專題2.3 勾股定理與幾何綜合（壓軸題專項講練）（浙教版）（解析版）

專題2.3勾股定理與幾何綜合【典例1】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒（1）出發(fā)2s后，求△ABP的周長；（2）求出t為何值時，△BCP為等腰三角形；（3）當點P運動到△ABC任意一條角平分線上時（不與頂點A、B、C重合），直接寫出t的值．【思路點撥】（1）利用勾股定理得出AC=8cm，進而表示出AP的長，由勾股定理求出PB，進而得出答案；（2）利用分類討論的思想和等腰三角形的特點及三角形的面積求出答案；（3）分三種情況討論，當點P恰好在∠ABC的角平分線上時，利用角平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出方程，解方程即可；當點P恰好在∠ACB的角平分線上時，利用面積法求得PBPA=34，據(jù)此可求解；當點【解題過程】（1）解：∵∠C=90°，AB=10cm∴由勾股定理得AC=10由題意得，出發(fā)2秒后，則CP=2cm，那么AP=6∵∠C=90°，∴由勾股定理得PB=210∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=6+10+210（2）解：若P在邊AC上時，BC=CP=6cm此時用的時間為6s，故t=6s時若P在AB邊上時，有三種情況：①BP=CB=6cm此時AP=4cm，P運動的路程為12所以用的時間為12s，故t=12s時②若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高CD，根據(jù)面積法，12∴CD=4.8cm根據(jù)勾股定理求得BD=6所以P運動的路程為18-2×3.6=10.8cm∴所以用的時間為10.8s，故t=10.8s時③若BP=CP時，則∠PCB=∠PBC，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC，∴PA=PB=5cm∴P的路程為13cm所以時間為13s，故t=13s時∴t為6s或10.8s或12s或13s時（3）解：點P恰好在∠ABC的角平分線上時，如圖所示，過點P作PG⊥AB于點G，∴PG=PC．在Rt△BPC與Rt△BPG中，∴Rt△BPC≌∴BG=BC=6cm∴AG=10-6=4cm設PC=x，則PA=(8-x)，在RtΔAPG中，即x2解得：x=3，∴當t=3s時，點P恰好在∠ABC當點P恰好在∠ACB的角平分線上時，作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．∵PC平分∠ACB，∴PE=PF，∴SΔ∴PA=4∴P的路程為967∴當t=967s時，點P當點P恰好在∠BAC的角平分線上，過P作PH⊥AB，

∵點P恰好在∠BAC的角平分線上，且∠C=90°，∴CP=HP，∴△ACP≌△AHP，∴AH=AC=8cm設CP=a，則BP=6-a，∴RtΔBHP中，B即22解得a=8∴P的路程為24-8∴當t=643s時，點P綜上所述，滿足條件的t的值為3s或967s或1．（2023春·浙江·九年級專題練習）已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi)，點C，D不關于AB對稱，∠ABC=∠ABD=30°，AB=2，AC=AD=2，則CD長為（

A．2或3-1 B．2或C．3-1或3+1 D．2【思路點撥】分類討論，①當點D和點C在直線AB同側(cè)時，過點A作AE⊥BD于點E．②當點D和點C在直線AB異側(cè)時，過點A作AM⊥BD于點M，AF⊥BC交BC延長線于點F，過點C作CN⊥BD于點N．分別根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【解題過程】解：分類討論，①當點D和點C在直線AB同側(cè)時，如圖，過點A作AE⊥BD于點E．∵∠ABC=30°，∠AEB=90°，∴AE=1∵在Rt△AEC中，AC=∴EC=A同理在Rt△AED中，可求DE=1，∴CD=EC+DE=2；②當點D和點C在直線AB異側(cè)時，如圖，過點A作AM⊥BD于點M，AF⊥BC交BC延長線于點F，過點C作CN⊥BD于點N，由作圖可知∠AFB=∠AMB=90°，∠ABC=∠ABD=30°，∴AF=AM=12AB=1∵在Rt△ADM中，AD=∴DM=A∴BD=DM+BM=1+3同理可求CF=1，∴BC=BF-CF=3∵∠CBA+∠ABD=60°，即∠CBN=60°，∠CNB=90°∴BN=12BC=∴DN=BD-BN=1+3在Rt△CDN中，CD=C綜上可知CD長為2或6．故選B．2．（2023春·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，過點A作AD⊥BA交BC于點D，過點D作DE⊥BC交AC于點E，則AE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AD的長，再求出EC的長，即可確定AE的長．