2023年高考數(shù)學（甲卷）模擬仿真卷八（學生版+解析版）

2023年高考數(shù)學（甲卷）模擬仿真卷（8）

選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）

1.(5分)已知集合4=“3一2》一3<0},B={x\x>2},則A0|B=()

A.0B.(-1,3)C.(1,3)D.(2,3)

2.(5分)若復數(shù)z滿足(2—i)z=5,則|z|=()

A.日B.5C.75D.26

3.(5分)己知命題"，q是簡單命題，則“-p是假命題”是“PV4是真命題”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.（5分）2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范圍內(nèi)相繼爆發(fā)，因為政治制度、文化背景等因素的不同,

各個國家疫情防控的效果具有明顯差異.如圖是西方某國在60天內(nèi)感染新冠肺炎的累計病例人數(shù)y（萬人）

與時間天）的散點圖，則下列最適宜作為此模型的回歸方程的類型是（）

▲W萬人

120'支------------------

100-------------------------------?-

80----------------------------------

60------------------------------

40----------------------------——

20-----------------*--------------

U1。2。30405060^天

A.y=a+hxB.y=a+C.y=a+beD.y=a+blnx

6.（5分）正項等差數(shù)列｛〃“｝的前〃和為5“，己知生+%-d+8=0，則S,）=（

A.35B.36C.45D.54

7.（5分）將正方體（如圖（1）所示）截去兩個三棱錐，得到如圖（2）所示的幾何體,則該幾何體的側視

圖為（）

8.（5分）t，且有/_La,給出下列命題:

①若a///3,則/_Lm；

②若〃/%,則

③若a［。，則//〃力；

④若/_1_優(yōu)，則a//4.

其中正確命題有（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

a2

9.（5分）已知a=logs2,b=log72,c=0.5~,則a,b,c的大小關系為（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

10.（5分）己知公差不為0的等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S〃,且?=2a4,設么=2,，數(shù)列｛2｝的前〃項

積為卻給出以下四個結論:

①S〃的最大值為羽;

②&=$8；

③數(shù)列｛"｝是遞增等比數(shù)列;

④。=1.

其中正確結論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

11.（5分）已知|M+切引萬一32|=1,⑻=1,則萬萬的最小值是（）

A.-18B.-12C.-8D.-6

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=-gx2-cosx,g（x）=x2-k,若/（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，則Z

的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

二.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）若（x-2）”的展開式的二項式系數(shù)和為32,則展開式中V的系數(shù)為.

X

14.（5分）在正四棱柱（底面為正方形且側棱垂直于底面）ABCD-AgGA中，BC=2AA,,M是BC的

中點，則異面直線BDt與M3所成角的大小為.

22

15.（5分）點P是雙曲線=-與=l（q>0,6>0）右支上的一點，耳，居分別是雙曲線的左、右焦點，點/

a~h"

是△PK人的內(nèi)切圓圓心，記A/P6，MPF2,△//=；鳥的面積分別為S1,S2,S,若恒成立，則

雙曲線的離心率的取值范圍是.

16.（5分）已知數(shù)列｛”"｝的前”項和為S”,數(shù)列｛〃｝的前n項和為（,，滿足q=2,3S“=（n+m）an,m^R,

且anbn=〃.則生=:若存在"eN*,使得2+7；..與成立，則實數(shù)A的最小值為.

三.解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個試題考

生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）。（-）必考題：共60分

17.（12分）在A45C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.己知bsinA=asin（B+二）,〃=正.

32

（1）求A4BC的外接圓直徑；

（2）求M8C周長的取值范圍.

18.（12分）某市有一家大型共享汽車公司，在市場上分別投放了黃、藍兩種顏色的汽車，已知黃、藍兩種

顏色的汽車的投放比例為3:1.監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色汽車的質(zhì)量.決定從投放到市場上的汽車中隨

機抽取5輛汽車進行試駕體驗，假設每輛汽車被抽取的可能性相同.

（1）求抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍色汽車的概率；

（2）在試駕體驗過程中，發(fā)現(xiàn)藍色汽車存在一定質(zhì)量問題，監(jiān)管部門決定從投放的汽車中隨機地抽取一輛

送技術部門作進一步抽樣檢測，并規(guī)定，若抽取的是黃色汽車，則將其放回市場，并繼續(xù)隨機地抽取下一

輛汽車；若抽到的是藍色汽車，則抽樣結束：并規(guī)定抽樣的次數(shù)不超過次.在抽樣結束時，若己

取到的黃色次車數(shù)以J表示，求&的分布列和數(shù)學期望.

