浙江省溫州市浙南名校聯(lián)盟2021-2022學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題含答案

2021學年第二學期溫州浙南名校聯(lián)盟期末聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設是虛數(shù)單位，，則實數(shù)（）A. B. C. D.2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.3.若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐表面積與側(cè)面積的比為（）A. B. C. D.4.若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.6 B. C. D.5.已知直線與圓有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A B. C. D.6.已知，求的值為（）A. B. C. D.7.在二項式的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的第項系數(shù)為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則（）A.1 B.4 C.16 D.64二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知數(shù)據(jù)平均數(shù)為，方差為.由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則（）A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B.新數(shù)據(jù)的方差是C.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 D.新數(shù)據(jù)的標準差是10.已知向量，，則下列命題不正確的是（）A.若，則B.若在上的投影向量為，則向量與夾角為C.與共線的單位向量只有一個為D.存，使得11.在等腰梯形中，，且，以下選項正確的為（）A.B.等腰梯形外接圓的面積為C.若雙曲線以為左右焦點，過兩點，則其離心率為D.若橢圓以為左右焦點，過兩點，則其離心率為12.如圖，在棱長為正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結(jié)論中，正確的有（）A.存在點，使得平面B.存在點，使得直線與直線所成的角為C.存在點，使得三棱錐的體積為D.不存在點，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線所成的角三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則___________.14.拋物線的焦點為，準線為是拋物線上過焦點的一條直線，且傾斜角為.求線段的值是___________.15.設函數(shù)，其中，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是__________．16.在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，組成一個新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個數(shù)列的一次“拓展”.先將數(shù)列1，2進行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到數(shù)列；第次拓展得到數(shù)列.設，其中___________，___________.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足（1）記，寫出，并求出數(shù)列通項公式；（2）求數(shù)列的前2022項和.18.第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月在北京市和張家口市聯(lián)合舉行.甲?乙是單板滑雪坡面障礙技巧項目的參賽選手，二人在練習賽中均需要挑戰(zhàn)3次某高難度動作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種.（1）甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為.設為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）乙在第一次挑戰(zhàn)時，成功的概率為，受心理因素影響，從第二次開始，每次成功的概率會發(fā)生改變，其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加；若前一次失敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0.1.求乙在3次挑戰(zhàn)中有且只有2次成功的條件下，第三次成功的概率.19.請從下面三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并作答.①；②；③.已知的內(nèi)角的對邊分別是，且___________.（1）求角；（2）若點為的中點，且，試判斷的形狀.注：如果選擇多個條件，按第一個解答計分.20.如圖，三棱錐中，平面平面，，點分別是棱的中點，點是的重心.（1）證明：平面；（2）若為正三角形，求平面與平面夾角的余弦值.21.在一張紙上有一圓，定點，折疊紙片上的某一點恰好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設折痕與直線的交點.（1）證明：為定值，并求出點的軌跡的軌跡方程；（2）若曲線上一點，點分別為在第一象限上的點與在第四象限上的點，若，求面積的取值范圍.22.已知（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2021學年第二學期溫州浙南名校聯(lián)盟期末聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設是虛數(shù)單位，，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算法則化簡可得結(jié)果.【詳解】，故.故選：D.2.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用補集的定義可得正確的選項．