【解題過程】解：∵AB=AC=6，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵AD⊥BA，∴∠BAD=90°，設AD=x，則BD=2x，根據(jù)勾股定理，可得62解得x=23或x=-2∴AD=23∵∠DAC=120°-90°=30°，∴∠C=∠DAC，∴DC=AD=23∵DE⊥BC，∴∠EDC=90°，設ED=m，則EC=2m，根據(jù)勾股定理，得m2∴m=2或m=-2（舍去），∴EC=2m=4，∴AE=6-4=2，故選：B．3．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為92，則BD2A．13 B．12 C．11 D．10【思路點撥】首先根據(jù)SAS證明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根據(jù)三角形的面積公式求出AD，根據(jù)勾股定理求出BD即可．【解題過程】解：由折疊得，AB=AE，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，AB=AE∠BAF=∠EAF∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴BF=A在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，設DE邊上的高線長為h，∴S△ADE即S△ADG∵S△AEG=1∴S△ADG∴9=1∴AD=6，∴FD=AD-AF=6-4=2，在Rt△BDF中，BF=3，F(xiàn)D=2，∴BD故選：A．4．（2023春·八年級單元測試）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BE平分∠DBC，M、N分別為射線BE、A．4 B．6 C．8 D．10【思路點撥】如圖，作N關于BE的對稱點N'，則MN=MN'，當C,M,N'三點共線時最短即CN'，當CN'⊥BF時最短，過點C作CF⊥BD，交BD的延長線于點F，即N'【解題過程】解：如圖，作N關于BE的對稱點N'，過點C作CF⊥BD，交BD的延長線于點F，過點D作DG⊥BC于點G∴MN=MN'，當C,M,N'三點共線時CM+MN最小即CN∵DG⊥BC，Rt△ABC是等腰直角三角形，∴△DGC是等腰直角三角形，∴DC=∵BD平分∠ABC，∴DA=DG∵AC=AB，設AD=a，則AB=AC=在Rt△ABD中，∵B∴8解得a∴BC=∵S∴CF=BC×DGBD===4=4故選A．5．（2023春·八年級課時練習）如圖，在等腰RtΔABC中，∠C=90°，AB=8，點D和E分別是BC和AB上兩點，連接DE，將△BDE沿DE折疊，得到△B'DE，點B'恰好落在AC的中點處，DE與A．22 B．10 C．5106【思路點撥】在Rt△BCB'中，求出BB'=210，設BD=x，則CD=42-x，B'D=x，在Rt△CDB'中，由勾股定理得x2=(42-x)2+(22)2，求得BD=522，在Rt△BDF中，求出DF=102，過點B'怍B'G⊥AB于點G，則AG=B'G=2，設BE=y，則GE=6-y，B'【解題過程】解∶由折疊可知，BD=B∵等腰Rt△ABC中，∠C=90∴BC=AC=42∵B'是AC∴CB在Rt△BCB'中，∴BF=10，設BD=x，則CD=42-x在Rt△CDB'中，∴∴x=52∴BD=52在Rt△BDF中，DF=B過點B'作B'G⊥AB于點∵∠A=45∴AG=∵A∴AG=B設BE=y，則GE=6-y，在Rt△B'GE中，∴∴x=10∴BE=在Rt△BEF中，EF∴EF∴EF=10∴ED=DF+EF=10故選∶C．6．（2023春·八年級課時練習）如圖，在紙片ΔABC中，AB=AC=12，∠B=30°，折疊紙片，使點B落在AC的中點D處，折痕為EF，則A．4935 B．103 C．113 D【思路點撥】過點D作AB的垂線，垂足為G，過D作CF的垂線，垂足為H，過A作BC的垂線，垂足為N，分別求出△DEA和△DFC的面積，利用S△DEF＝12×（S△ABC－S△DEA－S△DFC【解題過程】解：過點D作AB的垂線，垂足為G，∵∠BAC＝120°，∴∠GAC＝60°，∠GDA＝30°，∴AG＝12AD=14AC=3設AE＝x，則BE＝12－x＝DE，在Rt△DGE中，DE即12-x2解得：x＝185∴S△ADE＝12DG×AE＝12×過D作CF的垂線，垂足為H，過A作BC的垂線，垂足為N，∵∠B=30∴AN＝12AB＝6，BN＝122∴BC＝123設DF＝y(tǒng)，則CF＝123DH＝12CD=3，CH＝則有DH2+F解得：y=14則S△DFC＝12∴S△DEF＝12×（S△ABC－S△DEA－S△DFC＝1＝1＝49故選A．7．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，A點坐標為0，2，B是x軸上一點．