平面向量的運(yùn)算

平面向量的運(yùn)算【第一課時(shí)】向量的加法運(yùn)算【教學(xué)重難點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】平面向量加法的幾何意義理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象平行四邊形法則和三角形法則掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會(huì)用它們解決實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)抽象、直觀想象平面向量加法的運(yùn)算律掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算【教學(xué)過(guò)程】一、 問(wèn)題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：在求兩向量和的運(yùn)算時(shí)，通常使用哪兩個(gè)法則?向量加法的運(yùn)算律有哪兩個(gè)？二、 新知探究探究點(diǎn)1：平面向量的加法及其幾何意義例1：如圖，已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.解：法一：可先作a+c,再作（a+c）+b,即a+b+c.如圖，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量oA=a,接著作向量AB=c,則得向量OB=a+c,然后作向量BC=b,則向量OC=a+b+c為所求.法二：三個(gè)向量不共線，用平行四邊形法則來(lái)作.如圖，（1）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,oB=b；作平行四邊形AOBC,則Ot=a+b；再作向量OOD=c；作平行四邊形CODE,則O°E=OOC+c=a+b+c.OE即為所求.規(guī)律方法：應(yīng)用三角形法則求向量和的基本步驟平移向量使之“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合；以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，即為兩個(gè)向量的和.應(yīng)用平行四邊形法則求向量和的基本步驟平移兩個(gè)不共線的向量使之共起點(diǎn)；以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形；平行四邊形中，與兩向量共起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量為兩個(gè)向量的和.探究點(diǎn)2：平面向量的加法運(yùn)算例2：化簡(jiǎn)：OC+OB；DOB+COD+BOC；OB+dF+cD+bC+fA.解：(1)OC+OB=OB+OC=OC.DOB+COD+BOC=BOC+COD+DOB=(BOC+COD)+DOB=BD+DB=0.OB+dF+cD+bC+fA=OB+bC+cD+dF+O=OC+cD+dF+fA=OD+dF+FA=OF+fA=0.規(guī)律方法:向量加法運(yùn)算中化簡(jiǎn)的兩種方法代數(shù)法：借助向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為“首尾相接”，向量的和即為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量.幾何法：通過(guò)作圖，根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則化簡(jiǎn).探究點(diǎn)3：向量加法的實(shí)際應(yīng)用例3：某人在靜水中游泳，速度為4-.仍千米/小時(shí)，他在水流速度為4千米/小時(shí)的河中游泳.若他垂直游向河對(duì)岸，則他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？0 4A解：如圖，設(shè)此人游泳的速度為房，水流的速度為宓，以宓，房為鄰邊作OACB，則此人的實(shí)際速度為OA+OB=OC.由勾股定理知|OC|=8，且在RtAACO中，/COA=60°，故此人沿與河岸成60°的夾角順著水流的方向前進(jìn)，速度大小為8千米/小時(shí).規(guī)律方法：應(yīng)用向量解決平面幾何和物理學(xué)問(wèn)題的基本步驟表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將相關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題.還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問(wèn)題.三、課堂總結(jié)1.向量加法的定義及運(yùn)算法則定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法法則三角形法則前提已知非零向量a，b作法在平面內(nèi)任取點(diǎn)A，作AB=a，BC=b，再作向里AC結(jié)論向量我叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=AB+_BC=AC法則平行四邊形法則前提已知不共線的兩個(gè)向量a,b作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a,b為鄰邊作口OACB結(jié)論對(duì)角線況就是a與b的和圖形0規(guī)定對(duì)于零向量與任向量a,我們規(guī)定a+0Q_+_a=a|a+b|,|a|,|b|之間的關(guān)系一般地，|a+b|M|a|+|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a,b方向相同時(shí)等號(hào)成立.