家教輔導(dǎo)-一元二次方程

一元二次方程的解法一．一元二次方程1.定義：方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)〔一元〕，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2〔二次〕的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0〔a≠0〕后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．例1．將方程3x〔x-1〕=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0〔a≠0〕．因此，方程3x〔x-1〕=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等．注意:二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都包括前面的符號(hào).例2.判斷以下方程是否為一元二次方程？(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0作業(yè)設(shè)計(jì)一、選擇題1．在以下方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是〔〕．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③〔x-2〕〔x+5〕=x2-1④3x2-=0A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．方程2x2=3〔x-6〕化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為〔〕．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么〔〕．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p為任意實(shí)數(shù)二、填空題1．方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為________，一次項(xiàng)系數(shù)為_________，常數(shù)項(xiàng)為_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．關(guān)于x的方程〔a-1〕x2+3x=0是一元二次方程，那么a的取值范圍是________．二.方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．〔只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解，又叫方程的根〕例1．下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．例2．你能用以前所學(xué)的知識(shí)求出以下方程的根嗎？〔1〕x2-64=0〔2〕3x2-6=0〔3〕x2-3x=0練習(xí)：一、選擇題1．方程x〔x-1〕=2的兩根為〔〕．A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1二、填空題1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的兩個(gè)根分別是x1=________，x2=__________．2．方程5x2+mx-6=0的一個(gè)根是x=3，那么m的值為________．三、一元二次方程的解法〔一〕、直接開平方法一、練習(xí)題1．假設(shè)x2-4x+p=〔x+q〕2，那么p、q的值分別是〔〕．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．假設(shè)8x2-16=0，那么x的值是_________．3．如果方程2〔x-3〕2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是________．〔二〕、配方法配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程化為一般形式；〔2〕二次項(xiàng)系數(shù)化為1；〔3〕常數(shù)項(xiàng)移到右邊；〔4〕方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式〔5〕變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實(shí)根練習(xí)：一、選擇題1．將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得〔〕．A．〔x-2〕2+3B．〔x-2〕2-3C．〔x+2〕2+3D．〔x+2〕2-32．x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的選項(xiàng)是〔〕．A．x2-8x+〔-4〕2=31B．x2-8x+〔-4〕2=1C．x2+8x+42=1D．x3．如果mx2+2〔3-2m〕x+3m-2=0〔m≠0〕的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，那么m等于〔〕．A．1B．-1C．1或9D．-1或94．配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為〔〕．A．〔x-〕2=B．〔x-〕2=0C．〔x-〕2=D．〔x-〕2=二、填空題1．如果x2+4x-5=0，那么x=_______．解一元二次方程練習(xí)題(配方法)1．用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：①、x2+6x+=〔x+〕2；②、x2－5x+=〔x－〕2；③、x2+x+=〔x+〕2；④、x2－9x+=〔x－〕22．將二次三項(xiàng)式2x2-3x-5進(jìn)行配方，其結(jié)果為_________．3．4x2-ax+1可變?yōu)椤?x-b〕2的形式，那么ab=_______．4．將一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成〔x+a〕2=b的形式為_______，所以方程的根為_________．5．假設(shè)x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，那么m的值是〔〕A．3B．-3C．±3D．以上都不對(duì)6．用配方法將二次三項(xiàng)式a2-4a+5變形，結(jié)果是〔〕A．〔a-2〕2+1B．〔a+2〕2-1C．〔a+2〕2+1D．〔a-2〕2-17．把方程x+3=4x配方，得〔〕A．〔x-2〕2=7B．〔x+2〕2=21C．〔x-2〕2=1D．〔x+2〕2=28．用配方法解方程x2+4x=10的根為〔〕A．2±B．-2±C．-2+D．2-9．不管x、y為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x-4y+7的值〔〕A．總不小于2B．總不小于7C．可為任何實(shí)數(shù)D．可能為負(fù)數(shù)10．用配方法解以下方程：〔1〕3x2-5x=2．〔2〕x2+8x=9〔3〕x2+12x-15=0〔4〕x2-x-4=0〔三〕.公式法用配方法解方程ax2－7x+3=0(2)ax2+bx+3=0(3)如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問題．問題：ax2+bx+c=0〔a≠0〕，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1=，x2=(這個(gè)方程一定有解嗎?什么情況下有解？)分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a(bǔ)、b、c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去．解：移項(xiàng)，得：ax2+bx=-c二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+x=-配方，得：x2+x+〔〕2=-+〔〕2即〔x+〕2=∵4a2>0，4a2＞0,當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)≥0∴〔x+〕2=()2直接開平方，得：x+=±即x=∴x1=，x2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：〔1〕解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出現(xiàn)的運(yùn)算，恰好包括了所學(xué)過的六中運(yùn)算，加、減、乘、除、乘方、開方，這表達(dá)了公式的統(tǒng)一性與和諧性。)〔2〕這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式．〔3〕利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解〔4〕由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．根底練習(xí)用公式法解以下方程⑴；〔2〕x2+1.5=－3x〔3〕 〔4〕4x2－3x＋2=0三、穩(wěn)固訓(xùn)練1、方程3x2－kx＋3=0的一個(gè)根是4，那么另一個(gè)根是，k=。2、一元二次方程x2-2x+m=0，b2-4ac=0,那么m=,x=.3、方程x2－4x－3=0的解為。二、選擇：1、關(guān)于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是〔〕A、k>-1B、k>1C、k≠2、一元二次方程y2＋2y－4=0的根的情況為〔〕A、沒有實(shí)數(shù)根；B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；C、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；D、不能確定；3、以下方程中有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的是〔〕A、3x2－x－1=0;B、x2－2x－1=0;C、9x2=4〔3x－1〕;D、x2＋7x＋15=0.三、用公式法解方程(1)2x2-x-1=0;(2)4x2-3x+2=0;(3)x2+15x=-3x;(4)x2+x-6=0;(5)3x2-6x-2=0;(6)4x2-6x=0〔四〕“十字相乘法〞一、用“十字相乘法〞對(duì)某些特殊的多項(xiàng)式因式分解例1計(jì)算解：反過來我們就得到因式分解的結(jié)果：。我們把這個(gè)過程用以下劃十字的形式來反映：把二次項(xiàng)拆成，分別寫在十字交叉的左邊上下兩角，把常數(shù)項(xiàng)4拆成，寫在右邊上下兩角。上下兩數(shù)可適當(dāng)換位，使交叉相乘的和等于一次項(xiàng)！∴練習(xí)一用“十字相乘法〞把以下多項(xiàng)式分解因式：〔1〕=〔2〕=〔3〕=〔4〕〔5