以AB為腰，作等腰直角三角形ABC，∠ABC=90°，連接OC，則AC+OC的最小值為【思路點撥】如圖所示，過點C作CD⊥x軸于D，設點B的坐標為m，0m≥0，證明△AOB≌△BDC，得到BD=OA=2，CD=OB=m，進而求出點C的坐標為m+2，m，利用勾股定理得到OC+AC=m+22【解題過程】解：如圖所示，過點C作CD⊥x軸于D，設點B的坐標為m，∴∠AOB=∠BDC=90°，∵點A的坐標為0，∴OA=2，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴∠OBA+∠OAB=90°=∠DBC+∠OBA，∴∠OAB=∠DBC，∴△AOB≌△BDCAAS∴BD=OA=2，∴OD=OB+BD=m+2，∴點C的坐標為m+2，∴OC=m+22+∴OC+AC===2∴AC+OC的最小值可以看做在x軸上的一點到點-1，1和到點0，∴AC+OC的最小值=2由對稱性可知，當m<0，同理可證AC+OC的最小值=25故答案為：258．（2023春·八年級課時練習）如圖，長方形ABCD中，AB=5,AD=6，點P是射線AD上一點，將△ABP沿BP折疊得到△A'BP，點A'恰好落在BC的垂直平分線l上（直線l也是AD的垂直平分線），線段【思路點撥】設直線l與AD、BC交于點E、F，分兩種情況討論：當點P在線段AE上時，設，設AP=A'P=x,PE=3-x【解題過程】解：根據(jù)題意，四邊形ABCD為長方形，直線l是BC、AD的垂直平分線，則AB=CD=5,AD=BC=6,BC⊥l,AD⊥l，AE=1設直線l與AD、BC交于點①如下圖，當點P在線段AE上時，設AP=A在Rt△BFA∵BF=12BC=3，B∴FA∵EF=AB=5，∴A'∴在Rt△A'PE即有x2=(3-x)2即AP=5②如下圖，當點P在射線AD上時，設AP=A在Rt△BFA∵BF=12BC=3，B∴FA∵EF=AB=5，∴A'∴在Rt△A'PE即有y2=(y-3)2即AP=15．綜上所述，線段AP的長為53或15故答案為：53或159．（2023春·八年級課時練習）如圖，在ΔABC中，BD平分∠ABC，∠A=3∠C，【思路點撥】作出如圖的輔助線，證明ΔABD≌ΔEBD(SAS)，推出∠EAC=∠C，AE=EC，再證明BD是AE垂直平分線，利用勾股定理和面積法求得BG和AF【解題過程】解：在BC上取點E，使BE=AB，作AF⊥BC于點F，連接AE交BD于點G，如圖，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD又∵BE=AB，∴ΔABD≌∴AD=ED，∠BAD=∠BED=3∠C，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠C+∠EAC=2∠EAC+∠C，∴3∠C=2∠EAC+∠C，即∠EAC=∠C，∴AE=EC，∵AB=6，∴AE=EC=10-6=4，∵BD平分∠ABC，BE=AB，∴BD是AE的垂直平分線，∴AG=EG=2，∴BG=A∵12∴AF=823∴CF=CE+EF=16∴AC=C∵BD平分∠ABC，∴點D到AB和BC邊上的距離相等，∴SΔABDS∴AD=3故答案為：6．10．（2023春·八年級課時練習）如圖，長方形ABCD中，AD=3，AB=5，點E為射線DC上一動點(不與D重合)，將△ADE沿AE折疊得到△D'AE，連接D'B【思路點撥】分兩種情況討論：①當點E在線段CD上時，B,D',E三點共線，根據(jù)S△ABE=12AB?AD=12BE?AD'可求得BE=5，再由勾股定理可得BD'=AB2-AD'2=4，進而可計算DE=D【解題過程】解：根據(jù)題意，四邊形ABCD為長方形，AD=3，AB=5，將△ADE沿AE折疊得到△D'AE，則∠D=∠ED'①如圖1，當點E在線段CD上時，∵∠ED∴B,D∵S△ABE∴BE=AB=5，∵BD∴DE=D∴在Rt△ADE中，AE=A②如圖2，當點E在射線CD上時，∵∠AD'B=∠BCE=90°，AD=BC=A∴BD設CE=x，則D'∴BE=D∵CE2+B解得x=4，∴DE=CD+CE=5+4=9，∴在Rt△ADE中，AE=A綜上所述，AE的值為10或310故答案為：10或31011．（2023秋·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，DE平分∠ADC，交AC與點E，EF⊥AB于點F，且交AD-于點G，若AG=2,BC=12，則AF=【思路點撥】過點B作BH⊥AC于H，過點D作DK⊥AC于K，過點E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，連接BE，先證得△DEG≌△DEC，運用勾股定理可得AB=10，利用面積法可求得：DK=245，BH=485，EM=EN=24【解題過程】解：如圖，點B作BH⊥AC于H，過點D作DK⊥AC于K，過點E作EM⊥CD于M，EN⊥AD于N，連接BE∵AB=AC,AD⊥BC，∴BD=CD=12BC=12∵EF⊥AB，∴∠BAD+∠AGF=90°，∴∠ABC=∠AGF=∠C，∵∠AGF=∠DGE，∴∠DGE=∠C，∵DE平分∠ADC，EM⊥CD,EN⊥AD，∴EM=EN,∠EDG=∠EDC，在△DEG和△DEC中，∠DGE=∠C∠EDG=∠EDC∴△DEG≌△DEC(AAS∴DG=CD=6，∵AG=2，∴AD=AG+DG=2+6=8，在Rt△ABD中，AB=∴AC=AB=10，∵AC?DK=AD?CD，

∴10DK=8×6，∴DK=24∵AC?BH=BC?AD，∴10BH=12×8，∴BH=48∵S△ADE∴12∴4EN+3EM=24，∵EN=EM，∴7EN=24，∴EN=24∴EM=EN=24∵DK?AE=AD?EN，∴245∴AE=40∵AB?EF=AE?BH，

