沖刺2022屆高考物理大題限時集訓(xùn)07 萬有引力與航天（解析）

沖刺2022屆高考物理大題限時集訓(xùn)

專題07萬有引力與航天

【例題】2021年10月16H,我國成功發(fā)射了神舟十三號載人飛船，與空間站組合體完成自主

快速交會對接，3名航天員翟志剛、王亞平、葉光富成功送入了天和核心艙，他們將在軌駐留6個

月，任務(wù)主要目標為驗證中國空間站建造相關(guān)技術(shù)，為我國空間站后續(xù)建造及運營任務(wù)奠定基礎(chǔ)。

已知神舟十三號與空間站組合體完成對接后在軌道上運行，可視為勻速圓周運動，它們飛行〃圈

所用時間為人已知它們的總質(zhì)量為加，它們距地面的高度為力，地球半徑為R,引力常量為G。

求：

(1)神舟十三號與空間站組合體對接后，地球?qū)λ鼈兊娜f有引力B

(2)地球的質(zhì)量M；

(3)地球表面的重力加速度g。

【解析】

(1)組合體繞地球運動的周期

T=-

則所受的萬有引力為

(2)根據(jù)萬有引力等于向心力

解得地球的質(zhì)量

M=%?(R+A)3

Gt

(3)根據(jù)

解得

GM4萬(H+/2)3

8=~^=~^

1.衛(wèi)星的發(fā)射及運行

華故黃金代換式）

忽略自轉(zhuǎn)：G^=mg,GM=gR2（

考慮自轉(zhuǎn)

在地面附

兩極：G^=

近靜止二mg

赤道：耨二

衛(wèi)星的第一宇宙速度：v=yl^-=y[gR=l.9km/s

發(fā)射

(GM1

man—^an—‘一?！俊?c/

v2GM1

（天體）=[2產(chǎn)不

Mm「/

衛(wèi)星在圓G,_Fn_<》

2[GMI

軌道上運

行4TI2/4K2r3小

Uyy—

越高越慢，下【有T與r變化一致

（1）由低軌變高軌，瞬時點火加速，穩(wěn)定在高軌道上時速

度較小、動能較小、機械能較大；由高軌變低軌，反之.

（2）衛(wèi)星經(jīng)過兩個軌道的相切點，加速度相等，外軌道的

變軌

速度大于內(nèi)軌道的速度.

（3）根據(jù)開普勒第三定律，半徑（或半長軸）越大，周期

越長.

2.天體質(zhì)量和密度的計算

已知g（或可

求

也

心重力加

一以測g）和星

天

的

體一速度法

球半徑/?

和

質(zhì)代己P=^—

密

-3度

3

衛(wèi)星環(huán)已知r（或0）.以4小/

M=B求密度

繞法和軌道半徑一

3.雙星問題

模型概兩星在相互間引力作用下都繞它們連線上的某一點做勻速圓

述周運動

角速度（周期）相等

各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提

向心力...Gm17772Gm\mi

供/—m\a）?ri,p—mico7n

特點

(1)r\+n=l

軌跡半徑關(guān)系

(2)m\r\—m2n

.4兀2尸

總質(zhì)量mi+m2—G戶

【變式訓(xùn)練】2020年12月17日，嫦娥五號攜帶了4斤的月球土壤樣本返回地球。

2030年中國計劃實現(xiàn)載人登月。到那時候我國宇航員可以在月球上進行一系列的物理實驗。例如:

在月球表面附近自八高處以初速度%水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為乙。已知月球半徑

為R，萬有引力常量為G,不考慮月球自轉(zhuǎn)影響。由以上的數(shù)據(jù)可求：

（1）月球的質(zhì)量。

（2）若在月球表面附近上發(fā)射一顆衛(wèi)星，求衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運動的周期。

【答案】（1）GI3.（2）%Vh

【解析】

（1）對平拋運動，則

乙=卬

,12

h=2gt

對月球表面的物體

G-^=mg

解得

2府

g=F

GI}

（2）對月球表面的衛(wèi)星

，乙jl、2n

成＞（?。?R=

解得

7衛(wèi)陛

v07人

1.北京時間2021年5月19日12時（）3分，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征四號”乙運載火

箭，成功將“海洋二號”衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功。已知衛(wèi)星入軌后繞地球做

勻速圓周運動的軌道半徑為人運行周期為T,地球表面的重力加速度為g,引力常量為G。求:

