2008年第三章《分式》專題專練

《分式》專題專練河北劉新民專題一：分式有意義、無(wú)意義、值為零的條件考查分式有意義、無(wú)意義以及值為零的條件，是中考中考查分式概念的重要題型．分式的分母是一個(gè)含有字母的式子，分母的值隨著式子中字母取值不同而變化，字母所取的值很可能使分母的值為零，這時(shí)分式就無(wú)意義了，所以分式有意義的條件是分母不等于零;分式的值為零的條件是分子為零并且分母不等于零．例1．若分式的值為零，則x的值為（）A．0B．1C．1D．±1分析：分式的值為零，必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件①分式的分子等于0；②分式的分母不等于0．解：因?yàn)?，所以x=±1．代入分母，當(dāng)x=1時(shí)，分母≠0；當(dāng)x=-1時(shí)，分母=0．所以當(dāng)x=1時(shí)，分式的值為零．故應(yīng)選B．評(píng)注：對(duì)于此題切不可將分式進(jìn)行約分，否則就會(huì)引起字母的取值范圍發(fā)生變化．例2．（2007，山東淄博）寫出一個(gè)含有字母的分式（要求：不論取任何實(shí)數(shù)，該分式都有意義，且分式的值為負(fù)）_____________.分析：本題是列代數(shù)式的開放題，通過(guò)審題明確本題列代數(shù)式的要求：①是含有字母的分式；②不論取任何實(shí)數(shù)，該分式的分母不等于零；③分式的值恒為負(fù)．解：本題的答案不唯一，如、等．評(píng)注：當(dāng)遇到代數(shù)式的值恒為正或恒為負(fù)時(shí)，應(yīng)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)或非正數(shù)問(wèn)題．相關(guān)練習(xí)：1．若的值為零，則x的值是（）A、B、1C、2．當(dāng)時(shí)，分式的值（）A．沒(méi)有意義B．等于零C．等于1D．等于3．寫出一個(gè)分子為x－5的分式，且知它在x≠1時(shí)有意義的分式__________．4．若分式不論取何實(shí)數(shù)時(shí)總有意義，求的取值范圍．5．指出下列解題過(guò)程是否存在錯(cuò)誤，若存在，請(qǐng)加以改正并求出正確的答案．題目：當(dāng)x為何值，分式有意義？解：=，由x-2≠0，得x≠2．所以當(dāng)x≠2時(shí)，分式有意義．專題二：分式的基本性質(zhì)分式的基本性質(zhì)是分式的重要內(nèi)容，分式的基本性質(zhì)與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類似，是分式變形、通分、約分的依據(jù)，因而是中考中常考的知識(shí)點(diǎn)，涉及到的題型有約分、通分、分式的變形以及化簡(jiǎn)求值等．分式基本性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是恒等變形，即“形”變而“分式的值”不變，不能等同于等式的性質(zhì)．例3．下列各式從左到右的變形正確的是（）A、B、C、D、分析：本題主要考查分式的基本性．分式的基本性質(zhì)是解決分式運(yùn)算的原則，應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)，要深刻理解“都”與“同”兩個(gè)字的含義，避免出現(xiàn)只乘分子或分母一項(xiàng)的錯(cuò)誤．解：對(duì)于A，由分式的基本性質(zhì)知；對(duì)于B，由分式的基本性質(zhì)知；對(duì)于C，由變號(hào)法則知；對(duì)于D，由變號(hào)法則知．綜上所述，變形正確的應(yīng)為A．評(píng)注：在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)解題時(shí)，要特別注意性質(zhì)中都和同這兩個(gè)字的含義，有不少同學(xué)解這類問(wèn)題時(shí)，忽視這一點(diǎn)，犯了不該犯的錯(cuò)誤，望引起重視．例4．（2007，安徽蕪湖）如果，則=()A．B．1C．D．2分析：對(duì)于此題，可以用含有其中的一個(gè)字母的代數(shù)式表示出另一個(gè)字母，再代入、約分即可．解：因?yàn)?，所以，則，故選B．評(píng)注：“主元法”是含條件分式求值的常用方法，它可以有效地起到消元、降次的作用．相關(guān)練習(xí)：1．若分式中的x、y的值都變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，則此分式的值（）A．不變B．是原來(lái)的3倍C．是原來(lái)的D．是原來(lái)的2．將約分的結(jié)果為（）A. B.a6y2C.a2y2 D.axy(2)÷=×==．∴高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的倍．評(píng)注：（1）中對(duì)分母用了比差的方法，其中有a>1的隱含條件，是通過(guò)題意反映出來(lái)的．