向量加法的運(yùn)算律交換律a+b=b+a結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)四、課堂檢測(cè)TOC\o"1-5"\h\z化簡(jiǎn)oP+pQ+pS+sP的結(jié)果等于（ ）QP B.OQC.SP D.SQ解析：選b.OSP+pQ+pS+sP=oSQ+o=oSQ.在四邊形ABCD中，AC=AB+Ab，則一定有（ ）四邊形ABCD是矩形四邊形ABCD是菱形四邊形ABCD是正方形四邊形ABCD是平行四邊形解析：選D.由AC=AB+AD得AD=BC,即AD=BC,且AD//BC,所以四邊形ABCD的一組對(duì)邊平行且相等，故為平行四邊形.已知非零向量a,b,|a|=8,|b|=5，則|a+b|的最大值為.解析：|a+b|<|a|+|b|,所以|a+b|的最大值為13.答案：13已知口ABCD,O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E是CD的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近D點(diǎn)），求作:（2）DE+ba.4ca解：(1)延長(zhǎng)AC,在延長(zhǎng)線上截取CF=AO,4ca(2)在AB上取點(diǎn)G,使AG=^AB,則向量后為所求.【第二課時(shí)】向量的減法運(yùn)算【教學(xué)重難點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】相反向量理解相反向量的概念數(shù)學(xué)抽象向量的減法掌握向量減法的運(yùn)算法則及其幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象【教學(xué)過(guò)程】一、 問(wèn)題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：a的相反向量是什么？向量減法的幾何意義是什么？二、 新知探究探究點(diǎn)1：向量的減法運(yùn)算例1：化簡(jiǎn)下列各式：(AB+MB)+(—OB—MO)；aB—aD—dC.解：(1)法一：原式=aB+mB+BO+oM=(aB+bO)+(OM+mB)=aO+oB=aB.法二：原式=aB+mB+bO+()M=AB+(MB+BO)+OM=AB+MO+OM=AB+0=aB.(2)法一：原式=dB—dC=cB.法二：原式=AB-CAb^DC)=AB-AC=CB.規(guī)律方法：——%r以通過(guò)相反向長(zhǎng)，把向圭臧法的'l運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加盤(pán)昆算"通用向置減法的三角形法周，此時(shí)'、要注意西個(gè)向理要有共間的越點(diǎn)，向量減法運(yùn)算的常用方法〔蚩累法」探究點(diǎn)2：向量的減法及其幾何意義例2：如圖，已知向量a,b,c不共線，求作向量a+b—c.解：法一：如圖①，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,OB=b,OC=c,連接BC,則CB=b—c.過(guò)點(diǎn)A作AD耕BC,連接OD,則AD=b—c,所以O(shè)D=OA+AD=a+b—c.法二：如圖②，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,AB=b,連接OB,則OB=a+b,再作OC=c,連接CB,則CB=a+b—c.法三：如圖③，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作OA=a,AB=b，連接OB,則OB=a+b,再作CB=c,連接OC,則OC=a+b—c.規(guī)律方法：求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如a—b,可以先作一b,然后作a+(—b)即可.可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量.探究點(diǎn)3：用已知向量表示其他向量例3：如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，點(diǎn)B是該平行四邊形外一點(diǎn)，且Ai=a,AC=b,AE=c,試用向量a，b,c表示向量CD,BC,bD.解：因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形，所以CD=AE=c，BC=aC—AB=b—a故BD=BC+CD=b-a+c.規(guī)律方法：用已知向量表示其他向量的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三個(gè)向量之間的關(guān)系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.注意綜合應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來(lái)分析解決問(wèn)題.