19.（12分）如圖，在直三棱柱A8C-ABC中，點。，E分別為AC和BC的中點.

（1）證明：￡>￡//平面AB4A；

（2）若AB=BC=AA,=2,求二面角6-隹一。的余弦值.

r22一

20.(12分)設A、尸分別為橢圓。:=+*v=15>8>0)的左頂點和右焦點，B為它的一個短軸端點，己

方3

知A的的面積為一.

a

(1)求橢圓C的離心率；

(2)經(jīng)過點F且不與坐標軸垂直的直線/與橢圓交于M、N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P,

當/的方向變化時，是否存在常數(shù)；I,使得|腸7|=團/3尸|恒成立？若存在，求出2的值；若不存在，請說明

理由.

21.(12分)已知函數(shù),f(x)=e*+cosx-2,7'(x)為/(x)的導數(shù).

(1)當X..0時，求/'(幻的最小值；

(2)當x..-三時，xe*+xcosx-or2-2x..O恒成立，求。的取值范圍.

2

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知曲線G的參數(shù)方程為”為參數(shù)），以坐標原點。

[y=2+2sm°

為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為0=4cosO.

（1）求曲線與曲線Cz兩交點所在直線的極坐標方程；

（2）若直線《過點尸（1,2）且與直線/：2osin（0+2）=1平行，直線4與曲線G相交于A,B兩點,求

6

」一+」一的值.

\PA\\PB\

23.(10分)已知函數(shù)/>(x)=|x-4|+|l—x|,xwR

（1）解不等式：/（%）?5；

(2)記f(x)的最小值為若a.0,b..O,且%證明：一!一+—!—..F.

a+2b+\3

2023年高考數(shù)學（甲卷）模擬仿真卷（8）

選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）

1.(5分)已知集合A={x|x2—2x—3<0},B={x\x>2},則4「|8=()

A.0B.(-1,3)C.(1,3)D.(2,3)

【答案】D

【詳解】?.?集合A={X|X2_2X-3<O}={X[-1<X<3},B={X\X>2],

71QB={X|2<X<3)=(2,3).

故選：D.

2.(5分)若復數(shù)z滿足(2—i)z=5,則|z|=()

A.—B.5C.75D.2>/5

【答案】C

【詳解】由(2-i)z=5,可得|2-i|?|z|=5,即)22+(—l)2.|z|=5,

故選：C.

3.（5分）已知命題p,g是簡單命題，則“-p是假命題”是“pvq是真命題”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【詳解】力是假命題，則?是真命題，推出pvq是真命題，是充分條件，

反之，不成立，

故選：A.

4.（5分）函數(shù)y=￡-/”|x|的圖象大致為（）

8

x

A.B.

【詳解】函數(shù)的定義域為｛x|xwO｝,

則y（-x）=3--ln\-x\=--ln\x\=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，排除B，

88

當xf+oo時，yf+oo,排除A,

4|

?：f（2）=一一ln2=一一ln2<0,

82

函數(shù)在x>0時，存在負值，排除C,

故選：D.

5.（5分）2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范圍內(nèi)相繼爆發(fā)，因為政治制度、文化背景等因素的不同,

各個國家疫情防控的效果具有明顯差異.如圖是西方某國在60天內(nèi)感染新冠肺炎的累計病例人數(shù)y（萬人）

與時間天）的散點圖，則下列最適宜作為此模型的回歸方程的類型是（）

▲W萬人

1202--------------------

100--------------------■-

80----------------------

60------------------

40---------------——

20----------v*--------

u1。2o30405060力天

A.y=a+bxB.y=a+b4xC.y=a+bexD.y=a+blnx

【答案】C

【詳解】函數(shù)圖像隨著自變量的變大，函數(shù)值增長速度越來越快，屬于指數(shù)型函數(shù)的特征,

只有選項。為指數(shù)型函數(shù).

故選：C.

6.（5分）正項等差數(shù)列｛%｝的前〃和為S“，已知％+%-d+8=0，則$9=（）

A.35B.36C.45D.54

【答案】B

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：/+6=2%,

ci-,+4-a；+8=0,可化為：a?—2a5-8=0,

又見>0，解得見=4，

S9=9a5=36,

故選：B.

