平面向量及運算法則

平面向量及運算法則1、 向量：（1） 概念：既有 又有的量叫做向量（2） 表示：可以用有向線段來表示，包含三個要素：、和；記為AB或a（3） 模：AB的長度叫向量的模，記為IABI或IaI（4） 零向量：零向量的方向是任意的 一-單位向量是的向量.（5） 相等向量：的向量叫相等向量了（6） 共線向量：的向量叫平行向量，也叫共線向量2、 向量運算的兩個法則：加法法則：（1） 平行四邊形法則，要點是：統(tǒng)一起點；（2） 三角形法則，要點是：首尾相接；減法法則：向量減法運算滿足三角形法則，要點是統(tǒng)一起點，從指向。3、 實數(shù)人與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作人a，其長度與方向規(guī)定如下：（1）以aI=IXIIaI；（2）人＞0時，人a與a同向；人＜0時，人a與a反向；（3）人=—? ―?0時，人a=04、 向量的線性運算滿足： -- --（1） X（口a）—―?―?（2） （人+日）a=—?（3） X（a+b）=5、 a//b。b=Xa（a豐0）其中XeR且唯一隨堂練習一1.給出下列命題：—? —?—?—?—?—?向量aB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；兩個單位向量是相等向量；若a=b,b=c,則a=c；若一個向量的模為0，則該向量的方向不確定；若IaI=IbI,則a=b。錯誤!未找到引用源。若a與b共線，b與c共線，則a與c共線其中正確命題的個數(shù)是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個CA的中點，則AF-DB=（D卜列各式中成立的是（2、如圖所示，D、E、CA的中點，則AF-DB=（D卜列各式中成立的是（A.FD B.FCC.FE D.B3、在平行四邊形ABCD中,A.AB+BC=CAb.AB+AC=BCC.AC+BA=ADD.AC+AD=DC4.下面給出的四個式子中，其中值不一定為0的是（）A.AB+BC+CA b.OA+OC+BO+COC.AB-AC+BD-CDD.NQ+QP+MN-MP5.在平行四邊形ABCD中，若AB+AD=AB-AD則必有（ ）A.AD=0 B.AB=0或AD=0C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形一—16、如圖所示，OADB是以向量OA=a，OB=b為邊的平行四邊形，又BM=^BC,1CN=^CD.試用a，b表示OM，ON，MN.7、設兩個非零向量匕、7、設兩個非零向量匕、e2不是平行向量? ? ? , I- 4; 4;（1） 如果AB=匕+。2，BC=2匕+8e2，CD=3（匕一%），求證A、B、D三點共線; F F h F（2） 試確定實數(shù)k的值，使ke/e2和匕+k%是兩個平行向量.