∴10EF=40∴EF＝19235在Rt△AEF中，AF=故答案為：8512．（2023秋·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝50cm，BC＝30cm，AC＝40cm．（1）求證：∠ACB＝90°（2）求AB邊上的高．（3）點D從點B出發(fā)在線段AB上以2cm/s的速度向終點A運動，設點D的運動時間為t（s）．①BD的長用含t的代數(shù)式表示為．②當△BCD為等腰三角形時，直接寫出t的值．【思路點撥】（1）運用勾股定理的逆定理即可證得∠ACB=90°；（2）運用等面積法列式求解即可；（3）①由路程=速度x時間，可得BD=2t；②分三種情況進行求解，即可完成解答.【解題過程】證明：（1）∵BC2+AC2＝900+1600＝2500cm2，AB2＝2500cm2，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）設AB邊上的高為hcm，由題意得S△ABC＝50?h2解得h＝24．∴AB邊上的高為24cm；（3）①∵點D從點B出發(fā)在線段AB上以2cm/s的速度向終點A運動，∴BD＝2t；故答案為：2t；②如圖1，若BC＝BD＝30cm，則t＝302＝15s如圖2，若CD＝BC，過點C作CE⊥AB，由（2）可知：CE＝24cm，∴BE=BC2-CE∵CD＝BC，且CE⊥BA，∴DE＝BE＝18cm，∴BD＝36cm，∴t＝362＝18s若CD＝DB，如圖2，∵CD2＝CE2+DE2，∴CD2＝（CD﹣18）2+576，∴CD＝25，∴t＝252s綜上所述：當t＝15s或18s或252s時，△BCD13．（2023春·八年級課時練習）如圖，ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-B-C-A運動，設運動時間為t秒t>0（1）點P運動結(jié)束，運動時間t=______；（2）當點P到邊AB、AC的距離相等時，求此時t的值；（3）在點P運動過程中，是否存在t的值，使得△ACP為等腰三角形，若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)勾股定理定理求出AC長，從而根據(jù)時間=路程÷速度計算即可得到答案；（2）當點P恰好在∠ABC的角平分線上，點P到邊AB、AC的距離相等時，設PD=PC=y，則AP=3-y，在RtΔADP中，依據(jù)AD2+P（3）分四種情況：當P在AB上且AP=CP時，當P在AB上且AP=CA=3時，當P在AB上且AC=PC時，當P在BC上且AC=PC=3時，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到t的值．【解題過程】（1）解：∵ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，∴AC=10∴=6+8+10=24cm∵點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-B-C-A運動，∴點P運動結(jié)束，運動時間t=24故答案為：12；（2）解：如圖，過P作PD⊥AB于D，∵BP平分∠ABC，∠C=90°，∴PD=PC，BC=BD=8，∴AD=10-8=2，設PD=PC=y，則AP=6-y，在RtΔADP中，AD∴22+∴CP=8∴t=AB+BC+CP當點P與點B重合時，點P也在∠ABC的角平分線上，此時，t=AB綜上所述，點P恰好在∠ABC的角平分線上，t的值為313或5（3）解：根據(jù)題意，可分四種情況：①如圖，當P在AB上且AP=CP時，∠A=∠ACP，而∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°，∴∠B=∠BCP，∴CP=BP，∴P是AB的中點，即AP=1∴t=AP②如圖，當P在AB上且AP=CA=6時，t=AP③如圖，當P在AB上且AC=PC時，過C作CD⊥AB于D，則CD=AC·BC∴RtΔACD中，AD=∴AP=2AD=36∴t=AP④如圖，當P在BC上且AC=PC=6時，BP=8-6=2，∴t=AB+PB綜上所述，當t=52或3或185或6s14．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，動點P從點C出發(fā)，按C-A-B-C的路徑運動（回到C點停止），且速度為每秒3個單位，設出發(fā)時間為t秒．（1）求BC邊上的高線AE的長與AC邊上的高線BD的長；（2）當CP⊥AB時,求t的值；（3）若△ACP是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的t的值．【思路點撥】（1）如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE，然后再運用勾股定理可求得AE，然后再根據(jù)S△ABC=1（2）如圖：過C作CF⊥AB于F，先求得CF=245，進而求得（2）分①CA=CP.