（1）“海洋二號”做勻速圓周運動的向心加速度的大小。；

（2）地球的半徑R。

【答案】（1）產(chǎn)「；（2）

【解析】

（1）衛(wèi)星入軌后繞地球做勻速圓周運動，根據(jù)勻速圓周運動公式

聯(lián)立解得

（2）設(shè)地球質(zhì)量為"，地球的半徑R,地球表面的重力加速度為g,根據(jù)萬有引力提供向心力

在地球表面

聯(lián)立解得

2.2021年2月10日，我國“天問一號”火星探測器順利進入環(huán)火軌道。已知“天問一號”繞火

星做勻速圓周運動的周期為T,距火星表面的高度為〃，火星的半徑為R,引力常量為G。求：

（1）火星的質(zhì)量M；

（2）火星表面的重力加速度g'的大小。

4/(R+〃y

【答案］(1)—GF—；(2)一祈一

【解析】

(1)對探測器，根據(jù)萬有引力提供向心力

G箭TO

解得

_4/(R+〃)3

GT2

(2)在火星表面，萬有引力等于重力

萬Mm,,

G-^r=mg

解得

4萬2(口+33

8一~-

3.如圖所示，我國北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B在同一軌道平面內(nèi)均繞地心。做逆時針方

向的勻速圓周運動。若衛(wèi)星A的運動周期為T,衛(wèi)星B的軌道半徑為衛(wèi)星A軌道半徑的2倍。

從某次衛(wèi)星A、B距離最近時開始計時，求0、A、B三者間第一次和第二次構(gòu)成直角三角形分別

經(jīng)歷的時間。

【解析】

設(shè)衛(wèi)星A的軌道半徑為凡衛(wèi)星B周期為廠，由萬有引力定律和牛頓第二定律可得

G—腸鬼?二〃22(—萬2)DR

R2AT

/24、2cn

G—\=m(—yx2R

(2H)2bBV

由題意可知，當NOAB=9ff時，0,A,B三者第一次構(gòu)成直角三角形，此時44°B=6(X,如圖所小

設(shè)經(jīng)過的時間為；，有

*乃24\冗

(于一亍涓=1

聯(lián)立解得

同理，當4。8=90°時，O,A,B三者第二次構(gòu)成直角三角形，設(shè)經(jīng)過時間為為，有

2n2乃、71

(---X2=5

解得

4.“天舟一號”貨運飛船于2017年4月20日在海南文昌航天發(fā)射中心成功發(fā)射升空，完成了與

天宮二號空間實驗室交會對接。已知地球質(zhì)量為萬有引力常量為G,將地球視為半徑為R、

質(zhì)量均勻分布的球體。

(1)求飛船在距地面高度為h的圓軌道運行時線速度的大小V；

(2)已知地球的自轉(zhuǎn)周期為T,求將質(zhì)量為m的飛船停放在赤道上時飛船受到重力的大小G觥

(3)海南文昌航天發(fā)射場是我國的低緯度濱海發(fā)射基地，相比高緯度發(fā)射基地，發(fā)射相同的同步

軌道靜止衛(wèi)星可節(jié)省燃料?，請你從能量的角度說明可能的原因是什么(寫出一條即可)。

2

IGMGMm4乃n

4~~----z-----m—r—R

【答案】⑴YR+J⑵六T-.(3)見解析

【解析】

(1)根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有

GMmv2

-----------=m--------

(R+h)2R+h

解得

GM

V=J----

NR+h

(2)根據(jù)萬有引力定律及向心力公式，有

_GMm

4儲

HIJ

居!=峪+G辨

解得

_GMm4/

G船=下--"?亍-R

(3)在任何地點發(fā)射衛(wèi)星，需要達到的環(huán)繞速度是相同的，衛(wèi)星在地球表面上的不同緯度，隨地

球自轉(zhuǎn)，由于角速度相同，依據(jù)

%=5

低緯度r大，則vo大，衛(wèi)星具有的初動能就較大，因此節(jié)省燃料

5.已知地球質(zhì)量為M,半徑為R,自轉(zhuǎn)周期為T,引力常量為G。如圖所示，A為在地面附近繞

地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，8為地球的同步衛(wèi)星。

(1)求衛(wèi)星A運動的線速度、周期及向心加速度的大小

(2)求衛(wèi)星8到地面的高度〃。

[GM.(4乃WGM.]GMT-

【答案】⑴7R;VGM.R-(2)74乃-

【解析】

(1)對衛(wèi)星A,根據(jù)萬有引力等于向心力可知

乒

VGM

GM

a=——

R2

(2)對同步衛(wèi)星衛(wèi)星6,其周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期r,則根據(jù)

cMm4//八，、

G----------=m——(/?+/?)

2

(R+〃)2T

解得

仁厘-R

V4萬~

6.中國“天舟一號”貨運飛船順利完成與“天宮二號”太空實驗室的自主快速交會對接試驗，此

次試驗將中國太空交會對接的兩天的準備時間縮短至6.5小時，為中國太空站工程后續(xù)研制建設(shè)

奠定更加堅實的技術(shù)基礎(chǔ)。圖是“天舟”與“天宮”對接過程示意圖，己知“天舟一號”與“天

宮二號”成功對接后，組合體沿圓形軌道運行。經(jīng)過時間r,組合體繞地球轉(zhuǎn)過的角度為仇地球

半徑為R,地球表面重力加速度為g,引力常量為G,不考慮地球自轉(zhuǎn)。求：

(1)地球質(zhì)量M；

(2)組合體運動的周期T；

(3)組合體所在圓軌道離地高度以

【解析】

(1)地球表面質(zhì)量為加。的物體所受重力等于萬有引力，即

①

解得

“吟②

(2)由題意可知組合體運動的角速度為

e

&=一

t③

則組合體運動的周期為

T27r2nt

T=《=W(4)

