專題2.11 等腰三角形的軸對稱性（分層練習）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題2.11等腰三角形的軸對稱性（分層練習）（基礎(chǔ)練）一、單選題1．等腰三角形的兩邊長分別是4和8，則它的周長是（

）A．16 B．20 C．16或20 D．182．若等腰三角形的頂角為，則它的一個底角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，以下結(jié)論：（1）AD⊥BC；（2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知、是兩格點，如果也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點的個數(shù)是（

）A．10 B．6 C．7 D．85．如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°圖中的等腰三角形個數(shù)是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．如圖，在中，，，交于點，，則的長是（）A．12 B．10 C．8 D．67．將一平板保護套展開放置在水平桌面上，其側(cè)面示意圖如圖所示，若，，則的長為（

）A． B． C． D．8．下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（

）A．有一個角是45度的直角三角形B．有兩個角相等的三角形C．有一個角是40度，另一個角是100度的三角形D．有一個角是30度的直角三角形9．如圖，在中，平分，平分，，，，則周長為（

）

A．12 B．14 C．16 D．1810．如圖，是的角平分線，，垂足為，交的延長線于點，若恰好平分，．給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論共有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題11．等腰三角形的一邊等于3，一邊等于6，則它的周長等于．12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則其底角為度．13．若，則以、為邊長的等腰三角形的周長為．14．如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O．若∠B＝39°，則∠AOC＝°．15．如圖，在中，AB＝AC，AD，CE是的兩條中線，AD＝5，CE＝6，P是AD上一個動點，BP＋EP的最小值是．16．如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝7cm，DE＝3cm，求CE的長為cm．17．如圖，在中，和的角平分線相交于點，過點作交于點，交于點，若，，，則的周長為．18．如圖，在中，，分別是和的平分線，，交于點D，于點F．若，，，則的面積為．三、解答題19．已知：中，邊上一點D．求作：等腰，使為等腰的底邊，且點P到、兩邊的距離相等．（保留作圖痕跡，不必寫作法）20．如圖，在中，，點在邊上，點在邊上，連接，．已知，．（1）求證：≌；（2）若，，求的長．21．如圖，中，，點P在上，，，垂足分別為D，E，已知．(1)試說明；(2)求BE多長？22．在中，，平分，于，，點是邊的中點，連接，交于點，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)求的度數(shù)．23．已知在平面直角坐標系內(nèi)的位置如圖，，，、的長滿足關(guān)系式．（1）求、的長；（2）求點的坐標；（3）在軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形．若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．24．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、CA的延長線于點E、F．（1）求證：AE＝CF；（2）求證：△EPF是等腰直角三角形；（3）求證：∠FEA＋∠PFC＝45°；（4）求證：S△PFC－S△PBE＝S△ABC．參考答案1．B【分析】分兩種情況：當4為腰長，8為底邊長時，不符合三角形三邊關(guān)系，該三角形不存在；當8為腰長，4為底邊長時，符合三角形三邊關(guān)系，即而可以求出周長．【詳解】解：分兩種情況：當4為腰長，8為底邊長時，∵，不符合三角形三邊關(guān)系，∴該三角形不存在；當8為腰長，4為底邊長時，∵，符合三角形三邊關(guān)系，∴該三角形周長為：；故選：B．【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵等腰三角形的頂角為，∴一個底角為，故選：C．【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握“等邊對等角”是解題關(guān)鍵．3．D【分析】由等腰三角形的等邊對等角判斷（1），等腰三角形的三線合一，可判斷（2），（3），從而可得答案．【詳解】解：如圖，為的中點，平分故（1）（2）（3）正確．故選：【點撥】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的等邊對等角，三線合一是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】分AB是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解．【詳解】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時，符合條件的C點有4個；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．故選：D．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定．解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形．分類討論思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．5．B【分析】先計算出∠BDC，再計算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法對圖形中的三角形進行判斷．【詳解】∵∠A=36°，∠DBC=36°，∴△ABD為等腰三角形，∵∠BDC=∠A+∠DBC=26°+36°=72°，而∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴△BDC為等腰三角形，∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°，∴∠ABC=∠C，∴△ABC為等腰三角形．故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．6．D【分析】得，，，可得，由，，可知等腰三角形，，，是等腰三角形，即，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，得，，，∴，∵，，∴等腰三角形，，∴，∵，即，∴，∴是等腰三角形，即，∴，故選：．【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的特性，掌握等腰三角形的性質(zhì)和含特殊角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】根據(jù)等角對等邊進行判斷即可．【詳解】解：，，．故選：A．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等角對等邊判定三角形為等腰三角形是解本題的關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)選項描述，判斷出A、B、C所說的圖形均是等腰三角形，結(jié)合等腰三角形是軸對稱圖形即可得出答案．【詳解】A.有一個角是45度的直角三角形是等腰直角三角形，是軸對稱圖形，不符合題意；B.有兩個角相等的三角形是等腰三角形，是軸對稱圖形，不符合題意；C.有一個角是40度，另一個角是100度的三角形，第三個角也為40度，其是等腰三角形，是軸對稱圖形，不符合題意；D.有一個角是30度的直角三角形，另一個角是60度，不是等腰三角形，不是軸對稱圖形，符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了軸對稱圖形的定義，解答本題的關(guān)鍵是判斷出每個選項涉及的三角形的特點．9．B【分析】由平分，平分，過點作，易得與是等腰三角形，即可得的周長等于，又由，，即可求得答案．【詳解】解：平分，平分，，，，，，，，，，，，的周長為：．故選：B．【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，整體思想的利用和有效的進行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．