由“A玉米試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為a米的正方形減去邊長(zhǎng)為1米的正方形蓄水池后余下部分”，可知邊長(zhǎng)a米一定要大于1米，才能留出蓄水池后還有剩余．在解題時(shí)，對(duì)隱含條件的挖掘，往往在關(guān)鍵時(shí)刻顯示出重要作用．此外將數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題賦予實(shí)際生活背景，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是近年來(lái)中考命題的思路之一．相關(guān)練習(xí)：1．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．2．下列算式中，你認(rèn)為錯(cuò)誤的是（）A、B、C、D、3．已知兩個(gè)分式：，，其中，則A與B的關(guān)系是（）A．相等B．互為倒數(shù)C．互為相反數(shù)D．A大于B4．對(duì)于試題：“先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．”某同學(xué)寫出了如下解答：解：.當(dāng)時(shí)，原式．她的解答正確嗎？如不正確，請(qǐng)你寫出正確解答．5．甲、乙二人一個(gè)月里兩次同時(shí)到一家糧油商店買大米，兩次大米的價(jià)格有變化，但他們兩人購(gòu)買的方式不一樣，其中甲每次總是購(gòu)買相同重量的大米，乙每次只能拿出相同數(shù)量的錢來(lái)買米，而不管能買多少，問(wèn)這兩種買米方式哪一種更合算？請(qǐng)說(shuō)明理由．專題四：分式方程的解法分式方程的解法是分式方程應(yīng)用的基礎(chǔ)，在近兩年中考中，關(guān)于分式方程解法的題目日益增多．分式方程是轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解的，它是通過(guò)去分母實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的．此外，分式方程的增根也應(yīng)引起同學(xué)們的注意．分式方程的增根須滿足的以下兩個(gè)條件：（1）是由分式方程化成的整式方程的根；（2）使分式方程中的最簡(jiǎn)公分母為零．例7．（2007，甘肅隴南）解方程：．分析：因?yàn)榕c互為相反數(shù)，所以可提取負(fù)號(hào)，先變?yōu)橥帜阜质?，再去分母，將分式方程化為整式方程．解：原方程即，方程兩邊都乘?)，得．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的增根，∴原方程無(wú)解．評(píng)注：去分母的關(guān)鍵是找出最簡(jiǎn)公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但還應(yīng)注意：（1）靈活運(yùn)用分式符號(hào)法則，有時(shí)將能使最簡(jiǎn)分母更簡(jiǎn)單，（2）方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，別忘了常數(shù)項(xiàng)相乘（3）當(dāng)去分母時(shí)，分?jǐn)?shù)線消失，應(yīng)在分子部分添上括號(hào)，并且要特別注意符號(hào)．例8．（2007，湖北婁底）若方程無(wú)解，則m的值為（）A．B．3C．或3D．或分析：把分式方程化為整式方程，若整式方程無(wú)解，則分式方程一定無(wú)解；若整式方程有解，但要使分式方程無(wú)解，則該解必為使公分母為0時(shí)對(duì)應(yīng)的未知數(shù)的值，此時(shí)相應(yīng)的字母系數(shù)值使分式方程無(wú)解．解：去分母，得(3-2x)-(2+mx)=3-x,整理,得(m+1)x=-2．若m+1=0，則m=，此時(shí)方程無(wú)解；若m+1≠0，則x=是增根．因?yàn)?3，所以m=．所以m的值為或，故應(yīng)選D．評(píng)注：方程無(wú)解的條件，關(guān)鍵是看轉(zhuǎn)化后的整式方程解的情況．既要考慮整式方程無(wú)解的條件，又要考慮整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考慮問(wèn)題要全面、周到．相關(guān)練習(xí)：1．分式方程的解為（）A.B.C.D.2．解分式方程時(shí)，去分母后得()A.B.C.D.3．關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）Ａ． Ｂ．且 Ｃ． Ｄ．或4．解方程：．5．已知關(guān)于的方程有一個(gè)正數(shù)解，求的取值范圍．專題五：分式方程的應(yīng)用在近兩年的中考中，分式方程應(yīng)用的題目一直不少，小到選擇、填空，大到解答題，都有分式方程應(yīng)用的題目，所以作為一種方程類型，分式方程的應(yīng)用一定要引起同學(xué)們的高度重視，掌握解題的方法和步驟．