變式：已知OA、OB不共線，OP=aOA+bOB.求證：A、P、B三點共線的充要條件是a+b=1.平面向量的基本定理：如果［,%是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量“，有且只有一對實數(shù)'，七使a=平面向量的坐標運算：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差;一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標。若A(x,y),B(x,y)，則AB=OB—OA=(x,y)—(x,y)=(x—x,y—y)；實數(shù)與向11 22， 2，y2 1，y1'V21，y2yV；量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.向量共線的兩種判定方法：a〃b(b豐0)。a=Xb。xy—xy=0。12 21.平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是。，則數(shù)量lallblcos0叫a與b的數(shù)量積，記作a?b，即有ab=lallblCos。，(0^03。并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為。。注意：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cose的符號所決定.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影l(fā)blcose的乘積.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設a、b為兩個非零向量，e是單位向量；1°e-a=a?e=lalcose；2。 aVb=a-b=0；3°當a與b同向時，a?b=lallbl；當a與b反向時，a?b=—lallbl.特別地a-a=lal2或lal^\aa4°a-b4°cose=allbl5°5°la-bl Wlallblo向量的數(shù)量積滿足下列運算律已知向量a,bc與實數(shù)人。律)以).c=平面向量數(shù)量積的坐標表示已知^胃向量a=(x.y),b=(x.y),a.b=1 1 2 2平面內(nèi)兩點間的距離公式2設a=(x,y),a：= 或a二一一_。3.向量垂直的判定a=(x,y),b=(x,y)，貝Ua^b_^a-b=0；=xx+yy=0TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2 - 12 12小結：向量共線的兩種判定方法a=(x,y),b=(x,y),11 22」 a〃b-(b豐0)=a-Xb=xy-xy=0。12 21向量垂直的兩種判定方法a=(x,y),b=(x,y),則alb=a-b=0；11 22=xx+yy=b12 124-平面向量的應用 一一(1)能用平面向量知識處理平面幾何中的一些問題，如長度、角、距離，平行、垂直等問題。(2)用向量知識把日常生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型解決實際問題。隨堂練習1.下列說法中，正確的是( )①一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量。A.①②B.①③C.②③D①②③2.若向量a=(1,1),b=(1,—1),c=(—1,2),則c等于( )A、D、C、D、TOC\o"1-5"\h\z3.已知向量a=(—2,4)b=(1,-2)則a與b的關系是( )A.不共線 ：8.相等 C.同向D.反向4.已知a=(—L3),b=(x,—1)，且a//b，則x=( )A.3B.-3C.-D.—-3設牛e2是同一平面內(nèi)所有向量的一殂基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是()—— ——A.—— ——A.e+e和e-e1 2 1 2B.3e1-2e2和4e1-6e2C.e+2e和2e+eD.e+e和e1 2 1 2 1 2 26.已知：I“l(fā)=3，lb1=6，當①a〃b，②alb，③a與b的夾角是60°時，分另U求ab與Ia+bl7.設向量a,b滿足a=b=1及3a—2b=J7求a,b所成角的大小。求3a+b的值。平面向量的應用能用平面向量知識處理平面幾何中的一些問題，如長度、角、距離，平行、垂直等問題。隨堂練習—— r1.已知AM為AABC的BC邊上的中線，若AB=a，AC=b，則AM=( )1 - —1 - —A.—(a—b)21/- —、B. (a—b)2—二 1 —丁C.——(a+b—二 1 —丁C.——(a+b)D.—(a+b)22.已知也1=3,網(wǎng)=5,如果allb，則a-b=—3.(安徽卷理3文3)設向量a=(1,0)，b=，則下列結論中正確的是()A、Ia|=^|2B、a?b 2C、a-b與b垂直D、a〃b4.在△ABC中，AB=a，BC=b，且a?b〈0，則^ABC的形狀是( )A.銳角三角形C.鈍角三角形B.直角三角形D.不能確定5、設a表示“向東走3km”b表示“向北走3km”則a+b表示] ——6.設AB=a+5b] ——BC=-2a+8b, ——CD=3a-3b，那么下列各組的點中二點一定共線的是()A.A，B，CC.A，B，DB.A，C，DD.B，C，D7.設向量a，b滿足lal=lbl=1及13a—2bl=3,求I3a+bl的值.在△ABC中，AB=(1，1)，AC=(2，0，若4ABC中有一個角為直角，求實數(shù)k的值.某人在靜水中游泳，速度為W3千米/時，他在水流速度為4千米/時的河中游泳.若他垂直游向河對岸，則他實際沿什么方向前進？實際前進的速度為多少？他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度為多少?

10.已知a=(2,1)與b=(1,2)，要使a+tb最小，則實數(shù)t的值為11.(重慶卷理2)已知向量a,b滿足a-b=0,a=1,b=2,，則2a-b=( )A.0B. 2如2 C.4D.8課后習題一、選擇1、下列命題正確的個數(shù)是()①AB+BA=0；②0?AB=0；③AB-AC=BC；@0?AB=0A、1B、2A、1B、2C、3D、42、若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，則c等于()一十吊，-一1 "—?f1,D、A、一—a+—bB、—a——bC、—a——bD、TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 23、已知a=(1,2),b=(2x,-3)且a〃b，則x%()3A、一3-一B、一=一C、0—一D、一44、下列命題中：①若a?b=0,>a=0或b=0；②若不平行的兩個非零向量a,b滿足a=b，則(a+b)?(a-b)=0；③若a與b平行，則a?b=a?b；④若a〃b,b〃c,則a〃c；其中真命題的個數(shù)是()A、1 一B2 --弋、3 D、45、 已知a=J3,b=2J3，a?b=-3，一則a與b的夾角是(一)一一A、150° B、120。 C、60° D、30°f f f f ff6、 若a=(3,4),b=(2,-1),且(a+xb)1(a-b)，則實數(shù)乂=()A、23 B、號 C、與 D、與2 3 47、 在AABC中，若\A^=3,AC=4,ABAC=600，則BA?AC=()A、6B、4C、-6D、-4A、6B、4C、-6D、-4二、填空題8、 已知a=(5,x),a=13,則1=9、 已知MA=(-2,4),MB=(2,6)，則1AB=10、 若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A、B、C三點共線，則x=11、 已知向量a=(6,2)與b=(-3,k)的夾角是鈍角，則k的取值范圍是 三、解答題12、向量OA