注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則.例如，在四邊形ABCD中，AB+BC+CD+DA=0.三、課堂總結(jié)相反向量定義：與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，記作二，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.結(jié)論—(—a)=a，a+(-a)=(-a)+a=0；如果a與b互為相反向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0.向量的減法向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a—b=a+(—b).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作oA=a，oB=b，則向量BA=a—b，如圖所示.0aA幾何意義：a—b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.四、課堂檢測(cè)在△展C中，D是BC邊上的一點(diǎn)，MID一只等于（ ）A.CB B.BCc.CD D.DC解析：選C.在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，則由兩個(gè)向量的減法的幾何意義可得AD一aC=cD.2.化簡(jiǎn)：AB—AC+BD—CD+AD=.解析：原式=CB+BD+DC+AD=CD+DC+AD=0+AD=AD.答案：AD已知錯(cuò)誤!=10，|錯(cuò)誤!|=7，則|錯(cuò)誤!|的取值范圍為.解析：因?yàn)镃B=aB—aC，所以|CB|=|AB—AC|.又錯(cuò)誤削|錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤作|錯(cuò)誤!|+|錯(cuò)誤!|，3<^AB—AC|<17，所以3<|CB|<17.答案：[3，17]若o是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|OB—OC|=|OB—OA+OC—OA|，試判斷mbc的形狀.解：因?yàn)镺B—OA+OC—OA=AB+AC，OB—OC=CB=AB—AC.又|房一員|=|房—oA+oC—oA|,所以|AB+AC|=|AB—AC|，所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度相等，所以該平行四邊形為矩形，所以AB1AC，所以△ABC是直角三角形.【第三課時(shí)】向量的數(shù)乘運(yùn)算【教學(xué)重難點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及運(yùn)算律理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律數(shù)學(xué)抽象、直觀想象向量共線定理掌握向量共線定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線邏輯推理【教學(xué)過(guò)程】-、問(wèn)題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？向量數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足哪三條運(yùn)算律？向量共線定理是怎樣表述的？向量的線性運(yùn)算是指的哪三種運(yùn)算？二、新知探究探究點(diǎn)1：向量的線性運(yùn)算例1：(1)計(jì)算：4(a+b)—3(a~b)—8a；(5a—4b+c)—2(3a—2b+c)；_2「. 11 13(4a—3b)+§b—4(6a—7b).(2)設(shè)向量a=3i+2j,b=2i—j，求ga—b]—[a—：b]+(2b—a).解：(1)①原式=4a+4b—3a+3b—8a=—7a+7b.②原式=5a—4b+c—6a+4b—2c=—a—c.「一2[一，1一3,7八③原式=a〔4a—3b+^b—^a+qbj=3Ea-制_5 11-=3aFb.12原式=^a—b—a+^b+2b—a=[3-1—1]a+[-1+3+2》55 5 5=—3a+§b=—3(3i+2j)+a(2i—j)=[-5+*i+[-?-5)5.=—了一j規(guī)律方法：向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類(lèi)比方法：向量的數(shù)乘運(yùn)算可類(lèi)似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算.例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類(lèi)項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)方程方法：向量也可以通過(guò)列方程來(lái)解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用代數(shù)方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過(guò)程中要多注意觀察，恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.探究點(diǎn)2：向量共線定理及其應(yīng)用例2：已知非零向量勺，e2不共線.