34函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的應(yīng)用

(1)定義3.4.1函數(shù)的最值最值的定義假設(shè)函數(shù)f〔x〕在其定義域[a，b]上的函數(shù)值滿足其中那么稱為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值。

3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.1函數(shù)的最值我們知道，延續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只能夠在區(qū)間內(nèi)的極值點和端點處得到．因此可直接求出一切能夠的極值點〔駐點及個別不可導(dǎo)點〕和端點處的函數(shù)值，比較這些數(shù)值的大小，即可得出函數(shù)的最大值和最小值。3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)引子3.4.1函數(shù)的最值假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)添加，那么函數(shù)的最大值和最小值分別是什么？?3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)引子3.4.1函數(shù)的最值如圖１所示，假設(shè)在上單調(diào)添加，那么函數(shù)的最小值是，最大值是。xyoab3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)引子3.4.1函數(shù)的最值假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)減少，那么函數(shù)的最大值和最小值分別是什么？?3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)引子3.4.1函數(shù)的最值如右圖所示，假設(shè)在上單調(diào)減少，那么函數(shù)的最小值是，最大值是。xyoab3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)引子3.4.1函數(shù)的最值在什么情況下函數(shù)的極大值一定是最大值，在什么情況下函數(shù)的極小值一定是最小值?3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)引子3.4.1函數(shù)的最值3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用假設(shè)延續(xù)函數(shù)在上僅有一個極大值而沒有極小值，那么此極大值就是在上的最大值，如右圖所示。xyoabx0f(x0)(2)引子3.4.1函數(shù)的最值3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用假設(shè)延續(xù)函數(shù)在上僅有一個極小值而沒有極大值，那么此極小值就是在上的最小值，如右圖所示。xyoabx0f(x0)(3)舉例3.4.1函數(shù)的最值3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用例１求函數(shù)在上的最值。解：由于令得駐點〔不合題意舍去〕由于比較各值，得函數(shù)的最大值為最小值為(3)舉例3.4.1函數(shù)的最值3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用例２求函數(shù)在上的最大值和最小值。解：由于顯然與是的不可導(dǎo)點，令，得駐點為，比較各值，得函數(shù)最大值為，最小值為。(4)訓(xùn)練題一3.4.1函數(shù)的最值3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用1.求函數(shù)在上的最大值和最小值。答案：最大值f〔-1〕=10，最小值f〔3〕=-22(1)舉例3.4.2最值在經(jīng)濟問題中的運用舉例3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用設(shè)某產(chǎn)品的總本錢函數(shù)為〔元〕〔ｑ為產(chǎn)品的產(chǎn)量〕，求當(dāng)產(chǎn)量為多少時，該產(chǎn)品的平均本錢最小，并求最小平均本錢？解：該產(chǎn)品的平均產(chǎn)品函數(shù)為令，即求得獨一駐點，所以在處獲得最小值，最小值為例３又由于3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)訓(xùn)練題二3.4.2最值在經(jīng)濟問題中的運用舉例1.設(shè)某產(chǎn)品的價錢與需求的關(guān)系為，總本錢函數(shù)〔元〕，求當(dāng)產(chǎn)量和價錢分別是多少時，該產(chǎn)品的利潤最大，并求最大利潤．答案：當(dāng)產(chǎn)品為250個單位，價錢為175元/單位時，利潤最大，最大利潤為16950元．(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用1.邊沿與邊沿分析定義3.2邊沿函數(shù)反映了函數(shù)在點處的變化率。設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，那么導(dǎo)函數(shù)稱為函數(shù)的邊沿函數(shù)。也稱為函數(shù)在處的邊沿函數(shù)值。3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用1.邊沿與邊沿分析由于，當(dāng)，時有因此，函數(shù)在點處的邊沿函數(shù)值的詳細意義是，當(dāng)在點處改動一個單位時，函數(shù)近似地改動個單位。3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)舉例3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用1.邊沿與邊沿分析例４求函數(shù)在點處的邊沿函數(shù)值。解:即邊沿函數(shù)值為14。它表示函數(shù)在處，當(dāng)改動一個單位時，函數(shù)近似地改動14個單位。由于所以3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用2.邊沿函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的運用邊沿需求的定義設(shè)需求函數(shù)在點處可導(dǎo)〔其中為需求量，為價錢〕，那么其邊沿函數(shù)稱為邊沿需求函數(shù)。簡稱邊沿需求。3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用邊沿供應(yīng)的定義假設(shè)供應(yīng)函數(shù)在點處可導(dǎo)〔其中為供應(yīng)量，為價錢〕，那么其邊沿函數(shù)稱為邊沿供應(yīng)函數(shù)。簡稱邊沿供應(yīng)。2.邊沿函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的運用3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用邊沿本錢的定義設(shè)本錢函數(shù)可導(dǎo)〔其中表示總本錢，表示產(chǎn)量〕，那么其邊沿函數(shù)稱為邊沿本錢函數(shù)，簡稱邊沿本錢。稱為當(dāng)產(chǎn)量為時的邊沿本錢。其經(jīng)濟意義為：當(dāng)產(chǎn)量到達時，假設(shè)增減一個單位產(chǎn)品，那么本錢相應(yīng)增減個單位。2.邊沿函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的運用3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用邊沿收益的定義設(shè)收益函數(shù)可導(dǎo)〔其中表示收益，表示商品銷售量〕，那么其邊沿函數(shù)稱為邊沿收益函數(shù)，簡稱邊沿收益。稱為當(dāng)商品銷售量為時的邊沿收益。經(jīng)濟意義：銷售量到達時，假設(shè)銷售量增減一個單位產(chǎn)品，那么收益相應(yīng)增減個單位。2.邊沿函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的運用3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用邊沿利潤的定義設(shè)利潤函數(shù)可導(dǎo)，那么其邊沿函數(shù)稱為邊沿利潤。稱為當(dāng)產(chǎn)量為時的邊沿利潤。經(jīng)濟意義：當(dāng)產(chǎn)量到達時，假設(shè)增減一個單位產(chǎn)品，那么利潤相應(yīng)增減個單位。2.邊沿函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的運用3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)舉例3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用2.邊沿函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的運用例５設(shè)總本錢函數(shù)〔元〕，求：⑴邊沿本錢函數(shù)；⑵消費50個單位時的平均單位本錢，和邊沿本錢值，并解釋后者的經(jīng)濟意義。⑵q=50時的平均單位本錢為⑴邊沿本錢函數(shù)為解：q=50時的邊沿本錢為經(jīng)濟意義：當(dāng)消費到達50個單位產(chǎn)品時，假設(shè)再多消費1個產(chǎn)品所最加的本錢為17.5元。3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(3)訓(xùn)練題三3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用2.邊沿函數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的運用某工廠日產(chǎn)才干最高為1000噸，每日產(chǎn)品的總本錢C〔元〕是日產(chǎn)量x〔噸〕的函數(shù)：