（3）設(shè)組合體質(zhì)量為如根據(jù)牛頓第二定律有

G"等伊訓(xùn)⑤

聯(lián)立②④⑤解得

n—<--；---K

ve2⑥

7.宇航員在某質(zhì)量分布均勻的星球表面，以速度竹）豎直上拋一質(zhì)量為根的物體（引力視為恒力,

阻力可忽略），經(jīng)過時間/落到地面。已知該行星半徑為R,引力常量為G,忽略星球自轉(zhuǎn)的影響,

求:

(1)該星球表面的重力加速度大小;

(2)該星球的質(zhì)量;

(3)該星球的密度。

【答案】⑴"與；⑵"警；⑷展焉

【解析】

（1）設(shè)行星表面的重力加速度為g，對■小球，有

解得

2%

g=-

（2）對行星表面的物體〃?，有

「Mm

6充='%

故行星質(zhì)量

（3）故行星的密度

M

0=廠

士兀R

3

可得

3%

p=------

2兀GtR

8.兩個靠的很近的天體繞著它們連線上的一點（質(zhì)心）做圓周運動，構(gòu)成穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)，雙星

系統(tǒng)運動時;其軌道平面存在著一些特殊的點，在這些點處，質(zhì)量極小的物體（例如人造衛(wèi)星）

可以與兩星體保持相對靜止，這樣的點被稱為“拉格朗日點”。一般一個雙星系統(tǒng)有五個拉格朗

日點。如圖所示，一雙星系統(tǒng)由質(zhì)量為M的天體A和質(zhì)量為m的天體B構(gòu)成，它們共同繞連線

上的0點做勻速圓周運動，在天體A和天體B的連線之間有一個拉格朗日點P,已知雙星間的

距離為L萬有引力常量為G,求：

（1）天體A做圓周運動的角速度及半徑；

r=lL

（2）若。點距離天體A的距離為3，則M與加的比值是多少？

?*?--、'?

'Ai;'Q\P\IB

_G（M+m）,

0=J-------。----m--L

【答案】（1）、L；M+m.（2）104：19

【解析】

（1）設(shè)。點距離天體A、B的距離分別為〃和-2,則

4+a=L

轉(zhuǎn)動的角速度為必對于天體A有

GMm..

———=Mrco2

1}1

對于天體B有

GMm

=mr(xr

~1T2

聯(lián)立可得

G(M+nr)

co=

-z?

m

4=-----LT

M+m

（2）在P點放置一個極小物體，設(shè)其質(zhì)量為加“，它與A、B轉(zhuǎn)動的角速度相同，對于小物體有

GMm.Gmm（、2,、

代值可得

M:m=104:19

9.2021年10月16日，神舟十三號載人飛船采用自主快速交會對接模式成功對接于天和核心艙

徑向端口，對接過程簡化如圖所示。神舟十三號先到達天和核心艙軌道正下方力=200米的第一停

泊點并保持相對靜止，完成各種測控后，開始沿地心與天和核心艙連線（徑向）向天和核心艙靠

近，到距離天和核心艙上=19米的第二停泊點短暫駐留，完成各種測控后，繼續(xù)徑向靠近，以很

小的相對速度完成精準的端口對接。對接技術(shù)非常復(fù)雜，故做如下簡化。假設(shè)地球是半徑為R。的

標準球體，地表重力加速度為g,忽略自轉(zhuǎn)；核心艙軌道是半徑為R的正圓；神舟十三號質(zhì)量為

nu,對接前組合體的總質(zhì)量為機2；忽略對接前后神舟十三號質(zhì)量的變化。

（1）神舟十三號安裝有幾十臺微動力火箭發(fā)動機，用以控制其各種平動和轉(zhuǎn)動，維持在第一停泊

點時，需要開啟某些發(fā)動機，求發(fā)動機所提供推力口的大小和方向；

（2）雖然對接時兩者相對速度很小，但如果不及時控制也會造成組合體偏離正確軌道，假設(shè)不考

慮轉(zhuǎn)動，設(shè)對接靠近速度為丫，求控制組合體軌道復(fù)位的火箭要對組合體做的功W。

組合體

F

19米停泊點

200米停泊點

*

神舟十三號

叫g(shù)&（R-4）一__肛”

【答案】（1）加一4>R」；推力方向從地心指向核心艙；（2）2（叫+如）

【解析】

（1）根據(jù)題意可知神舟十三號和核心艙以共同角速度繞地心做圓周運動，設(shè)此角速度為0,地球

質(zhì)量為M地，引力常量為G。在地球表面有

對核心艙根據(jù)向心力公式有

'R-

設(shè)推力方向從地心指向核心艙，對神舟十三號根