如果品=弓+￡2，BC=2e]+8e2，Cb=3(^1—^2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；欲使況]+e2和e]+ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.解：(1)證明：因?yàn)锳B=e[+e2，BD=BC+cD=2e1+8e2+3e1—3e2=5(烏+幺)=5AB.所以屈，BD共線，且有公共點(diǎn)B，所以A、B、D三點(diǎn)共線.(2)因?yàn)閗e]+e2與e1+ke2共線，所以存在實(shí)數(shù)4，使ke]+e2=A(e]+ke2)，則(k—4)e]=(4k—])e2，fk—4=0，由于e]與e不共線,只能有Lk—]=0，所以k=±].規(guī)律方法：向量共線定理的應(yīng)用(])若b=4a(a#0)，且b與a所在的直線無(wú)公共點(diǎn)，則這兩條直線平行.(2)若b=4a(a#0)，且b與a所在的直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線重合.例如，若屈=4AC，貝0AB與AC共線，又壺與衣有公共點(diǎn)A，從而A，B，C三點(diǎn)共線，這是證明三點(diǎn)共線的重要方法.探究點(diǎn)3：用已知向量表示其他向量例3：如圖，ABCD是一個(gè)梯形，AB//CD且|AB|=2|CD|，M，N分別是DC，遇AB的中點(diǎn)，已知AB=e]，AD=e2，試用e]，e2表示下列向量. 」 y 口(])aC=；(2)MN=.解析：因?yàn)槿纭–D，|AB|=2|CD|，所以aB=2dC,DC=2aB.AC=AD+Dt=e2+M].Mn=M)+dA+aN\dC-aD+\aB4ei-e2+2ei=4ei-e2-答案：（1）e2+|e1/c、1⑵4e1-e2互動(dòng)探究變條件：在本例中，若條件改^BC=evAb=e2，試用3e2表示向量血.解：因?yàn)镸N=MD+DA+AN,MN=mC+cB+bN,所以2mn=（md+mc）+da+cb+（an+bn）.又因?yàn)镸,N分別是DC,AB的中點(diǎn)，所以而D+味=0,aN+BN=0.所以2MN=DA+CB,所以mn=2（―AD—bc）=—2。2一2°].規(guī)律方法：用已知向量表示其他向量的兩種方法（1）直接法畫(huà)圖菇皆圖形的特：把待求向量放在三食形素平有四地形中菇皆圖形的特：把待求向量放在三食形素平有四地形中畫(huà)圖菇皆圖形的特：把待求向量放在三食形素平有四地形中菇皆圖形的特：把待求向量放在三食形素平有四地形中姑白向黃的三角形法則或平行四邊'形法叫技商費(fèi)共她定理.用巳燈點(diǎn):!■表示未知向M姑白向黃的三角形法則或平行四邊'形法叫技商費(fèi)共她定理.用巳燈點(diǎn):!■表示未知向M姑白向黃的三角形法則或平行四邊'形法叫技商費(fèi)共她定理.用巳燈點(diǎn):!■表示未知向M（2）方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程.三、課堂總結(jié)向量的數(shù)乘的定義一般地，規(guī)定實(shí)數(shù)A與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作也它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

\Aa\=\X\\a\.當(dāng)A>0時(shí)，Xa的方向與a的方向相同；當(dāng)A<0時(shí)，Xa的方向與a的方向相反；當(dāng)4=0時(shí)，Xa=Q.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)X,/為實(shí)數(shù)，那么：X(〃a)=(X〃)a.(X+〃)a=Xa+〃a.X(a+b)=Xa+Xb.向量的線性運(yùn)算及向量共線定理向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)X，〃］，〃2，恒有X(^1a±^2b)=X^1a±X^2b.向量a(a^0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)X，使b=Xa.四、課堂檢測(cè)H(2a+8b)-(4a-2b)］等于( )A.2a—b B.2b—aC.b—a D.a—b1, . 、 1, 、 1,4一4,2一，一解析：選B.原式=6(2a+8b)—3(4a—2方)=鏟+矽一鏟+矽=—a+2b.TOC\o"1-5"\h\z若點(diǎn)O為平行四邊形ABCD的中心，屈=2烏，BC=3e2，則3e2—弓=( )1 2 22 1A.BO B.AOC.CO D.DO解析：選A.BD=AD—AB=BC—AB=3^—2e，BO=1bD=|^—e.21 ^^2 ^^2^21已知勺，e2是兩個(gè)不共線的向量，若AB=2e1—8e2,CB=e1+3e2,CD=2e「e2，求證A，B，D三點(diǎn)共線.證明：因?yàn)镃B=e1+3e2,CD=2e1—e2，所以BD=CD—CB=e1—4e2.又AB=2e1—8e2=2(e1—4e2)，所以屈=2屈，所以；^與BD共線.因?yàn)锳B與BD有交點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.