7.（5分）將正方體（如圖（1）所示）截去兩個三棱錐，得到如圖（2）所示的幾何體，則該幾何體的側視

圖為（）

【詳解】根據(jù)題意，得；點A在平面BCGq上的投影是B，

點D在平面8CG片上的投影是C,

棱AB,在平面BCC內(nèi)上的投影是

A0在平面BCGB、上的投影是BC,,

耳。在平面BCQB、上的投影是B?，

8c是被擋住的棱，應畫成虛線，如圖所示.

8.（5分）已知平面a,夕，直線/,m,且有，_La,mu/3,給出下列命題:

①若a11p,則/_Lm；

②若〃/利，則

③若al尸,則〃/加；

④若/J_"t,貝!Ja//4?

其中正確命題有（）

A.①④B.①②C.②③D.③④

【答案】B

【詳解】對于①，若。///，又/_La,可得/_L/?,又mu口,貝U_L機，故①正確；

對于②，若///力，又/_La,可得加J_a,又mu°、則a_L〃，故②正確；

對于③，若a工0,由/_La,可得///加，或/，加異面，/,相相交，故③錯誤；

對于④，若I」m,又/_La,mu。,

可得a//尸，或a、夕相交，故④錯誤.

故選：B.

a-2

9.（5分）已知a=log52,Z?=log72,c=0.5,則〃，b,c的大小關系為（）

A.b<a<cB.a<h<cC.c<h<aD.c<a<b

【答案】A

【詳解】?.T<log?5<log?7,

/.1>log52>log72，

又0.5"2>0.5-|=2,

則c>a>匕，

故選：A.

10.（5分）已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且％=2%,設么=2%,數(shù)列｛2｝的前〃項

積為卻給出以下四個結論：

①S,,的最大值為$5；

②&=0；

③數(shù)列｛2｝是遞增等比數(shù)列；

@7],=1.

其中正確結論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】設等差數(shù)列｛“,｝的公差為4,則由4=2%得：a[+"=2（4+3d）,即4=-5d,所以

an=q+(〃一V)d=-5d+(n-l)d=(n-6)d，

°n(n-1),_,n(n-Y)dd>11,

S=a.n+---------d=-5dn+------------=—n~dn.

n12222

對于①，當">0時，S,有最小值；當“<0時，S"有最大值，故①不正確；

2

對于②，因為53=gx32—與x3=-12d,S8=-|X8-^-X8=-12J,所以&=縱，故②正確;

/,S-5)d,

對于③,因為〃=2""=2<"⑹"，所以等=^^=2",若d<0,則%!?<］，即%<2，所以數(shù)列出,｝是

b.2b?

遞減等比數(shù)列，故③不正確;

對于④,因為工］=A也?…4=2一5".2”….25d=2-5八44+…+5〃=2。=1,故④正確.

故選：B.

11.（5分）已知|5+24|=|5-3。|=1,則小B的最小值是（）

A.-18B.-12C.-8D.-6

【答案】B

【詳解】設元=@+陽，y=b-3ef了與了的夾角為夕，

^la=x-2e?b=y+3e,且|元

再設a為(3工-2歹)與0的夾角，

貝I］力?5=(無—2刃?(歹+3/=尤?3+(3元-2月?/一6/2

=|x|-|y|-cos^+|3x-2y|-|e|cosa-6

=cos0+13x-2y|-cosa-6..cos0-\3x-2y\-6

=cos6-J(3元-2yy-6=cos6-J13-12cos6-6.

令/=J13-12cosJ￡［l,5］,

13T2

貝|Jcos0=-------,

12

/.cos0-J13-12cos?！?=----------1-6=--------1------，

121212

t259

=其圖象是開口向下的拋物線，其對稱軸方程為，=-6,

1212

在口，5］上為減函數(shù)，則當，=5時，g⑺取得最小值為-q75-5-J59=-12,

又M?6.JCOS0-V13-12cos0-6,

小5的最小值為一12.

故選：B.