【詳解】由補集定義可知：或，即，故選：D．3.若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個圓錐表面積與側(cè)面積的比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用圓的性質(zhì)可以列弧長與圓心角的等式，即可求出底面圓半徑，再分別算出圓錐表面積與側(cè)面積即可得到比值【詳解】由題，，，，故故選：C4.若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，則，化簡后利用基本不等式可求得其最小值【詳解】因為正數(shù)滿足，所以，所以，當且僅當，即時取等號，故選：C5.已知直線與圓有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直線與圓的位置關(guān)系列出不等式求解即可得答案.【詳解】解：因為直線與圓有兩個不同的交點，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：B.6.已知，求的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡求解【詳解】故選：A7.在二項式的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的第項系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，則，分析求解即可.【詳解】由的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大可知，則的展開式的通項為，則展開式中的第項為，系數(shù)為，故選：B．8.已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則（）A.1 B.4 C.16 D.64【答案】C【解析】【分析】令，利用導數(shù)研究單調(diào)性，得到有一解，即.有兩解且，即.把轉(zhuǎn)化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入即可求解.【詳解】令，則.所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.由題意必有兩個根，且.由根與系數(shù)的關(guān)系有：，.由圖可知，有一解，即.有兩解且，即.所以=16.故選：C二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則（）A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B.新數(shù)據(jù)的方差是C.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 D.新數(shù)據(jù)的標準差是【答案】AD【解析】【分析】由平均數(shù)與方差的計算公式判斷【詳解】由題意得，由平均數(shù)與方差公式得的平均數(shù)是，方差是，標準差是，故AD正確，BC錯誤故選：AD10.已知向量，，則下列命題不正確的是（）A.若，則B.若在上投影向量為，則向量與夾角為C.與共線的單位向量只有一個為D.存在，使得【答案】BCD【解析】【分析】利用平面垂直的坐標表示可判斷A選項；利用投影向量的定義求出與夾角，可判斷B選項；利用與共線的單位向量為，可判斷C選項；由可知、方向相反，結(jié)合共線向量的坐標表示可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，則，因為，若，則，不合乎題意.所以，，所以，，即，A對；對于B選項，由已知可得，，在上的投影向量為，則，因為，則，B錯；對于C選項，與共線的單位向量為，故與共線的單位向量為和，C錯；對于D選項，由B選項可知，若存在存在，使得，則、方向相反，則，這與矛盾，D錯.故選：BCD.11.在等腰梯形中，，且，以下選項正確的為（）A.B.等腰梯形外接圓的面積為C.若雙曲線以為左右焦點，過兩點，則其離心率為D.若橢圓以為左右焦點，過兩點，則其離心率為【答案】ACD【解析】【分析】過點作，過點作，交于點、，即可求出線段的長度，從而求出，利用勾股定理逆定理可得，即可得到等腰梯形外接圓的直徑即為，即可判斷B，根據(jù)數(shù)量積的定義及運算律判斷A，根據(jù)橢圓、雙曲線的定義判斷C、D；【詳解】解：過點作，過點作，交于點、，因為，，，所以，所以，則，，所以，所以，即，同理可得，所以等腰梯形外接圓的直徑即為，所以外接圓的面積為，故B錯誤；所以，故A正確；對于C：若雙曲線以為左右焦點，過兩點，所以，所以，所以離心率，故C正確；對于D：若橢圓以為左右焦點，過兩點，所以，所以，所以離心率，故D正確；故選：BCD12.如圖，在棱長為的正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結(jié)論中，正確的有（）A.存在點，使得平面B.存在點，使得直線與直線所成的角為C.存在點，使得三棱錐的體積為D.不存在點，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線所成的角【答案】ACD【解析】【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項正誤.【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、，設，即點，其中.對于A選項，假設存在點，使得平面，，，，則，解得，故當點為線段的中點時，平面，A對；對于B選項，，，由已知可得，則，B錯；對于C選項，，點到平面的距離為，則，解得，C對；對于D選項，，，設平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，由圖可得，，，，因為，，則，、，且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，D對.故選：ACD【點睛】方法點睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義可得出關(guān)于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】對任意的，，故函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得.故答案為：.14.拋物線的焦點為，準線為是拋物線上過焦點的一條直線，且傾斜角為.求線段的值是___________.