5.4.1 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象（5大題型）精講

5.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象重點：1、了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象；2、會用五點法畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象；難點：能利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象解決簡單問題一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法1．描點法：按照列表、描點、連線三步法作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的方法．2．幾何法：利用三角函數(shù)線作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在內(nèi)的圖象，再通過平移得到和的圖象．3．五點法：先描出正弦曲線和余弦曲線的波峰、波谷和三個平衡位置這五個點，再利用光滑曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象．在確定正弦函數(shù)在上的圖象時，關(guān)鍵的五點是：【注意】（1）若，可先作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上的圖象，然后通過左、右平移可得到和的圖象．（2）由誘導(dǎo)公式，故的圖象也可以將的圖象上所有點向左平移個單位長度得到．二、正（余）弦函數(shù)的圖象函數(shù)y＝sinxy＝cosx圖象圖象畫法五點法五點法關(guān)鍵五點,,,,,,,,正（余）弦曲線正（余）弦函數(shù)的圖象叫做正（余）弦曲線三、用三角函數(shù)圖象解三角不等式的方法1、作出相應(yīng)正弦函數(shù)或余弦函數(shù)在[0,2π]上的圖象；2、寫出適合不等式在區(qū)間[0,2π]上的解集；3、根據(jù)公式一寫出不等式的解集．題型一五點法作正余弦函數(shù)圖象【例1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）用“五點法”作y＝2sinx的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】與對應(yīng)五點的橫坐標(biāo)相同，則五點法對應(yīng)五點的橫坐標(biāo)，故選：A．【變式11】（2023·黑龍江·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象中與y軸最近的最高點的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】用五點法畫出函數(shù)的部分圖象如圖所示，由圖易知與y軸最近的最高點的坐標(biāo)為.故選：B【變式12】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）畫出下列函數(shù)在區(qū)間上的圖象：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）圖象見解析；（2）圖象見解析；（3）圖象見解析【解析】（1）按五個關(guān)鍵點列表：2描點并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖所示（2）按五個關(guān)鍵點列表：2描點并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖所示（3）按五個關(guān)鍵點列表：2描點并將它們用光滑的曲線連接起來，如圖所示【變式13】（2023·高一課時練習(xí)）作出函數(shù)，的大致圖像．【答案】見解析【解析】根據(jù)五點法作圖列表得：畫圖像得：題型二含絕對值的三角函數(shù)【例2】（2022·高一課時練習(xí)）作出函數(shù)，的大致圖像．【答案】圖見解析【解析】函數(shù)，其圖如下所示：【變式21】（2022·高一課時練習(xí)）當(dāng)時，作出下列函數(shù)的圖象，把這些圖象與的圖象進(jìn)行比較，你能發(fā)現(xiàn)圖象變換的什么規(guī)律？（1）；（2）；（3）.【答案】答案見解析【解析】（1）該圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，故將的圖象作關(guān)于軸對稱的圖象即可得到的圖象.（2）將的圖象在軸上方部分保持不變，下半部分作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象.（3）將的圖象在軸右邊部分保持不變，并將其作關(guān)于軸對稱的圖形，即可得到的圖象.【變式22】（2023·全國·高三專題練習(xí)）作出函數(shù)的圖象【答案】見解析【解析】，，作出函數(shù)圖象后，將軸下方的部分沿軸翻折到軸上方，即為函數(shù)的圖象，如圖【變式23】（2022·高一課時練習(xí)）利用正弦或余弦函數(shù)圖象作出的圖象．【答案】見解析【解析】由，所以的圖象由的圖象軸下方的部分關(guān)于軸對稱上去，和軸上方的原圖象共同組成，如圖實線部分所表示的是的圖象題型三三角函數(shù)識圖問題【例3】．（2023·四川成都·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，函數(shù)（且）的圖像是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)圖象如下圖所示，故選：C.【變式31】（2023·廣東清遠(yuǎn)·高一陽山縣南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，所以為偶函數(shù)，故排除BD；當(dāng)時，，，則，故排除C.故選：A．【變式32】（2023·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則其圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由條件知，A符合，其它均不符合，故選：A．【變式33】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一土默特中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上的圖象大致為（）A．B．C．

D．【答案】A【解析】因為，，則，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故排除C、D；又，由于，所以，故排除B；故選：A題型四利用圖象解三角不等式【例4】（2022·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示，不等式，的解集為故選：A【變式41】（2023·上海嘉定·高一校考期中）不等式的解集為.【答案】【解析】畫出的圖象，如圖所示，由圖可知，不等式的解集為.【變式42】（2022·高一課時練習(xí)）利用函數(shù)，與，的圖象，在內(nèi)求且時的取值范圍．【答案】【解析】在同一坐標(biāo)系下作出，與，的圖象，如下所示：故且時的取值范圍是.【變式43】（2023·高一課時練習(xí)）在(0，2π)內(nèi)使sinx>|cosx|的x的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為sinx>|cosx|且x∈(0，2π)，所以sinx>0，所以x∈(0，π)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=sinx，x∈(0，π)與y=|cosx|，x∈(0，π)的圖象，觀察圖象易得x∈．故選：A.題型五與正余弦函數(shù)有關(guān)的零點【例5】（2023上·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)，的圖象在區(qū)間的交點個數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】分別作出，在區(qū)間上的圖象，如圖所示，由圖象可知：，的圖象在區(qū)間的交點個數(shù)為3.故選：A.【變式51】（2023·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于（）A．8B．10C．12D．14【答案】C【解析】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有公共對稱軸，分別做出兩個函數(shù)的圖像如圖所示，由圖像可知，兩個函數(shù)共有12個交點，且關(guān)于直線對稱，則所有交點的橫坐標(biāo)之和為.故選：C【變式52】（2022·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）方程，實根的個數(shù)為（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】因為，則與，的圖象如下所示：由圖可得與，有且僅有個交點，所以方程，實根有個.故選：C【變式53】（2023·新疆·高一塔城地區(qū)