12.(5分)已知函數(shù)/(尢)=-;f一cosx,^(x)=x2-k,若/(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，則人

的值為()

A.一1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】若/(%)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，

則/W=g(x)有唯一解，即k=—x~+cos^有唯一解，

令h(x)=—x2+cosx，則hf(x)=3x-sinx,hr,(x)=3-cosx>0,

2

故〃(x)在R上單調(diào)遞增，而"(0)=0,

故X￡(-w,0)時，h\x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

X￡(0,+O0)時，〃(X)>0,/7(x)單調(diào)遞增，

故〃(幻而“二力(0)=1，

當xf-oo時,h(x)-?+oo,x—>+oo時，h(x)—>+oo,

故要使h(x)=k有唯一解，即y=々和y=h(x)有唯一交點，

貝IJk=1,

故選：C.

二.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.(5分)若(x-2)〃的展開式的二項式系數(shù)和為32,則展開式中V的系數(shù)為.

X

【答案】-10

【詳解】由二項式(X-2)”的展開式中所有二項式系數(shù)的和是32,

X

得2"=32,即〃=5,

22-

/.(x—)”—(x—)’,

XX

ill&=c;-x5-r-(--/=(-2)rq-產(chǎn)2,.

X

取5—2/'=3,得r=l.

，展開式中/的系數(shù)為-2xC；=-10.

故答案為：-10.

14.(5分)在正四棱柱(底面為正方形且側棱垂直于底面)A88-A4GA中，8c=244,,M是BC的

中點，則異面直線BD,與MG所成角的大小為.

【答案】-

4

【詳解】設的中點為N,連結BN,ND,,

正四棱柱(底面為正方形且側棱垂直于底面)中，底面ABCD為正方形，

設BC=2m,則AAj=m,

M,N分別為BC,80的中點，故BN/1C\M,

所以異面直線BR與MC,所成的角即為SR與BN所成的角即NN8R,

BB、=m,4N=：4G=/n,則BN=6叫(：N=工Bg=m,CQi=2m,

2222

則ND、=+(2ni)=后m,BD]=\j(2ni)+(2m)+m=3m,

NB?+BD；一ND：2，/+-5,/_垃

在MiND、中,由余弦定理可得cos/NBR=

2-NB-BD、2--Jim-3m2

因為異面直線所成的角的范圍為(0,^],

所以NNBR=工,

故異面直線BD,與MQ所成角的大小為?.

故答案為：—.

4

22

15.(5分)點P是雙曲線[-5=l(a>(),b>())右支上的一點，耳，工分別是雙曲線的左、右焦點，點/

a~b~

是鳥的內(nèi)切圓圓心，記耳，MPF2,△/片鳥的面積分別為5,S2,S,若S1-S「..；S恒成立，

則雙曲線的離心率的取值范圍是.

【答案】（1,2]

【詳解】設三角形尸耳入內(nèi)切圓的半徑為r,

則不/，S^.=^\PF2\r,,他=；16用Ir=cv，

S.p叫=S^P=^\PFt\r-^\PF2\r=^-2ar=ar,

12222

/.ar..）-cr，BP2tz..c,

2

c

c=一,,2,又c>1,

a

1vg,2.

故答案為：（1,2].

16.（5分）已知數(shù)列｛〃〃｝的前n項和為S”,數(shù)列電｝的前n項和為《，滿足4=2，3Sn=（n+m）an，R,

且a也=〃.則％=;若存在〃eM,使得幾+1./“成立，則實數(shù)A的最小值為

【答案】6；-

3

【詳解】?.?q=2,3Sn=(n+m)an,meR,

當〃=1時，有3S]=(l+m)q,即6=2(6+1),解得：m=2,

..3S“=(〃+2)a〃①,

又35,用=(〃+3)%②，

由②—①整理得：％1=巴吧，

a?〃

.%3a,_4a5a_na_n+1

..=一，——，4——，???，-n-t------，--n-------，

q1a22a33an_2n-2%n-1

累乘可得為=〃(〃+1)(〃..2),經(jīng)檢驗q=2符合上式，

=〃(〃+1),出=6；

,,1

地=*：也不

]11

令瓦.=&一北=+------+__4-

n+2〃+32n+l

則…=即就。>。，

.??數(shù)列｛凡｝為遞增數(shù)列，B"=；,

存在〃eN*,使得A+Tn..T2n成立,

A..B,=-,故實數(shù)2的最小值為1.

33

故答案為：6；

3

三.解答題(共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考

生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答)。(-)必考題：共60分

17.(12分)在A4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知〃sinA=osin(B+三),〃=★.

32

(1)求AABC的外接圓直徑；

(2)求A4BC周長的取值范圍.

