線性空間和歐式空間

PAGE第六章線性空間和歐式空間§1線性空間及其同構(gòu)一線性空間的定義設(shè)V是一個非空集合，K是一個數(shù)域，在集合V的元素之間定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法；這就是說，給出了一個法則，對于V中任意兩個元素和，在V中都有唯一的一個元素與他們對應(yīng)，成為與的和，記為。在數(shù)域K與集合V的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法，即對于數(shù)域K中任一數(shù)k與V中任一元素，在V中都有唯一的一個元素與他們對應(yīng)，稱為k與的數(shù)量乘積，記為，如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么V稱為數(shù)域K上的線性空間。加法滿足下面四條規(guī)則：1）；交換律2）；結(jié)合律3）在V中有一個元素0，對于V中任一元素都有（具有這個性質(zhì)的元素0稱為V的零元素）；存在零元4）對于V中每一個元素，都有V中的元素，使得（稱為的負(fù)元素）.存在負(fù)元數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5）；存在1元6）.數(shù)的結(jié)合律數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7）；數(shù)的分配律8）.元的分配律在以上規(guī)則中，表示數(shù)域中的任意數(shù)；等表示集合V中任意元素。元素屬于數(shù)域K的矩陣，按矩陣的加法和矩陣的與數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域K上的一個線性空間，記為。全體實(shí)函數(shù)（連續(xù)實(shí)函數(shù)），按函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成一個實(shí)數(shù)域上的線性空間。維向量空間是線性空間。向量空間的線性映射的集合是線性空間。二．簡單性質(zhì)1．零元素是唯一的。2．負(fù)元素唯一。3．，，。4．若，則或者。三.同構(gòu)映射定義：設(shè)是數(shù)域上的線性空間.是一個線性映射.如果是一一映射，則稱是線性空間的同構(gòu)映射，簡稱同構(gòu)。線性空間與稱為同構(gòu)的線性空間。定理數(shù)域P上兩個有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是他們有相同的維數(shù)。同構(gòu)映射的逆映射以及兩個同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射。§2線性子空間的和與直和子空間的和：設(shè)是線性空間的子空間，則集合也是一個線性子空間，稱為的和，記為.兩個線性子空間的和是包含這兩個線性子空間的最小子空間.滿足交換律、結(jié)合律設(shè)與是V的兩個向量組.則線性子空間中的線性無關(guān)向量組都能被擴(kuò)充成這個子空間的一個基。定理：（維數(shù)公式）如果是線性空間的兩個子空間，那么+=+由此可知，和的維數(shù)要比維數(shù)的和來得小。推廣到有限個線性子空間的和空間維數(shù)推論：如果維線性空間中兩個子空間的維數(shù)之和大于，那么必含有非零的公共向量。直和：設(shè)是線性空間的子空間，如果中的每個向量都能被唯一地表示成.則稱為直和，記為。設(shè)是線性空間的子空間，則下列結(jié)論互相等價：設(shè)是線性空間的一個子空間，那么一定存在的一個線性子空間，使得滿足上述條件的線性子空間稱為的補(bǔ)子空間.推廣到有限多個線性子空間也可以定義它們的直和§3歐式空間定義設(shè)是實(shí)數(shù)域上的有限維線性空間,在上定義了一個二元實(shí)函數(shù)，稱為內(nèi)積,記作,滿足以下四條公理:1)對稱性;2)關(guān)于標(biāo)量乘法線性性質(zhì);3)關(guān)于向量加法的線性性質(zhì);4)正定性,當(dāng)且僅當(dāng)時,這里是任意的向量,是任意實(shí)數(shù),這樣的線性空間稱為歐幾里得空間.例1在線性空間中,對于向量,定義內(nèi)積(1)則內(nèi)積(1)適合定義中的條件，這樣就成為一個歐幾里得空間.時，(1)式就是幾何空間中的向量的內(nèi)積在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表達(dá)式.例2在里,對于向量,定義內(nèi)積則內(nèi)積(1)適合定義中的條件，這樣就也成為一個歐幾里得空間.對同一個線性空間可以引入不同的內(nèi)積,使得它作成歐幾里得空間.例3在閉區(qū)間上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成的空間中,對于函數(shù)定義內(nèi)積.