【第四課時(shí)】向量的數(shù)量積【教學(xué)重難點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】【教學(xué)重難點(diǎn)】【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】向量的夾角理解平面向量夾角的定義，并會(huì)求已知兩個(gè)非零向量的夾角直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算向量數(shù)量積的含義理解平面向量數(shù)量積的含義并會(huì)計(jì)算數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算投影向量理解a在b上的投影向量的概念數(shù)學(xué)抽象向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律，并會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理【教學(xué)過(guò)程】一、 問(wèn)題導(dǎo)入預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：什么是向量的夾角？數(shù)量積的定義是什么？投影向量的定義是什么？向量數(shù)量積有哪些性質(zhì)？向量數(shù)量積的運(yùn)算有哪些運(yùn)算律？二、 新知探究探究點(diǎn)1：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算例1：(1)已知同=6，|力|=4,a與b的夾角為60°,求(a+2b)?(a+3b).*(2)如圖，在ABCD中，|AB|=4,|AD|=3,/DAB=60°,求：?aD-bC；@aB-dA.解：(1)(a+2b)?(a+3b)=aa+5ab+6bb=|a|2+5ab+6|b|2=|a|2+5|a||b|cos60°+6|b|2=62+5x6x4xcos60°+6x42=192.(2)①因?yàn)閍d〃bc,且方向相同，所以AD與BC的夾角是0°,所以AD?BC=|AD||BC|?cos0°=3x3x1=9.②因?yàn)锳B與AD的夾角為60°,所以屈與扇的夾角為120°,所以AB?DA=|AB||D>cos120°=4乂3乂[-2]=-6.互動(dòng)探究：變問(wèn)法：若本例(2)的條件不變，求我?廚.解：因?yàn)锳C=AB+AD,Bb=Ab-AB,所以辰航=(屈+屈)?(aD-aB)=aD)2-AB2=9-16=-7.規(guī)律方法:向量數(shù)量積的求法求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵.根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算.探究點(diǎn)2：向量模的有關(guān)計(jì)算TOC\o"1-5"\h\z例2：(1)已知平面向量a與b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，晌+2b|=( )A.如 B.2展C.4 D.12(2)向量a，b滿(mǎn)足|a|=1，|a-b|=g，a與b的夾角為60°，則|b|=( )11A.3 B. 2C1 d 1C.5 D. 4解析：(1)|a+2)|=\：(a+2b)2=??...：a2+4ab+4b2=—|a|2+4|a||bcos60°+4|b|2=?、...，4+=—|a|2+4|a||b，、一… , 3一. 3 …- 1(2)由題意得|a-b|2=|a|2+|b|2-2|a||b|?cos60°=a，即1+|b|2-|b|=q，解得|b|=2.答案：(1)B(2)B規(guī)律方法：求向量的模的常見(jiàn)思路及方法求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2=|a|2,勿忘記開(kāi)方.a?a=a2=|a|2或同二寸/，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化.探究點(diǎn)3：向量的夾角與垂直命題角度一：求兩向量的夾角例3：(1)已知|a|=6，|，|=4,(a+2b)?(a—3b)=—72，則a與b的夾角為；(2)(2019高考全國(guó)卷I改編)已知非零向量a，b滿(mǎn)足|a|=2|b|，且(a—b)±b，則a與b的夾角為.解析：(1)設(shè)a與b的夾角為0,(a+2b)?(a—3b)=aa—3a,b+2b，a—6b?b=|a|2—ab—6|b|2=|a|2—|a||b|cos0—6|b|2=62—6x4xcos0—6x42=—72，所以24cos0=36+72—96=12，所以cos0=2.又因?yàn)閛』o,n］，所以o=n.(2)設(shè)a與b的夾角為0，由(a—b)^b，得(a—b)?b=0，所以ab=b2，所以cos0b2=iapj.又因?yàn)閨a|=2|b|，所以cos0=2b^=2.n又因?yàn)镺e［0，兀］，所以0=3n答案：(1)3n(2)3命題角度二：證明兩向量垂直例4：已知a，b是非零向量，當(dāng)a+^b(作R)的模取最小值時(shí)，求證：b±(a+^b).證明：因?yàn)閨a+$b|=、...,；(a+^b)2=\ja2+/2b2+2ta,b=-?...j|b|2t2+2a,bt+|a|2，所以當(dāng)'=—券=—b2時(shí)，|a+tb|有最小值.此時(shí)b(a+tb)=ba+tb2=ab+［一隼')|b|2=ab—ab=0.所以b±(a+tb).命題角度三：利用夾角和垂直求參數(shù)TOC\o"1-5"\h\z例5：(1)已知alb,|a|=2,|b|=3且向量3a+2b與ka~b互相垂直，則k的值為( ), 3 3A.—2 B.2D.1cD.1n(2)已知a,b,c為單位向重，且滿(mǎn)足3a+4b+7c=0,a與b的夾角為3,則實(shí)數(shù)2=解析：(1)因?yàn)?a+2b與ka—b互相垂直，所以(3a+2b)?