【答案】(1)1;(2)(G,孚］

TT

【詳解】(1)v/?sinA=6rsin(B+y),

由正弦定理，wfWsinBsin=sinAsin(B+—),

,/Ae(0,^),sinA>0,

sinB=sin(B+y),化簡可得，；sinB="cos3,

/.tanB=\/3?

?..3c(0,乃),

:.B=-

39

73

由正弦定理可得，AABC的外接圓直徑2R=—9—=3=1?

sin8V3

~T

(2)由(1)可知，B=-,

3

由余弦定理可得，b2=a2+c2-ac,

??方=3+c-a+4-3(等了=刎+4，

當且僅當a=c時，等號成立，

?/b=——,

2

二.(a+c)2?3,即a+c?石，

乂v=a+c>b.=——73，

2

---<a+c,^3,

2

^3<ci+b+c,,->

2

.?.AABC的取值范圍為（G,竽］.

18.（12分）某市有一家大型共享汽車公司，在市場上分別投放了黃、藍兩種顏色的汽車，已知黃、藍兩種

顏色的汽車的投放比例為3:1.監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色汽車的質(zhì)量.決定從投放到市場上的汽車中隨

機抽取5輛汽車進行試駕體驗，假設每輛汽車被抽取的可能性相同.

（1）求抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍色汽車的概率；

（2）在試駕體驗過程中，發(fā)現(xiàn)藍色汽車存在一定質(zhì)量問題，監(jiān)管部門決定從投放的汽車中隨機地抽取一輛

送技術部門作進一步抽樣檢測，并規(guī)定，若抽取的是黃色汽車，則將其放回市場，并繼續(xù)隨機地抽取下一

輛汽車；若抽到的是藍色汽車，則抽樣結束：并規(guī)定抽樣的次數(shù)不超過〃（〃eN’）次.在抽樣結束時?，若已

取到的黃色次車數(shù)以J表示，求J的分布列和數(shù)學期望.

【答案】見解析

【詳解】（1）???黃、藍兩種顏色的汽車的投放比例為3:1.

???任取1輛汽車取到藍色汽車的概率為2，

4

從投放到市場上的汽車中隨機抽取5輛汽車進行試駕體驗,

取到藍色汽車的數(shù)量X~8（5$,

抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍色汽車的概率：

尸（X=2）=C沖審=黑

（2）g的可能取值為0,1,2,n,

\3131313

pq=o)=Z，P(^=I)=^X-,pe=2)=(/2q.....p(^=?-i)=(^r'--,p(^n)=(-y

.?4的分布列為：

012.??n-\n

pj_3j_.??(

444k4

七(4)=W+2?(1)2①

；E(匕)=(；)2.；+2?(1)3q+…+(〃-1)?(1)"+"?(1)〃”，②

①一②，得:

；陽）=1?；+（；）2.；+（43.%..+（/%（；）“

44444444444

機3嗎3"]

一_^

4

3

=3-3.(：)".

4

19.(12分)如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，點。，￡分別為AC和8c的中點?

(1)證明：￡>E//平面ABMA；

(2)若4B_L3C,AB=BC=A\=2,求二面角5-4￡一。的余弦值.

【詳解】(1)證明：取8c中點〃，連接M3、ME,

又因為點。為AC中點，所以MD//AB,

因為43u平面A84A，所以M。//平面48月4,

因為A8C-ABC1為直三棱柱，所以四邊形B8CC為矩形，

又因為E為片￡中點，所以ME//BB」

因為平面ABBA，所以ME//平面AB4A,

因為加￡「|知。=D，所以平面MDE7/平面4880，

又因為￡>Eu平面MDE,所以。￡//平面484A.

(2)解：因為ABLBC，BBJAB,LAC,所以84、8耳、3c兩兩垂直,

建立如圖所示的空間直角坐標系，因為AB=3C=A4,=2,

所以亞=(1,-2,2),=(0,-2,0),AD=(l,-1,0),

設平面43E和平面的法向量分別為疣=(x,y,z),為=(〃，v,w),

AE-m=x—2y+2z=0.

■__J,令z=l,而=(-2,0,1),

AB.m=-2y=0

AE-n=u-2v+2w=0.

,令，w=-l,n=(2,2,1),

AD-n=u-v=0

因為二面角B—M—O為銳角,

所以二面角B—AE—D的余弦值為」:；:^=~~~?

