初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)《三角形全等的判定》教案（二十六）

三角形全等的判定1.教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，教師應(yīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，向?qū)W生提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，從中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。以三角形全等是否需要六個(gè)條件為背景導(dǎo)入新課，可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探索新知的欲望；通過(guò)一題多解的處理方法達(dá)到提高識(shí)圖能力、分析能力的目的；同時(shí)兩個(gè)圖形畫(huà)法的再現(xiàn)與合理性證明也是為了滲透尺規(guī)作圖的原理，為后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，分散教學(xué)難點(diǎn)，便于更好地突出重點(diǎn)。探究問(wèn)題的設(shè)計(jì)意在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。2.教學(xué)分析教材分析①《全等三角形的判定》學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一是推理證明，雖然前面平行線的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸了推理證明，但那只是初步的、淺顯的。通過(guò)全等三角形的學(xué)習(xí)，力圖使學(xué)生在邏輯推理的能力上達(dá)到教學(xué)的要求。另外，在尺規(guī)作圖，特別是按要求作三角形的教學(xué)內(nèi)容中，全等三角形的判定起到至關(guān)重要的作用。②全等三角形的學(xué)習(xí)是繼平行線后的第二次比較系統(tǒng)的學(xué)習(xí)幾何推理，學(xué)生對(duì)此感覺(jué)比較新鮮有趣，利用這段教學(xué)內(nèi)容可以有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并借此提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。全等三角形的知識(shí)相對(duì)來(lái)講比較簡(jiǎn)單，通過(guò)本段知識(shí)的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。學(xué)情分析在此之前，學(xué)生雖然已有平行線的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但是識(shí)圖能力和運(yùn)用符號(hào)語(yǔ)言的能力還都有待提高。在“空間與圖形”相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我始終比較重視對(duì)學(xué)生的畫(huà)圖、識(shí)圖能力的培養(yǎng)，并且有意滲透了一些尺規(guī)作圖的基本方法，但是方法的合理性是遺留在學(xué)生心中的疑問(wèn)，他們只是在機(jī)械地模仿。全等三角形的各種判定方生的掌握，絕大部分同學(xué)能夠準(zhǔn)確根據(jù)條件標(biāo)圖，判斷出兩個(gè)三角形是否具備全等的條件，并且能夠正確地表達(dá)推理過(guò)程，但在靈活選取方法方面還略顯不足。3.教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：①能夠正確應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)和判定證明線段相等或角相等；②學(xué)習(xí)兩次應(yīng)用全等的證明方法；過(guò)程與方法目標(biāo)：①通過(guò)例題和習(xí)題一題多解的練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力和推理的能力，提高學(xué)生解題的靈活性和識(shí)圖能力；②通過(guò)探究問(wèn)題的解決，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力；情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：①通過(guò)兩個(gè)遺留問(wèn)題的證明，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。②通過(guò)探究問(wèn)題的探討，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。4.教學(xué)重難點(diǎn)靈活運(yùn)用三角形全等的條件；運(yùn)用全等的條件解決一些實(shí)際問(wèn)題。靈活運(yùn)用三角形全等條件構(gòu)造、證明并解決一些實(shí)際問(wèn)題。5.課時(shí)設(shè)計(jì)全等三角形判定：“SSS”、“SAS”、“ASA”“AAS”、“HL”新課各一課時(shí)。6.教學(xué)策略以多媒體為輔助，問(wèn)題式教學(xué)、探究法。教學(xué)過(guò)程（1）課前探究部分Ⅰ．創(chuàng)設(shè)情境，引入新課（一）出示投影片，回憶前面研究過(guò)的全等三角形．已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的邊與角．圖中相等的邊是：AB=A′B′、BC=B′C′、AC=A′C′．