(ka—b)=0,所以3ka2+(2k—3)ab—2b2=0.因?yàn)閍lb，所以ab=0,又|a|=2,|b|=3,3所以12k—18=0,k=2(2)由3a+2b+7c=0,可得7c=—(3a+2b),即49c2=9a2+22b2+62a?b,而a,b,c為單位向量，則a2=b2=c2=1,一, n則49=9+22+62cos§,即22+32—40=0,解得2=—8或2=5.答案：(1)B(2)—8或5規(guī)律方法：求向量a與b夾角的思路求向量a與b夾角的關(guān)鍵是計(jì)算ab及|a||b|,在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cosO=^b，最后借助。仁[0，n],求出0的值.在個(gè)別含有|a|,|b|與ab的等量關(guān)系中，常利用消元思想計(jì)算cos0的值.三、課堂總結(jié)兩向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,O是平面上的任意一點(diǎn)，作oA=a,OB=b，則/AOB=0(0<0<n)叫做向量a與b的夾角.(2)特例：①當(dāng)3=0時(shí)，向量a與b同向;n.②當(dāng)3=2時(shí)，向量a與b垂直，記作a±b；③當(dāng)3=n時(shí)，向量a與b反向.向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為3,把數(shù)量|a||b|cos3叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab=|a||b|cos3.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0.投影向量如圖(1)，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，AB=a，Cb=b，我們考慮如下變換：過(guò)屈的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B，，得到"］，我們稱(chēng)上述變換為向量a向向量b投影(project)，A/］叫做向量a在向量b上的投影向量.(1)如圖(2)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作OM=a，oN=b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為"，則OM］就是向量a在向量b上的投影向量.■4(2)若與b方向相同的單位向量為e，a與b(2)若與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為3，則oM1=|a|cos3e.4.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是3,e是與b方向相同的單位向量，則(1)(2)a?e=ea=|a|cos3.a±bab=0.當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=~|a||b|.特別地，aa=|a|2或|a|=???...：'aa.(4)|ab|<|a||b|.5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(3)ab=ba(交換律).(Aa)?b=>(ab)=a?(4b)(結(jié)合律).(a+b)?c=ac+bc(分配律).四、課堂檢測(cè)1.已知向量a,b滿(mǎn)足\a\=1,\b\=4,且ab=2,則a與b的夾角6為()TOC\o"1-5"\h\zn nA.6 B.4八n nc.3 d.21 n解析：選C.由題意，知ab=\a\\b\cos3=4cos3=2,所以cosO=2.又0<3<n,所以6=甘已知\a\=\b\=1,a與b的夾角是90°,c=2a+3b,d=ka~4b,c與d垂直，則k的值為()A.—6 B.6C.3 D.-3解析：選B.因?yàn)閏d=0,所以(2a+3b)?(ka—4b)=0,所以2ka2—8ab+3切?b—12b2=0,所以2k=12，所以k=6.已知\a\=3,\b\=5,ab=—12，且e是與b方向相同的單位向量，則a在b上的投影向量為.解析：設(shè)a與b的夾角6,則八ab—12 4cos6=IO|bi=K=-5，所以a在b上的投影向量為\a\cos6?e=3x[—5}12=—了?12答案：一?e已知\a\=1，\b\=?2.若a〃b，求ab；若a,b的夾角為60°,求\a+b\；若a—b與a垂直，求a與b的夾角.解：設(shè)向量a與b的夾角為6.當(dāng)a,b同向，即6=0°時(shí)，a?b=^2；當(dāng)a,b反向，即6=180°時(shí)，ab=—-《2\a+b\2=\a\2+2a,b+\b\2=3+'..j2，0+>\=“寸3+司2.由(&—b),a=0,得a2=a,b,cos0= =^■，又。仁[0,180°],故。=45°?iaiibi2高考數(shù)學(xué)：試卷答題攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜?？忌梢雷约旱慕忸}習(xí)慣和基本功，選擇執(zhí)行“六先六后”的戰(zhàn)術(shù)原則。1.先易后難。2.先熟后生。3.先同后異。先做同科同類(lèi)型的題目。4.先小后大。先做信息量少、運(yùn)算量小的題目，為解決大題贏得時(shí)間。5.先點(diǎn)后面。高考數(shù)學(xué)解答題多呈現(xiàn)為多問(wèn)漸難式的“