相等）

同理可證，ZF=Z2.

,.?ZJ3CF=Z1+Z2,

.?.N3CF=NB+NE（等量代換）

故答案為：西直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換.

應(yīng)用：由探究可知：（MFN=（AMF^乙CNF,

:.乙CNF=/_DNG=11S-55°=60°.

故答案為60.

拓展：如圖③中，當(dāng)?shù)腝在直線GH的右側(cè)時，AAGQ^-￡EHQ=3C>G°-70°=290°,

當(dāng)點(diǎn)Q'在直線GE的左側(cè)時，N/G。'乙EHQ=^GQ/H=70".

故答案為70或290.

圖③

3.解：⑴-：AMIIBN,

：.Z.ABN+Z.A=18O°,

：.AABN=120°

.,./AR冉NPBN=120°,

,：BC^^-AABP,BD平分（PBN,

：.（ABP=22CBP、（PBN=2乙PBD,（角平分線的定義），

.1.2ZCBP^2ZDBP=120°,

ZCBD=ZCB.Pt-ZDBP=60°.

故答案為120°,2APBD,角平分線的定義，60°.

（2）N4PB與N4DB之間數(shù)量關(guān)系是：￡APB=2AADB.不隨點(diǎn)尸運(yùn)動變化.

理由是：,??4A"及V,

:.乙APB=LPBN,（兩直線平行內(nèi)錯角相等），

,:BD斗分■乙PBN（已知），

：.APBN=2ADBN（角平分線的定義），

.,.ZAPB=ZPBN=^2ZDBN=2ZADB（等量代換）,

(3)結(jié)論：NABC=30°.

理由：'：AMIIBN,：./_ACB=/.CBN,

當(dāng)時，則有NCBM=N4BO,

:.乙ABC*乙CBD=乙CBA乙DBN,

：.￡ABC=￡DBN,

由(1)可知N4BN=120°,ZCBZ?=60",

：.AABC+ADBN=6Q°,

ZA5C=30°

4.解：探究：（已知）

.?.NOEF=NC叨（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

■：EFHAB

.?.NCRE=N4BC（兩直線平行，同位角相等）

：.￡DEF=￡ABC（等量代換）

■：/.ABC=65°

：./_DEF=65°

故答案為：已知；ACFE-兩直線平行，內(nèi)錯角相等；LCFE-,兩直線平行，同位角相等;

等量代換；65°.

應(yīng)用：-：DEHBC

：./_ABC=/_D=^

■：EFHAB

：./_D^LDEF=\^

：.Z.DEF=180°-/0=180°-p,

故答案為：180°-p.

5.解：⑴①??,/4宓=90°,"CE=45°,

：.Z.ACE=45°,

：.AACB=S)Q°+45°=135°,

故答案為：135°;

②N4C8=140",乙ACD=/_ECB=90°,

：.LACE=\^>-90°=50°,

/.ZDCE=ZDCA-ZACE=90°-50°=40°;

故答案為：40°;

(2)N/CB與NOCE互補(bǔ).理由：

,.248=90°,

￡ACE=90°-￡DCE,

又：/BCE=90",

.-.AACB=90°+90°-/,DCE,

：.LACBV/_DCE=^+90°-ZDCE+ZDCE=180",

即N/CB與NQCE互補(bǔ)；

(3)存在一組邊互相平行，

當(dāng)N4CE=45°時，N/CE=/E=45°,此時4c〃跖；

當(dāng)N4CE=30°時，ZACB=120",此時N4+/4C5=180°,^AD/IBC.

6.解：【探究】(1)陽=60°,OF平分(AFH,

：.Z0777=30",

又，；EGHFH,

：.LEOF=/_OFH=^;

■：/LCHF=50",OH平分乙CHF,

：./LFHO=25°,

:ZOH%,/戶0H=180°-NOfH-/況尸=125°;

故答案為：30,125;

(2)?:FO平分乙AFH,HO平分乙CHF,

：./_OFH=—/_AFH,/_OHF=—Z.CHF.