②CA=AP，③AP=PC三種情形，分由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求解即可．【解題過程】（1）解：∵AB=AC=5，BC=6，BC邊上的高線AE∴BE=EC=1在Rt△ABE中，∵12∴6×4=5BD,解得：BD=245（2）解：如圖：過C作CF⊥AB于F同（1）的方法可得CF=24在Rt△AFC中，AF=∴當CP⊥AB時，點P走過的路程為7∴t=6.4（3）解：①當AC=CP=5時且在AB上，如圖：過點C作CE⊥AP于點E，∵AC=CP=5∴AE=PE，∵CE⊥AB，BD⊥AC∴由（2）可得，CF=由勾股定理可得：AF=∴AC+AP=AC+2AF=5+2.8=7.8∴t=7.8當AC=CP=5時且在BC上，則有AC+AB+BP=11∴t=11②如圖，當PA=AC時，即點P與點B重合，∴AC+AP=AC+AB=5+5=10∴t=10③如圖，當AP=PC時，點P在BC上，過點A作AH⊥BC于H∵AB=AC，∴AH⊥BC∴BH=CH=3，由（1）可知：AH=4，∵點P在BC上∴PC=16-3t，PH=13-3t∴(13-3t)2+4綜上所述，滿足條件的的值為2.6或113或103或15．（2023秋·湖南衡陽·八年級校考期末）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°,AB=5,BC=3，點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿路線A→C→B→A運動．設點P的運動時間為t秒．（1）AC=_________；當點P在AC上時，CP=_________（用含t的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，若點P在∠ABC的角平分線上，求t的值；（3）在整個運動過程中，當△BCP是等腰三角形時，求t的值．【思路點撥】（1）利用勾股定理求出AC，利用CP=AC-AP，求出CP；（2）過點P作PD⊥AB，交AB于點D，利用勾股定理列式求解即可；（3）分BC=CP,BP=CP,BC=BP，三種情況進行討論求解即可．【解題過程】（1）解：∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3，∴AC=A∵點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿路線A→C→B→A運動，∴當點P在AC上時，AP=t，∴CP=AC-AP=4-t；故答案為：4,4-t；（2）解：點P作PD⊥AB，交AB于點D，則：∠PDA=∠PDB=90°，∵點P在∠ABC的角平分線上，∠ACB=90°，∴∠ACB=∠PDB=90°，PD=PC，又∵BP=BP，∴△PBD≌△PBCHL∴BD=BC=3，∴AD=AB-BD=2，由（1）知AP=t,CP=4-t，∴PD=PC=4-t，在Rt△ADP中，AP2解得：t=5（3）解：P點運動的總時間為：5+4+3÷1=12當△BCP是等腰三角形時：①當BC=CP，點P在AC上時：如圖，此時：4-t=3，解得：t=1；當BC=CP，點P在AB上時：如圖，過點C作CE⊥AB，交AB于點E，則：BP=t-AC-BC=t-7=2BE，∵S△ABC=1∴CE=12∴BE=B∴BP=t-7=18∴t=53②當BP=CP時，如圖：由①可知：BE=9∴PE=t-7-9在Rt△PEC中，CP2解得：t=9.5；③當BC=BP時，如圖：此時：BP=t-7=3，解得t=10；綜上：當△BCP是等腰三角形時，t的值為：1或535或9.5或1016．（2023秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA=22，點D是射線AB上一點，連接CD，在CD右側(cè)

作∠DCE=90°，且CE=CD，連接AE，已知（1）如圖1，當點D在線段AB上時，①求∠CAE的度數(shù)；②求線段CD的長；（2）當點D在線段AB的延長線上時，其他條件不變，請在圖2中畫出圖形，并直接寫出∠CAE的度數(shù)和CD的長．【思路點撥】（1）①先證明△BCD≌△ACESAS，得到∠B②先利用勾股定理求出AB=AC2（2）先證明△BCD≌△ACESAS，再得到∠CBD＝135°，即可求出∠CAE=135°【解題過程】（1）①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠ACB-∠ACD＝∴∠BCD＝在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACESAS，∴∠B＝∠CAE∵∠ACB＝90°，AC∴∠B＝45°∴∠CAE＝②連接DE，如圖1，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝在Rt△ABC中，由勾股定理得：A∴AB=AC∵△BCD≌∴∠B＝∠CAE＝45°∴∠DAE＝∠BAC+∠CAE=90°，由勾股定理得：D∵∠DCE＝90°由勾股定理得：DC∴D∵CE＝∴32∴CD=（2）畫圖見圖2，∠CAE＝135°，∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，∴∠ACB-∠BCE＝∴∠BCD＝在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACESAS，∴∠CBD＝∠CAE∵∠ACB＝90°，AC∴∠CBA＝45°∴∠CBD∴∠CAE＝連接DE，∵∠CBD＝∠CAE＝135°∴∠DAE＝∠CAE-∠BAC=90°，由勾股定理得：D∵∠DCE＝90°由勾股定理得：DC∴D∵CE＝∴52∴CD=17．