相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．展示課作前準(zhǔn)備的三角形紙片，提出問(wèn)題：你能畫(huà)一個(gè)三角形與它全等嗎？怎樣畫(huà)？（可以先量出三角形紙片的各邊長(zhǎng)和各個(gè)角的度數(shù)，再作出一個(gè)三角形使它的邊、角分別和已知的三角形紙片的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這樣作出的三角形一定與已知的三角形紙片全等）。這是利用了全等三角形的定義來(lái)作圖．那么是否一定需要六個(gè)條件呢？條件能否盡可能少呢？現(xiàn)在我們就來(lái)探究這個(gè)問(wèn)題．Ⅱ．導(dǎo)入新課全等的判定（SSS）1．只給一個(gè)條件（一組對(duì)應(yīng)邊相等或一組對(duì)應(yīng)角相等），畫(huà)出的兩個(gè)三角形一定全等嗎？2．給出兩個(gè)條件畫(huà)三角形時(shí)，有幾種可能的情況，每種情況下作出的三角形一定全等嗎？分別按下列條件做一做．①三角形一內(nèi)角為30°，一條邊為3cm．②三角形兩內(nèi)角分別為30°和50°．③三角形兩條邊分別為4cm、6cm．學(xué)生分組討論、探索、歸納，最后以組為單位出示結(jié)果作補(bǔ)充交流．結(jié)果展示：1．只給定一條邊時(shí)：只給定一個(gè)角時(shí)：2．給出的兩個(gè)條件可能是：一邊一內(nèi)角、兩內(nèi)角、兩邊．可以發(fā)現(xiàn)按這些條件畫(huà)出的三角形都不能保證一定全等．給出三個(gè)條件畫(huà)三角形，你能說(shuō)出有幾種可能的情況嗎？歸納：有四種可能．即：三內(nèi)角、三條邊、兩邊一內(nèi)角、兩內(nèi)角一邊．在剛才的探索過(guò)程中，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三內(nèi)角不能保證三角形全等．下面我們就來(lái)逐一探索其余的三種情況．已知一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為6cm、8cm、10cm．你能畫(huà)出這個(gè)三角形嗎？把你畫(huà)的三角形剪下與同伴畫(huà)的三角形進(jìn)行比較，它們?nèi)葐幔?．作圖方法：先畫(huà)一線段AB，使得AB=6cm，再分別以A、B為圓心，8cm、10cm為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)記作C，連結(jié)線段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它們的邊長(zhǎng)分別為AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．2．以小組為單位，把剪下的三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)都能夠重合．這說(shuō)明這些三角形都是全等的．3．特殊的三角形有這樣的規(guī)律，要是任意畫(huà)一個(gè)三角形ABC，根據(jù)前面作法，同樣可以作出一個(gè)三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．將△A′B′C′剪下，發(fā)現(xiàn)兩三角形重合．這反映了一個(gè)規(guī)律：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”或“SSS”．用上面的規(guī)律可以判斷兩個(gè)三角形全等．判斷兩個(gè)三角形全等的推理過(guò)程，叫做證明三角形全等．所以“SSS”是證明三角形全等的一個(gè)依據(jù)．請(qǐng)看例題．[例]如圖，△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC，AD是連結(jié)點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架．求證：△ABD≌△ACD．[分析]要證△ABD≌△ACD，可以看這兩個(gè)三角形的三條邊是否對(duì)應(yīng)相等．證明：因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)所以BD=DC在△ABD和△ACD中所以△ABD≌△ACD（SSS）．生活實(shí)踐的有關(guān)知識(shí)：用三根木條釘成三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，而用四根木條釘成的框架，它的形狀是可以改變的．三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的穩(wěn)定性．例如屋頂?shù)娜俗至?、大橋鋼架、索道支架等?．三角形全等的判定（SAS）(1)全等三角形具有“對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等”的性質(zhì)．那么，怎樣才能判定兩個(gè)三角形全等呢？也就是說(shuō)，具備什么條件的兩個(gè)三角形能全等？是否需要已知“三條邊相等和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”？現(xiàn)在我們用圖形變換的方法研究下面的問(wèn)題：如圖2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的長(zhǎng)度如圖所標(biāo)，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？不難看出，這兩個(gè)三角形有三對(duì)元素是相等的：AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．