22

?；NAFH+/CHF=100°,

：.AOFH+^OHF=—{/_AFH^/_CHF)=—X100°=50°.

22

■：EGHFH,

：./_EOF=/_OFH,ZGOH=ZOHF.

/.ZEOF+ZGOH=ZOFH+ZOWF=50°.

ZEOF+ZGOH+ZFCW=180",

：./_FOH=X^-{/_EOFV/_GOH)=180°-50°=130°

【拓展】和/a〃的平分線交于點(diǎn)o,

:.乙。FH=//_AFH,/_OHI=^/_CHI,

：.ZFOH=ZOHI-ZOFH

=—{/.CHI-乙AFH)

2

=—(180°-LCHF-LAFU)

2

=-?(180°-a)

=90°--^a.

7.解：(1)EDIIBC,

:.乙C=/_DAC,

故答案為：ADAC\

(2)過。作叱7/相，

YABIIDE,

???CFHDE,

:./_D=/_FCD、

???CFIIAB,

：,/_B=/_BCF,

ZBCFTZBCLh-ZZ?CF=360°,

.\^B+ABCLH-AD=360°,

(3)如圖3,過點(diǎn)石作灰//4B,

?：ABHCD,

：.AB/ICDHEF,

：.^ABE=/LBEF,/_CDE=/.DEF,

?；BE平分NABC,DE平分（ADC,AABC=60°,ZADC=70°,

：.￡ABE=—/_ABC=?>0°,/_CDE=—/_ADC=

22

ZBED=-ZBEF^-ZDEF=300+35°=65°.

8.解：（1）①?：AEHOF

：.LA=/_BOF

,：OF平分（COF

.,.NBOC=60°,NCO430°

.?.ZZ>OF=180-30°=150°

②?.?/8OC=60°

AZ2400=60°

：OFLOG

：./_BOF^LFOG=^

：./.BOG=f>Q°

?:ZBOG+zDOG+zAOD=180°

：./_DOG=(^=AAOD

.,.190平分N4OG

(2)設(shè)N48=p

???射線OD是N4OG的三等分線

：./_AOD=2/_DOG,或乙DOG=2乙AOD

若N48=2NZ?OG

：./_DOG=

?：/.BOC=/LAOD,OF平分(BOC

ZBOF=

：OFLOG

Z5OG=90--ja

■：ZBOG+ZDOG^ZAOD=180°

.1.yp+90--^p+p=180"

.,.Zp=90"

ZJ?(9F=45°

OFIIAE

，N4=N8OF=45°

即a=45°

若/OOG=2/48=20

?：A.BOC=AAOD,OF平分乙BOC

ABOF=^>

OFLOG

???/3OG=90-4

2

,/ZBOG^rZDOSZ00=180°

/.2p+90--1^+p=180°

/.Zp=36°

???/3OA18°

：.OFHAE

???/4=N與OF=18°

.,.a=18°

綜上所述a為18°或45°

9.解：（1）如圖1,分別過點(diǎn)以F作EAf"AB,FNIIAB,

：.EMHABHFN,

：./_B=/_BEM=2^,乙MEF=/_EFN,

又?：ABflCD,ABHFN,

：.CDHFN,

???Z￡H-ZZZRV=180°,

又?.?ND=UO°,

：.ADFN=1Q°,

：.ABEF=MEF+2Q°,/_EFD=/_EFN+1^,

:.(EFD=(ME廣

，N母450°=100°;

故答案為：100°;

(2)如圖1,分別過點(diǎn)E,F作EMIIAB,FNI/AB,

：.EMHABHFN,

:.乙B=/_BEM=W,AMEF=AEFN,

又,：ABIICD,ABHFN,

：.CDHFN,

.-.Z.LH-ADFN=180°,

又?.?/￡>=110°,

:ZDFN=76,

:.乙BEF=,/LEFD=/_EFN+1Q°,

：./_EFD=乙MEMS,

：./_EFD=/_BEF￥50°;

(3)如圖2,過點(diǎn)尸作mr〃石尸，

由(2)知，NEFD=NBEN50°,

設(shè)/BEF=2x",則/跳D=(2A+50)

,:EP平分/BEF,GF平分(EFD,

：./_PEF=—LBEF=x,/_EFG=—/_EFD=”25)

22

■：FHIIEP,

：.APEF=AEFH=x,/_P=/_HFG,

?：/LHFG=Z.EFG-/LEFH=25°,■

：./LP=25°.