（2023秋·福建莆田·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B、C在x軸上，∠ABO=30°，AB=2，OB=OC．（1）如圖1，求點A、B、C的坐標；（2）如圖2，若點D在第一象限且滿足AD=AC，∠DAC=90°，線段BD交y軸于點G，求線段BG的長；（3）如圖3，在（2）的條件下，若在第四象限有一點E，滿足∠BEC=∠BDC．請?zhí)骄緽E、CE、AE之間的數(shù)量關系．【思路點撥】（1）根據(jù)∠ABO=30°，AB=2，在Rt△ABO中，有：AO=12（2）求出AC=AO2+OC2=2，即AB=AC，可得∠ABD=∠ADB，接著求出∠BAG=120°，證明△BAO≌△CAO，即有∠BAO=60°=∠CAO，可得∠GAD=180°-∠DAC-∠OAC=30°，得出∠BAD=∠BAG+∠GAD=150°（3）由（2）可知：∠ADB=15°，可得∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°，進而有∠BEC=∠BDC=60°，延長EB至F，使BF=CE，連接AF，過A點作AM⊥EF于M點，根據(jù)∠OAB=∠OAC=60°，即有∠BAC=120°，進一步有∠BAC+∠BEC=180°，即可證明∠ABF=∠ACE，接著證明△ABF≌【解題過程】（1）∵∠ABO=30°，AB=2，∴在Rt△ABO中，有：AO=∴BO=A∵OB=OC，∴OB=OC=3∴A0,1，B-3（2）∵OC=3，AO=1∴在Rt△ACO中，AC=AO∵AD=AC，∴AD=2，∴AD=2=AB，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，∴∠BAO=60°，即∠BAG=120°，∵OB=OC，AB=AC=2，AO=AO，∴△BAO≌△CAO，∴∠BAO=60°=∠CAO，∵∠DAC=90°，∴∠GAD=180°-∠DAC-∠OAC=30°，∵∠BAG=120°，∴∠BAD=∠BAG+∠GAD=150°，∴∠ABD=∠ADB=15°，∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，∴∠GBO=∠ABD+∠ABO=45°，∴∠GBO=∠BGO=45°，∴BO=OG，∵BO=3∴BO=OG=3∴在△BOG中，BG=B（3）BE+CE=3由（2）可知：∠ADB=15°，∵AD=AC，∠DAC=90°，∴∠ADC=∠ACD=45°，∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°，∴∠BEC=∠BDC=60°，延長EB至F，使BF=CE，連接AF，過A點作AM⊥EF于M點，如圖，∵∠OAB=∠OAC=60°，∴∠BAC=120°，∴∠BAC+∠BEC=180°，∴∠ACE+∠ABE=180°，∵∠ABF+∠ABE=180°，∴∠ABF=∠ACE，又∵AB=AC，BF=CE，∴△ABF≌∴AF=AE，∠BAF=∠CAE，∴∠FAE=∠BAC=120°，∴∠F=∠AEF=30°，∵AM⊥EF，AF=AE，∴AM=12AE∴ME=∴FE=3∴BE+CE=BE+BF=FE=3即BE+CE=318．（2023秋·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）已知∠AOB=∠COD=90°，OA=OB=10，OC=OD=8（1）如圖1，連接AC、BD，問AC與BD相等嗎？并說明理由．（2）若將△COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2，當點C恰好在AB邊上時，請寫出AC、BC、OC（3）若△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，當∠AOC=15°時，直線CD與直線AO交于點F，求AF【思路點撥】（1）根據(jù)題意可證得△AOC（2）連接BD，可證得∠AOC=∠BOD，據(jù)此即可證得△AOC≌BODSAS，AC=BD，∠CAO=∠DBO，根據(jù)勾股定理可得（3）過點O作OE⊥CD于點E，利用勾股定理可求得CD=82，根據(jù)面積公式可求得OE=4【解題過程】（1）解：AC與BD相等；理由如下：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△OA=OB∠AOC=∠BOD∴△∴AC=BD；（2）解：結(jié)論：BC理由如下：如圖：連接BD，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，即∠AOC=∠BOD在△AOC和△OA=OB∠AOC=∠BOD∴△∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