10．B【分析】首先證明，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷②③正確，由，推出，，故①正確；由，推出，故④錯誤．【詳解】解：，，平分，，，，是的角平分線，，，故②③正確，在與中，，，，，故①正確；，，故④錯誤；故答案為：①②③．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確使用等腰三角形的性質(zhì)三線合一，屬于中考?？碱}型．11．15【分析】根據(jù)等腰三角形的定義及構(gòu)成三角形的條件即可求解．【詳解】解：若腰為3時，則，故不能構(gòu)成三角形，則腰只能為6，則周長為：，故答案為：15．【點撥】本題考查了等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的條件，熟練掌握等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵．12．或【分析】根據(jù)題意可知等腰三角形需要分類討論，分為銳角三角形和鈍角三角形，畫出圖形解答即可．【詳解】解：①如圖1所示，當?shù)妊切问卿J角三角形時，根據(jù)題意，，又∵BM是AC邊上的高，∴，∴，∴②如圖2，當?shù)妊切问氢g角三角形時，根據(jù)題意，，∵EN是DF邊上的高∴，∴，∴故答案為或【點撥】本題考查了等腰三角形的分類討論問題，涉及了三角形內(nèi)角和和外角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求出答案．13．17【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，再分情況討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得：，，①若是腰長，則底邊為7，三角形的三邊分別為3、3、7，∵，∴3、3、7不能組成三角形；②若是腰長，則底邊為3，三角形的三邊分別為7、7、3，能組成三角形，周長為：，∴以、為邊長的等腰三角形的周長為17，故答案為：17．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，絕對值和平方的非負性，以及三角形的三邊關(guān)系，難點在于要分類討論求解．14．78【分析】連接BO并延長至D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OB，OC=OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：連接BO并延長至D，∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，∴OA=OB，OC=OB，∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC，∴∠AOD=2∠OBA，∠COD=2∠OBC，∴∠AOC=2（∠OBA+∠OBC）=2∠ABC=78°，故答案為：78．【點撥】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，以及等邊對等角，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．15．6【分析】連接PC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD=CD，從而得出PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度．【詳解】解：如圖，連接PC，∵AB=AC，AD是的兩條中線，∴AD⊥BC，BD=CD，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE=6，故答案為：6【點撥】本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．16．4【分析】根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根據(jù)等角對等邊得出DF=BD，CE=EF，根據(jù)BD-CE=DE即可求得．【詳解】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD，EF=CE，∴EF=DF-DE=BD-DE=7-3=4，∴CE=4cm．故答案為4．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來推導(dǎo)證明是本題的特點．17．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，等量代換得，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得，同理可得，然后求出的周長，代入數(shù)據(jù)即可得解．【詳解】解：∵平分，平分∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長為：∵∴的周長為：．故答案為：．【點撥】本題考查了三角形、平行線、角平分線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)．18．【分析】過E作于M，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可求得，根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)易證，根據(jù)等角對等邊求得，從而求得，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：過E作于M，平分，，，，，平分，，，，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及等角對等邊的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．19．見解析【分析】作BD的垂直平分線和∠ACB的平分線，兩條線的交點即為點P，順次連接即可．【詳解】解：如圖所示：則即為所求.【點撥】本題考查了尺規(guī)作圖，解題關(guān)鍵是明確垂直平分線和角平分線的性質(zhì)及作法．20．（1）見解析；（2）2【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得：，利用全等三角形的判定定理證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，由圖形中各邊的關(guān)系計算即可得出．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：∵，∴，，∵，∴．【點撥】題目主要考查全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)，理解題意，結(jié)合圖形，熟練運用各個性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．(1)見解析，(2)2．【分析】（1）根據(jù)已知易得，再由，，利用同角的余角相等易得，進而證明；（2）由全等三角形性質(zhì)可知．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵，∴．在和中，，∴．（2）由（1）得，∴．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)利用同角的余角相等證明角相等是證明關(guān)鍵．22．(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，然后利用證明即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得，得，再由全等三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；（3）由等腰三角形的性質(zhì)得，，則，再由直角三角形的性質(zhì)得的度數(shù)．【詳解】（1）∵，平分，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴（2）∵，平分，∴，∴，由（1）知：，∴，∴（3）∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∵平分，∴，∵，點是邊的中點，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．23．（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，【分析】（1）由平方的非負性、絕對值的非負性解題；（2）作軸與點D，，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等性質(zhì)解題；（3）分三種情況討論，當當點P在x軸的負半軸時