如果把△OAB繞著O點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，因?yàn)镺A＝OC，所以可以使OA與OC重合；又因?yàn)椤螦OB＝∠COD，OB＝OD，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D重合．這樣△ABO與△CDO就完全重合．由此，我們得到啟發(fā)：判定兩個(gè)三角形全等，不需要三條邊對(duì)應(yīng)相等和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等．而且，從上面的例子可以引起我們猜想：如果兩個(gè)三角形有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．2．上述猜想是否正確呢？不妨按上述條件畫(huà)圖并作如下的實(shí)驗(yàn)：(1)讀句畫(huà)圖：①畫(huà)∠DAE＝45°，②在AD、AE上分別取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③連結(jié)BC，得△ABC．④按上述畫(huà)法再畫(huà)一個(gè)△A＇B＇C＇．(2)把△A＇B＇C＇剪下來(lái)放到△ABC上，觀察△A＇B＇C＇與△ABC是否能夠完全重合？3．邊角邊公理．有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱“邊角邊”或“SAS”)全等的判定（ASA、AAS）1．復(fù)習(xí)：（1）三角形中已知三個(gè)元素，包括哪幾種情況？三個(gè)角、三個(gè)邊、兩邊一角、兩角一邊．（2）到目前為止，可以作為判別兩三角形全等的方法有幾種？各是什么？三種：①定義；②SSS；③SAS．2．在三角形中，已知三個(gè)元素的四種情況中，我們研究了三種，今天我們接著探究已知兩角一邊是否可以判斷兩三角形全等呢？Ⅱ．導(dǎo)入新課問(wèn)題1：三角形中已知兩角一邊有幾種可能？1．兩角和它們的夾邊．2．兩角和其中一角的對(duì)邊．問(wèn)題2：三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°，它們的夾邊為4cm，你能畫(huà)一個(gè)三角形同時(shí)滿足這些條件嗎？將你畫(huà)的三角形剪下，與同伴比較，觀察它們是不是全等，你能得出什么規(guī)律？將所得三角形重疊在一起，發(fā)現(xiàn)完全重合，這說(shuō)明這些三角形全等．提煉規(guī)律：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）．問(wèn)題3：我們剛才做的三角形是一個(gè)特殊三角形，隨意畫(huà)一個(gè)三角形ABC，能不能作一個(gè)△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？①先用量角器量出∠A與∠B的度數(shù)，再用直尺量出AB的邊長(zhǎng)．②畫(huà)線段A′B′，使A′B′=AB．③分別以A′、B′為頂點(diǎn)，A′B′為一邊作∠DA′B′、∠EB′A′，使∠DA′B′=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．④射線A′D與B′E交于一點(diǎn)，記為C′即可得到△A′B′C′．將△A′B′C′與△ABC重疊，發(fā)現(xiàn)兩三角形全等．兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）．思考：在一個(gè)三角形中兩角確定，第三個(gè)角一定確定．我們是不是可以不作圖，用“ASA”推出“兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等”呢？探究問(wèn)題4：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角條件證明你的結(jié)論嗎？證明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°∠A=∠D，∠B=∠E∴∠A+∠B=∠D+∠E∴∠C=∠F在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）．兩個(gè)角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）．[例]如下圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求證：AD=AE．[分析]AD和AE分別在△ADC和△AEB中，所以要證AD=AE，只需證明△ADC≌△AEB即可．證明：在△ADC和△AEB中所以△ADC≌△AEB（ASA）所以AD=AE．全等的判定（HL）探索練習(xí)：（動(dòng)手操作）：已知線段a，c(a<c)和一個(gè)直角利用尺規(guī)作一個(gè)Rt△ABC，使∠C=∠，AB=c，CB=a1、按步驟作圖：ac作∠MCN=∠=90°，在射線CM上截取線段CB=a，③以B為圓心，C為半徑畫(huà)弧，交射線CN于點(diǎn)A，④連結(jié)AB2、與同桌重疊比較，是否重合？3、從中你發(fā)現(xiàn)了什么？斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．（ＨＬ）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡(jiǎn)寫(xiě)法）如圖，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E、F，（1）若AC//DB，且AC=DB，則△ACE≌△BDF，根據(jù)（）（2）若AC//DB，且AE=BF，則△ACE≌△BDF，根據(jù)（）（3）若AE=BF，且CE=DF，則△ACE≌△BDF，根據(jù)（）（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。