，∴∠BAO=∠ABO=45°，CD∴∠CAO=∠DBO=45°，∴∠CBD=∠ABO+∠DBO=45°+45°=90°，∴BC∴BC（3）解：如圖：過點O作OE⊥CD于點E，∵∠COD=90°，OC=OD=8，∴CD=O∵S∴OE=OC?OD如圖：當點F在OA的延長線上時，∵∠DCO=45°，∠AOC=15°，∴∠F=∠DCO-∠AOC=45°-15°=30°，∴OF=2OE=82∴AF=OF-OA=82如圖：當點F在線段OA上時，∵∠DCO=45°，∠AOC=15°，∴∠DFO=∠DCO+∠AOC=45°+15°=60°，∴∠FOE=90°-60°=30°，∴EF=1∵OF∴OF解得OF=8∴AF=OA-OF=10-8綜上，AF的長為82-10或19．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：在任意△ABC中，如果一個內(nèi)角度數(shù)的2倍與另一個內(nèi)角度數(shù)的和為90°，那么稱此三角形為“倍角互余三角形”．（1）【基礎鞏固】若△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，則∠B=________°；（2）【嘗試應用】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為線段BC上一點，若∠CAD與∠CAB互余．求證：△ABD是“倍角互余三角形”（3）【拓展提高】如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，試問在邊BC上是否存在點E，使得△ABE是“倍角互余三角形”？若存在，請求出BE【思路點撥】（1）根據(jù)“倍角互余三角形”的概念結(jié)合∠C>90°，∠A=60°，即可求解；（2）根據(jù)∠ACB=90°，得出∠B+∠CAB=90°，又根據(jù)∠CAB+∠CAD=90°，得出∠B=（3）①當AE平分∠CAB時，則2∠EAB+∠B=90°，證明出△ACE≌△AFE，得出BF=2，設CE=a，則EF=a，BE=4-a，利用勾股定理求解得a=32，所以BE=4-a=52．②當∠CAE=∠B時，作點A關于BC的對稱點H，連接AE、HE，并延長HE交AB于點F．設∠CAE=x，則∠ABC=x，根據(jù)點A、點H關于BC對稱，進一步得出∠BEF+∠ABC=90°，即【解題過程】（1）解：∵△ABC是“倍角互余三角形”，∠C>90°，∠A=60°，∴∠A+2∠B=90°，∴∠B=1故答案為：15；（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∵∠CAB+∠CAD=90°，∴∠B=∴∠B+∠CAD+∠BAD=2∠B+∠BAD=90°∴△ABD是倍角互余三角形．（3）解：①當AE平分∠CAB時，則2∠EAB+∠B=90°，∠CAE=∠FAE,∠ACE=∠AFE,AE=AE∴△ACE≌△AFE，∴AE=AC=3，則BF=2，設CE=a，則EF=a，BE=4-a，在Rt△BEF中，(4-a)解得a=32，所以②當∠CAE=∠B時，作點A關于BC的對稱點H，連接AE、HE，并延長HE交AB于點F．設∠CAE=x，則∠ABC=x，∵點A、點H關于BC對稱，∴∠AHE=∠CAE=x，∴∠CEH=90°-x=∠BEF，∴∠BEF+∠ABC=90°，即HF⊥AB，利用等積法求得：S△ABH∴HF=24在Rt△AHF中，設AE=HE=a，在Rt△AEF中，a∴a=15在Rt△ACE中，CE=∴BE=4-9綜上所述，BE=52或7420．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）定義：若三角形滿足：兩邊的平方和與這兩邊乘積的差等于第三邊的平方，則稱這個三角形為“類勾股三角形”．如圖1在△ABC中，AB2+AC2-AB?AC=BC（1）等邊三角形一定是“類勾股三角形”，是___________________命題（填真或假）．（2）若Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a，且b>a，若△ABC是“類勾股三角形”，求∠B（3）如圖2，在等邊三角形ABC的邊AC,BC上各取一點D，E，且AD<CD,AE,BD相交于點F，BG是△BEF的高，若△BGF是“類勾股三角形”，且BG>FG．①求證：AD=CE．②連結(jié)CG，若∠GCB=∠ABD，那么線段AG,EF,CD能否構(gòu)成一個“類勾股三角形”？若能，請證明；若不能，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，“類勾股三角形”的定義判斷；（2）根據(jù)勾股定理得到a2+b2=（3）①根據(jù)“類勾股三角形”的定義得到∠BFG=60°，證明△ABD?△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；②證明△ABF?