(2)對于內(nèi)積(2)，構(gòu)成一個歐幾里得空間.同樣地，線性空間對于內(nèi)積(2)也構(gòu)成歐幾里得空間.例4令是一切平方和收斂的實(shí)數(shù)列所成的集合,則是一個歐幾里得空間,通常稱為希爾伯特(Hilbert)空間.定義非負(fù)實(shí)數(shù)稱為向量的長度，記為.顯然，向量的長度一般是正數(shù)，只有零向量的長度才是零，這樣定義的長度符合熟知的性質(zhì)：(3)這里.長度為1的向量叫做單位向量.如果,由(3)式，向量就是一個單位向量.用向量的長度去除向量，通常稱為把單位化.(Cauchy-Buniakowski不等式)對任意的向量有而且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān).(保證向量夾角定義的合理性)定義非零向量的夾角規(guī)定為根據(jù)柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式.定義如果向量的內(nèi)積為零，即那么稱為正交或互相垂直，記為.兩個非零向量正交的充要條件是它們的夾角為.只有零向量才與自己正交.勾股定理：當(dāng)正交時，推廣：如果向量兩兩兩正交，那么.稱為基的度量矩陣.度量矩陣完全確定了內(nèi)積.標(biāo)準(zhǔn)歐式空間(其內(nèi)積關(guān)于自然基的度量矩陣是n階單位陣)定義歐氏空間的一組非零的向量,如果它們兩兩正交，就稱為一個正交向量組.由單個非零向量所成的向量組也是正交向量組.在維歐氏空間中，兩兩正交的非零向量不能超過個.正交向量組一定是線性無關(guān)的。若正交向量組中的向量都是單位向量，則稱為規(guī)范正交組。定義在維歐氏空間中，由個向量組成的正交向量組稱為正交基；由單位向量組成的正交基稱為規(guī)范正交基組.對一組正交基進(jìn)行單位化就得到一組規(guī)范正交基.歐式空間的線性子空間必存在規(guī)范正交基。在規(guī)范正交基下，向量的內(nèi)積可以通過坐標(biāo)簡單地表示出來，這個表達(dá)式正是幾何中向量的內(nèi)積在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)表達(dá)式的推廣.把一組線性無關(guān)的向量變成一單位正交向量組的方法在一些書和文獻(xiàn)中稱為格拉姆-施密特（Schimidt）正交化方法.(P314)定義歐氏空間與稱為同構(gòu)的,如果存在線性空間的同構(gòu)，保持內(nèi)積，即,對任意的成立，這樣的映射A稱為到的同構(gòu)映射.同構(gòu)的歐氏空間必有相同的維數(shù).每個維的歐氏空間都與同構(gòu).同構(gòu)作為歐氏空間之間的關(guān)系具有反身性、對稱性與傳遞性.由每個維歐氏空間都與同構(gòu)知，任意兩個維歐氏空間都同構(gòu).定理兩個有限維歐氏空間同構(gòu)它們的維數(shù)相等.這個定理說明，從抽象的觀點(diǎn)看，歐氏空間的結(jié)構(gòu)完全被它們的維數(shù)決定.§4歐式空間中的正交補(bǔ)空間與正交投影是歐式空間的一個子集，如果中向量與中每個向量都正交，則稱與正交，記做.正交投影的定義，正交投影的求法(P321-323),則其中每個向量都能唯一的表示成是在上的正交投影的充要條件是.令則為在上的正交投影.在中取一個規(guī)范正交基，則在上的正交投影為.正交投影的求法:用施密特正交化方法求出的規(guī)范正交基，再用設(shè)，則,解齊次線性方程組把(2)寫成矩陣形式，解決，中任意向量在子空間上的最佳逼近元存在且唯一，就是在上的正交投影.最小二乘法（偏差總和最小——>偏差平方和最?。≒327-328）最小二乘法問題：線性方程組可能無解.即任何一組數(shù)都可能使(1)不等于零.我們設(shè)法找使（1）最小，這樣的稱為方程組的最小二乘解.這種問題就叫最小二乘法問題.下面利用歐氏空間的概念來表達(dá)最小二乘法，并給出最小二乘解所滿足的代數(shù)條件.(2)用距離的概念，（1）就是最小二乘法就是找使與的距離最短.但從（2），知道向量就是把的各列向量分別記成.由它們生成的子空間為.就是中的向量.于是最小二乘法問題可敘述成：找使（1）最小，就是在中找一向量，使得到它的距離比到子空間中其它向量的距離都短.應(yīng)用前面所講的結(jié)論，設(shè)是所求的向量，則必須垂直于子空間.為此只須而且必須回憶矩陣乘法規(guī)則，上述一串等式可以寫成矩陣相乘的式子，即而按行正好排成矩陣，上述一串等式合起來就是或這就是最小二乘解所滿足的代數(shù)方程，它是一個線性方程組，系數(shù)矩陣是，常數(shù)項(xiàng)是.這種線性方程組總是有解的.§5正交變換與正交矩陣定義歐氏空間的線性變換A叫做一個正交變換,如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對任意的，都有,都有(A,A)=.正交變換可以從幾個不同方面公平加以刻畫.正交群設(shè)A是n維歐氏空間的一個正交變換，則有以下結(jié)論：如果是規(guī)范正