【答案】16【解析】【分析】首先求出拋物線的焦點坐標，即可求出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，再根據(jù)焦半徑公式計算可得；【詳解】解：拋物線的焦點坐標為，因為直線過點，且傾斜角為，所以直線的方程為，設、，由，消去整理得，所以，所以；故答案為：15.設函數(shù)，其中，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】令，h（x）＝ax，求出后畫出、的圖象，數(shù)形結(jié)合建立不等式組，即可得解.【詳解】存在唯一整數(shù)，使得，即存在唯一整數(shù)，使得令，，則，∴當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；而；當時，，所以且當時，因為存在唯一的整數(shù)x0使得．當直線與相切時，設切點為，則切線的斜率為，又直線過原點，所以此時由切點再切線上，可得，解得所以所以當直線與相切時，因為時，，時，所以，則，此時不滿足條件.所以結(jié)合圖形知：當時，有無數(shù)多個整數(shù)x0使得，故不滿足題意.又，由圖可知當直線在與之間時，滿足條件的整數(shù)x0只有，所以滿足條件的的范圍是：故答案為：16.在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，組成一個新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個數(shù)列的一次“拓展”.先將數(shù)列1，2進行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到數(shù)列；第次拓展得到數(shù)列.設，其中___________，___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進行推理運算即可．【詳解】解：由題意可知，第1次得到數(shù)列1，3，2，此時，第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時，第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時，第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時，第次得到數(shù)列1，，，，，，2，此時，由上述列出的數(shù)列可得：，所以，所以，故答案為：；；四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足（1）記，寫出，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前2022項和.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的定義求得，求出，由等比數(shù)列通項公式可得結(jié)論；（2）由得，，然后用并項求和法結(jié)合等比數(shù)列前項和公式計算．【小問1詳解】，又【小問2詳解】，則18.第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月在北京市和張家口市聯(lián)合舉行.甲?乙是單板滑雪坡面障礙技巧項目參賽選手，二人在練習賽中均需要挑戰(zhàn)3次某高難度動作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種.（1）甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為.設為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（2）乙在第一次挑戰(zhàn)時，成功的概率為，受心理因素影響，從第二次開始，每次成功的概率會發(fā)生改變，其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加；若前一次失敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0.1.求乙在3次挑戰(zhàn)中有且只有2次成功的條件下，第三次成功的概率.【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學期望：（2）【解析】【分析】（1）由二項分布概率公式求解（2）由條件概率公式求解【小問1詳解】由題意得，則，，，則的分布列為：0123【小問2詳解】設“乙3次挑戰(zhàn)中有且只有2次成功”，“乙在3次挑戰(zhàn)中第三次成功”19.請從下面三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并作答.①；②；③.已知的內(nèi)角的對邊分別是，且___________.（1）求角；（2）若點為的中點，且，試判斷的形狀.注：如果選擇多個條件，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）等邊三角形【解析】【分析】（1）選①，利用正弦定理角化邊，再結(jié)合余弦定理即可求，即可求角；選②③，利用正弦定理邊化角，再進一步利用三角函數(shù)和公式，，化簡等式即可求，即可求角；（2）法一，構(gòu)建圓內(nèi)接，證明中線剛好過圓心，從而可判斷的形狀；法二，由余弦定理，列出關(guān)于的方程，再結(jié)合，可解出，又由，即可解出，即可判斷的形狀；【小問1詳解】選①，，由正弦定理得，結(jié)合余弦定理，，又，；選②，，由正弦定理得，，，，又，，，；選③，，，，，，，，；【小問2詳解】法一，如下圖，圓O內(nèi)接正及，，易得，由圓的性質(zhì)易得，又，故只有當C與E重合時，，故為正三角形法二，由題意可知，.在中，，即.在中，，即.因為，所以，所以，所以，得，所以為等邊三角形.20.如圖，三棱錐中，平面平面，，點分別是棱的中點，點是的重心.（1）證明：平面；（2）若為正三角形，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理證明（2）建立空間直角坐標系，由空間向量求解【小問1詳解】連接，連接并延長交于點，則點為的中點，從而點分別是棱的中點，又平面平面，平面平面.又平面，平面平面，又平面平面.【小問2詳解】連接是的中點，，平面平面，平面平面，平面平面.連接并延長交于點，則為的中點，連接，則平面.為正三角形同理可得面，則如圖建立空間直角坐標系設.，則.，設平面的一個法向量為，則，可取，又平面的一個法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.在一張紙上有一圓，定點，折疊紙片上的