求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時的邊沿本錢，并解釋經(jīng)濟意義。答案：邊沿本錢：經(jīng)濟意義是：當(dāng)產(chǎn)量是100噸時，每添加1噸產(chǎn)量，本錢添加9.5元。3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用3.彈性函數(shù)定義3.3設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，稱極限為函數(shù)的彈性函數(shù)，記為，即3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用3.彈性函數(shù)在點處，彈性函數(shù)值稱為函數(shù)在點處的彈性值，簡稱彈性。它表示在點處，當(dāng)變動1%時，的值近似地變動。3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)舉例3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用3.彈性函數(shù)例６設(shè)函數(shù)，求其彈性函數(shù)以及在處的彈性。解：由于所以彈性函數(shù)于是，3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用4.需求彈性和供應(yīng)彈性定義3.4設(shè)需求函數(shù)在處可導(dǎo)，那么稱為該商品在處的需求彈性，記作或，即3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(1)定義3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用4.需求彈性和供應(yīng)彈性定義3.5設(shè)供應(yīng)函數(shù)在處可導(dǎo)，那么稱為該商品在處的供應(yīng)彈性，記作或，即3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)舉例3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用4.需求彈性和供應(yīng)彈性例７設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求⑴需求彈性函數(shù)；⑵時的需求彈性，并闡明其經(jīng)濟意義；⑶時，價錢上漲1%，其總收益添加還是減少？變化的幅度是多少？⑷當(dāng)取多少時，總收益最大？3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)舉例3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用4.需求彈性和供應(yīng)彈性⑴需求彈性函數(shù)：解：由于需求函數(shù)為，總收益函數(shù)為⑵當(dāng)p=4時的需求彈性這闡明，在p=4時，價錢每上漲1%，那么需求減少0.54%；而價錢假設(shè)下降1%,那么需求添加0.54%。3.4函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中的運用(2)舉例3.4.3導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的運用4.需求彈性和供應(yīng)彈性解：⑶當(dāng)p=4時的收益彈性：所以，當(dāng)P=4時，價錢上漲1%，總收益添加0.46