22

20.（12分）設A、尸分別為橢圓C:二+與=1（。>6>0）的左頂點和右焦點，3為它的一個短軸端點，己

a~b~

知AAB尸的面積為一.

a

（1）求橢圓C的離心率:

（2）經(jīng)過點F且不與坐標軸垂直的直線/與橢圓交于M、N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P,

當/的方向變化時，是否存在常數(shù)4,使得|肱V|=RP/q恒成立？若存在，求出4的值；若不存在，請說明

理由.

【答案】（1）」；（2）見解析

2

【詳解】（1）設橢圓的半焦距為C,由已知得工（4+C）K久,

2a

即a(a4-c)=2b2,又b?=-,

所以2c2+ac-/=o,

所以(2c-a)(c+a)=0

由于。>0,c>0,

所以2c=a,

解得e=—=—?

a2

所以橢圓的離心率為

2

(2)由(1)知，a2=4c2,b2=3c2>

所以橢圓C的方程可化為3d+4)，=12c2,

設股(苞，乂)，N(X2,y2),直線/的方程為x=(y+c,聯(lián)立,

聯(lián)立直線/與橢圓的方程，得(3/+4)/+6c7)，-9c2=0,

則多+必

3廠+47'3廠+47

I,2、「36c2/236c2、12(/2+1)C

山弦長公式可得IMN|=J(l+f2)[(M+%)2-4y)，2]=(1-r)[o^4F+3^]=^rr

設線段MN的中點坐標為(x0,%),

則丫_%+%__3。4c

ly°~2~3t2+4°一"。3r+4

則MN的垂直平分線方程為y+34’

令y=0,得點P的橫坐標為,=3；+4'

故存在常數(shù)%=4滿足條件.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*+cosx-2,外力為f(x)的導數(shù).

(1)當工.0時，求(。)的最小值；

(2)當x…一工時，xe、+xcosx-ar2-2x..O恒成立，求〃的取值范圍.

2

【答案】(1)1;(2)為1

【詳解】(1)fr(x)=ex-sinx,令g(x)=e”-sinx,x.O,貝Ug'(%)=e"—cosx.

當了￡[0,))時，g'(x)為增函數(shù)，g'(x)..g'(O)=O；

當xe[萬，+oo)時，g'(x)..e"一1>0.

故x..O時，g'(x)..O,g(x)為增函數(shù)，

故g(x)而“=g(0)=1,即/'(x)的最小值為1.

(2)令/?(x)=e'+cosx-2-ax,h'(x)=ex-sinx-a,則x...-工時，x,〃(x)..O恒成立.

2

當4,1時，若x..0,則由(1)可知,〃'(x)蝎-a0,

所以〃(x)為增函數(shù)，故〃(x)..〃(0)=0恒成立，即x/(x)..O恒成立；

若xe［-色,0］,則〃"(x)=e*-cosx,

〃"(x)=e*+sinx在［一工,0］上為增函數(shù)，

2

又“(0)=1,hm(-^)=e^~\<0,

故存在唯一％€(-工0),使得心(%)=0.

當xe(-/,x。)時，hn(x)<0,/?"(x)為減函數(shù)；

m

xG(x0,0)時，h(x)..0,為增函數(shù).

TKT--

又〃”(_2)=e2>(),v(o)=o,

故存在唯一百€(-1,0)使得〃"(芭)=0.

故X€(-gx!)時，/?"(X1)>O'/z'(x)為增函數(shù)；

xw(E，0)時'h\xx)<0,〃(尤)為減函數(shù).

?！?/p>

又做一一)=e2+l-a>0,hr(O)=l-a..O,

2

所以xw［-C,0］時，h'(x)>0,〃(x)為增函數(shù)，

2

故h(x)?h(0)=0,即x?%(%)..0恒成立；

當。>1時，由(1)可知/?'(x)=e*-sinx-a在［0,+8)上為增函數(shù)，

且〃'(0)=1-。<0,〃'(1+初.*"一1一〃>0,

故存在唯一工2€(0,田)，使得〃'(電)=0.

則當不￡(0,々)時，hXx)<0,/?(x)為減函數(shù)，

所以h(x)<h(O)=0,此時x?h(x)<0,4x-h(x)..0恒成立矛盾.

綜上所述，1.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.（10分）在平面直角坐標系中，已知曲線G的參數(shù)方程為”為參數(shù)），以坐標原點。