則△ACE≌△BDF，根據(jù)（）（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），則△ACE≌△BDF，根據(jù)（）3、判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法不正確的有（）兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等（B）斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等（C）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（D）兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等4、如圖，B、E、F、C在同一直線上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你認(rèn)為AB平行于CD嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由答：理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定義）在Rt△和Rt△中∴≌（）∴∠=∠（）∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）5、如圖，廣場(chǎng)上有兩根旗桿，已知太陽(yáng)光線AB與DE是平行的，經(jīng)過(guò)測(cè)量這兩根旗桿在太陽(yáng)光照射下的影子是一樣長(zhǎng)的，那么這兩根旗桿高度相等嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由。Ⅲ．課時(shí)小結(jié)（一）至此，我們有六種判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定義2．邊邊邊（SSS）3．邊角邊（SAS）4．角邊角（ASA）5．角角邊（AAS）６．ＨＬ（僅用在直角三角形中）可以證明簡(jiǎn)單的三角形全等問(wèn)題．（二）1．根據(jù)邊角邊公理判定兩個(gè)三角形全等，要找出邊角對(duì)應(yīng)相等的三個(gè)條件．2．找使結(jié)論成立所需條件，要充分利用已知條件(包括給出圖形中的隱含條件，如公共邊、公共角等)，并要善于運(yùn)用學(xué)過(guò)的定義、公理、定理．Ⅳ．活動(dòng)與探索如圖，一個(gè)六邊形鋼架ABCDEF由6條鋼管連結(jié)而成，為使這一鋼架穩(wěn)固，請(qǐng)你用三條鋼管連接使它不能活動(dòng)，你能找出幾種方法？本題的目的是讓學(xué)生能夠進(jìn)一步理解三角形的穩(wěn)定性在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用．結(jié)果：（1）可從這六個(gè)頂點(diǎn)中的任意一個(gè)作對(duì)角線，把這個(gè)六邊形劃分成四個(gè)三角形．如圖（1）為其中的一種．（2）也可以把這個(gè)六邊形劃分成四個(gè)三角形．如圖（2）．Ⅴ．課后作業(yè)：1.下列各組條件中，能判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠DB．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF

C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周長(zhǎng)=

△DEF的周長(zhǎng)

D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F2.在△ABC與△DEF中，給出下列六個(gè)條件：（1）AB=DE；（2）BC=EF；（3）AC=DF；（4）∠A=∠D；（5）∠B=∠E；（6）∠C=∠F，以其中三個(gè)條件為已知，不能判斷△ABC與△DEF全等的是（）Ａ．（1）（5）（2） Ｂ．（1）（2）（3）Ｃ．（4）（6）（1） Ｄ．（2）（3）（4）3.下列幾種說(shuō)法①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；②面積相等的兩個(gè)三角形全等；③周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等；④全等的兩個(gè)三角形的面積相等。其中正確的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④4.△ABC和△DEF中，∠B＝∠E、∠C＝∠F,添加下列條件不能得出△ABC≌△DEF的是（）A.BC＝EFB.AB＝DEC.AC＝DED.AC＝DF5.如圖,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列條件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④∠B=∠E,其中能使ΔABC≌ΔAED的條件有..............()個(gè).A.4B.3C.2D.1第6題第第6題第5題6.如圖，已知△ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中和△ABC全等的圖形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則圖中共有全等三角形（）A．5對(duì)B．4對(duì)C．3對(duì)D．2對(duì)AAGFEGFE第7題BC第7題BCD已知BD、CE是△ABC的高，點(diǎn)P在BD的延長(zhǎng)線上，