10.解：(1)如圖1,-：ABHCD,

.，.N1=NE皿

又?."2=2/1,

：.A2=2AEGD,

又???/FGE=60°,

：./_EG-D=—(180°-60°)=40。,

3

."1=40°;

⑵如圖2,■：ABIICD,

：.Z.AEG+/_CGE=1W°,

即/AEFF/巫”/萬6^/咫。=180°,

又,：(FE8(EGF=9S,

r.NAE丹NGR7=90°;

(3)如圖3,-：ABHCD,

.".ZAER-Z(7^=180°,

即/4&<1/曲升/郎UNGR7=180°,

又；NG咫=90°,zGEF=V)°,￡AEG=a,

...NG尸C=180°-90°-30°-a=60°-a.

故答案為：60。-a.

11.解：（1）如圖1,,■-ABHCD,

：.Z.END=/_EFB,

?：NE陽是△ME尸的外角，

ZE=/_EFB-ZBME=(END-ZBME,

故答案為：LE=LEND-LBME-,

(2)如圖2,,??4B//CD,

：.ACNP^ANGB,

NNRM?是△G/W的外角,

:.乙NPM=LNGB^r乙PMA=LCN出■乙PMA,

??,NQ平分NSME；PN平分(CNE,

:.(CNE=2(CNP,乙FME=2(BMQ=2(PMA,

■：ABHCD,

：.ZMFE=zCNE=2Z.CNP,

中，/_E+/_FME+Z.MFE=\^°,

AE+2Z.PMA+2/.CNP=180°,

即N*2PMA+/LCN力=180°,

AE+2Z.NPM^\80°;

(3)如圖3,延長兒8交AE于G,延長CD交BF于H,

■：ABIICD,

：./_CDG=LAGE,

是ABEG的外角，

：./_E=/.ABE-/_AGE=/_ABE-LCDE,①

一

H

CD

圖3

?：AABM=—AMBE,ACDN=—￡NDE,

nn

zABM=—zAB>E=zCHB,ZCDN=-^-乙CDE=ZFDH,

ltnn+1

?；NCHB是&DI汨的外角,

CHB-ZFDH=—ZABE--i-ZCDE-=-^―（乙ABE—乙CDE）,②

ltnn+1n+1

由①代入②，可得/

n+1

故答案為：士.

n+1

12.解：(1)如圖，延長DE交于乜

■：AB/ICD,

：.ZD=AAHE=4Q°,

/4自。是的外角，

：.Z.AED=AA+Z.AHE=30°+40°=70°,

故答案為：70;

(2)乙EAF=/_AEIA乙EDG.

理由：-：ABHCD,

：./_EAF=/_EHC,

??,ZEHC是LDEH的外角,

:.(EHG=/_AEDr乙EDG,

??.zEAF=zAELH-zEDG\

(3)'：LEAI\ZA4Z=1:2,

??.設(shè)NEWcc,則/HAE=3a,

VZAEZ?=22°,ZJ=20°,々DKE=ZAKI,

又即田■/。長研/切5K=180°,/_KARAKIA+/_AKI=^°,

,\Z.EDK=a-2°,

?「ZY平分NEZ?G

/.ZCDE=2Z,EDK=2a-4°,

??,ABIICD,

：.AEHC=/_EAF=Z.AED^/_EDG,

即3a=22°+2a-4°,

解得oc=18°,

：,/_EDK=\^,

??.在△。&/中，NEKD=180°-16°-22°=142°.

D

AFI~~節(jié)B

圖1

13.解：

(1)'：AMIIBN,：.Z,A+^ABC=180°.

，NABC=180°-ZJ=180°-108°=72°.

(2)與N4BC相等的角是N4DC、ADCN.

?:AMI