列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，解題的關(guān)鍵是，認(rèn)真審題，找出題中的等量關(guān)系．列分式方程解應(yīng)用題時(shí)必須驗(yàn)根，一是檢驗(yàn)求出的根是不是原分式方程的根；二是檢驗(yàn)求出的根是否符合實(shí)際問(wèn)題．例9．（2007，山東威海）甲、乙兩火車站相距1280千米，采用“和諧”號(hào)動(dòng)車組提速后，列車行駛速度是原來(lái)速度的3.2倍，從甲站到乙站的時(shí)間縮短了11小時(shí)，求列車提速后的速度．分析：本題可以根據(jù)以下兩種數(shù)量關(guān)系列方程求解：⑴列車提速前的時(shí)間－提速后的時(shí)間＝11小時(shí)；⑵列車提速前的速度×3.2＝列車提速后的速度．解：解法一：設(shè)列車提速前的速度為千米/時(shí)，則提速后的速度為千米/時(shí)，根據(jù)題意，得．解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根．（千米/時(shí)）．所以列車提速后的速度為256千米/時(shí)．解法二：設(shè)列車提速后從甲站到乙站所需時(shí)間為小時(shí)，則提速前列車從甲站到乙站所需時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)題意，得．解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根．所以列車提速后的速度為＝＝256千米/時(shí)．評(píng)注：列分式方程與列整式方程一樣，注意找出應(yīng)用題中數(shù)量間的相等關(guān)系．設(shè)好末知數(shù)，列出方程，不同之處是，所列方程是分式方程，最后要進(jìn)行檢驗(yàn)，既要檢驗(yàn)是否為所列分式方程的解，又要檢驗(yàn)其是否符合題意．相關(guān)練習(xí)：1．某化肥廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)化肥噸，由于采取了新技術(shù)，每天多生產(chǎn)化肥3噸，實(shí)際生產(chǎn)180噸與原計(jì)劃生產(chǎn)120噸的時(shí)間相等，那么適合的方程是（）A.B.C.D.2．甲乙兩地相距135千米，兩輛汽車從甲地開往乙地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時(shí)，小汽車比大汽車晚到30分鐘，小汽車和大汽車的速度之比為5：2，則小汽車的速度是_____千米/時(shí)．3．某自來(lái)水公司水費(fèi)計(jì)算辦法如下：若每戶每月用水不超過(guò)5m3，則每立方米收費(fèi)1.5元，若每戶每月水超過(guò)5m3，則超出部分每立方米收取較高的定額費(fèi)用，1月份，張家用水量是李家用水量的，張家當(dāng)月水費(fèi)是17.5元，李家當(dāng)月水費(fèi)是27.5元，超出5m34．某商場(chǎng)銷售某種商品，第一個(gè)月將此商品的進(jìn)價(jià)提高25%作為銷售價(jià)，共獲利6000元．第二個(gè)月商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)，將商品的進(jìn)價(jià)提高10%作為銷售價(jià)，第二個(gè)月的銷售量比第一個(gè)月增加了80件，并且商場(chǎng)第二個(gè)月比第一個(gè)月多獲利400元．問(wèn)此商品的進(jìn)價(jià)是多少元？商場(chǎng)第二個(gè)月共銷售多少件？5．為了使貧困同學(xué)能順利讀完九年義務(wù)教育，我校組織了捐款活動(dòng)．小華對(duì)七年級(jí)八年級(jí)兩班捐款的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下三條信息：信息一：七年級(jí)共捐款300元，八年級(jí)共捐款232元．信息二：八年級(jí)平均每人捐款錢數(shù)是八年級(jí)平均每人捐款錢數(shù)的．信息三：七年級(jí)比八年級(jí)多2人．請(qǐng)你根據(jù)以上三條信息，求出七年級(jí)平均每人捐款多少元．相關(guān)練習(xí)參考答案專題一1．C2．A3．不唯一，如4．，根據(jù)題意可知，由于，所以，即．5．在分式的分子、分母同除以(x+1)可能為零的代數(shù)式，擴(kuò)大了x的取值范圍．正解:由(x+1)(x-2)≠0，得x+1≠0，且x-2≠0，所以x≠-1且x≠2．當(dāng)x≠-1且x≠2時(shí)，分式有意義．專題二1．A2．B3．A4．（1）原式；（2）原式．5．把的分子分母同時(shí)除以，得，把代入，原式＝.專題三1．A2．B3．C4．正確；．5.設(shè)兩次大米的單價(jià)分別為元/千克、元/千克（），則甲平均每千克花了元，乙平均每