△CAG，得到AG=BF，設FG=x，EG=y，分別用x、y表示出AG2、EF2、CD【解題過程】（1）當△ABC為等邊三角形時，AB=AC=BC，∴AB∴等邊三角形一定是“類勾股三角形”故答案為：真（2）∵∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a，∴a2當a2+b當a2a2∴ac=2a∴c=2a，∴a:b:c=1:3∴∠B=60°當b2b2∴bc=2b∴c=2b，∴a:b:c=3綜上所述：△ABC是“類勾股三角形”時，∠B=60°（3）①∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵BG是△BEF的高，△BGF是“類勾股三角形”，∴由（2）可得FG:BG:BF=1:3:2，∴∠FAB+∠FBA=∠BFG=60°，∵∠FAB+∠EAC=∠BAC=60°，∴∠FBA=∠EAC，在△ABD和△CAE中，∠BAD=∠ACEBA=AC∴△ABD?△CAE(ASA∴AD=CE②∵∠GCB=∠ABD，AB=AC，∴∠FAB=60°-∠ABD=60°-∠GCB=∠ACG，在△ABF和△CAG中，∠FAB=∠GCABA=AC∴△ABF?△CAG，∴AG=BF，∵AB=BC,AD=CE，∴BE=CD，設FG=x，EG=y，則BG=3x，∴AGEFCD∴AG∴AG∴線段AG,EF,CD能構(gòu)成一個“類勾股三角形”．21．（2023春·全國·八年級專題練習）問題背景：如圖1，某車間生產(chǎn)了一個豎直放在地面上的零件AB，過點A搭了一個支架AC，測得支架AC與地面成60°角，即∠ACB=60°；在AC的中點D處固定了一個激光掃描儀，需要對零件AB進行掃描，已知掃描光線的張角恒為60°，即∠EDF=60°．問題提出：數(shù)學興趣小組針對這個裝置進行探究，研究零件AB邊上的被掃描部分（即線段EF），和未掃到的部分（即線段AE和線段BF）之間的數(shù)量關系．問題解決：（1）先考慮特殊情況：①如果點E剛好和點A重合，或者點B剛好和點F重合時，AE+BF________EF（填“>”，“<”或“=”）；②當點E位于特殊位置，比如當∠ADE=30°時，AE+BF________EF（填“>”或“<”）；（2）特殊到一般：猜想：如圖2，當0°<∠ADE<60°時，AE+BF________EF，證明你所得到的結(jié)論：（3）研究特殊關系：如果BF2+E【思路點撥】（1）①連接BD，先證明△CDB是等邊三角形，即∠ACB=60°=∠CBD=∠BDC，當F點與B點重合時，即BF=0，根據(jù)“三線合一”可得AE=EF，即有AE+BF=EF，同理：如果點E剛好和點A重合，同樣有AE+BF=EF；問題得解；②先證明△DEF是等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=EF，再結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)可以求出BF=3（2）將DF繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)120°至DM，連接AM，ME，先證明△DEM≌△DEF，再證明（3）將DF繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)120°至DN，連接AN，NE，根據(jù)（2）中的方法，同理可證明：△DEN≌△DEF，△ADN≌△BDF，再證明△ANE是直角三角形，∠ANE=90°，結(jié)合含【解題過程】（1）①如圖，連接BD，根據(jù)題意有∠ABC=90°，∠ACB=60°，即∠CAB=30°∵點D為AC中點，∴AD=DC=BD=1∴△CDB是等邊三角形，（此結(jié)論也適用于第（2）和（3）問）∴∠ACB=60°=∠CBD=∠BDC，∵∠CAB=30°，∴在Rt△ABC中，BC=∴AB=A當F點與B點重合時，如上圖左圖，即BF=0，∵∠EDF=60°=∠DBC，∴DE∥∴∠AED=∠ABC=90°，∴DE⊥AF，∵AD=BD，∴AE=EF，∵BF=0，∴AE+BF=EF，同理：如果點E剛好和點A重合，同樣有AE+BF=EF，故答案為：=；②當∠ADE=30°時，如圖，∵∠ADE=30°，∠DAE=30°，∴∠DEF=60°，AE=DE，∵∠EDF=60°，∴△DEF是等邊三角形，∠ADF=90°，∴DE=EF，∴AE=EF，∵∠ADF=90°，∠DAE=30°，∴在Rt△ADF中，DF=∴AF=AB=A∴AF=3∴BF=AB-AF=3∵AE=EF，BF=3∴AE+BF＞故答案為：＞；（2）AE+BF＞將DF繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)120°至DM，連接AM根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：∠MDF=120°，DF=DM，∵∠FDE=60°，∴∠MDE=60°，∵DE=DE，∴△DEM≌△DEF，∴EM=EF，∵∠CDB=60°，∴∠ADB=120°，即：∠ADB=∠MDF，∵∠ADB=∠ADF+∠FDB，∠MDF=∠ADF+∠ADM，∴∠BDF=∠ADM，∵AD=BD，MD=DF，∴△ADM≌△BDF，∴AM=BF，∴在△AME中，AM+AE＞∴BF+AE＞故答案為：＞；（3）將DF繞D點逆時針旋