提優(yōu)題型五 圓的相關(guān)證明與計(jì)算1 圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算（專題訓(xùn)練）（解析版）

題型五圓的相關(guān)證明與計(jì)算類型一圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算（專題訓(xùn)練）1.如圖，是的外接圓，，若的半徑為2，則弦的長(zhǎng)為（）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，是的外接圓，，，又，，，，在中，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．2.如圖，是的內(nèi)接三角形，，，連接，，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)正弦的定義求出，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，則，由圓周角定理得：，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．3.設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當(dāng)r＝時(shí)，S側(cè)有最大值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．4.如圖，AB為的直徑，C，D為上的兩點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算出，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：連接AD，如圖，AB為的直徑，，，．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弦所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.5.如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長(zhǎng)，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD==8，∴cos∠ADC==，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、圓周角、銳角三角函數(shù)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出cos∠ADC的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．6.如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根據(jù)垂徑定理求出AE=3，然后證明三角形OAC是等邊三角形，從而可以得到∠OAE=30°，再利用三線合一定理求解即可.【詳解】解：如圖所示，連接OA，AC，OC，OC交AB于E，∵C是弧AB的中點(diǎn)，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3，∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°，又∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形，∵OC⊥AB,∴，,∴∴∴圓心O到弦AB的距離為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.7.如圖，∠BAC＝36°，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（）A．27° B．29° C．35° D．37°【答案】A【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OD，∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．8.如圖，點(diǎn)C是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，則sin∠BOC的值是（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AC＝4，BC＝3，

∴AB＝，

∴OC＝AB＝，

∵＝?AB?CH＝?AC?BC，

∴CH＝，

∴sin∠BOC＝＝，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求出CH的長(zhǎng)，屬于中考常考題型．9.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC，則∠C的度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】B【分析】直接根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，∴∠C=90°故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，靈活掌握半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角是解答此題的關(guān)鍵．10.如圖，是⊙O的直徑，點(diǎn)、在⊙O上，，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍得到∠BOC=2∠BDC=40°，即可求出答案.【詳解】∵,∴∠BOC=2∠BDC=40°，∴∠AOC=180°-∠BOC=140°，故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理：同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，鄰補(bǔ)角的定義.11.如圖，內(nèi)接于圓，，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CAB.【詳解】解：連接OC，∵CP與圓O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB為直徑，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，外角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠COP.12.如圖，已知是的直徑，是弦，若則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先由圓周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根據(jù)是的直徑確定∠ADB=90°，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可解答．【詳解】解：∵是弦，若∴∠DAB=∠BCD=36°∵是的直徑∴∠ADB=90°∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和直角三角形的性質(zhì)，靈活利用圓周角定理是解答本題的關(guān)鍵．13.如圖，是圓上一點(diǎn)，是直徑，，，點(diǎn)在圓上且平分弧，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由是圓O的直徑，可得∠A=∠D=90°，又在圓上且平分弧，則∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出BC長(zhǎng)，從而可求DC的長(zhǎng).【詳解】解：∵是圓O的直徑，∴∠A=∠D=90°.又在圓上且平分弧，∴∠CBD=∠BCD=45°，即△BCD是等腰直角三角形.在Rt△ABC中，，，根據(jù)勾股定理，得BC==2.∵△BCD是等腰直角三角形，∴CD==.故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14.如圖，四邊形的外接圓為⊙，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及等邊對(duì)等角，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，利用角的和差運(yùn)算即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查同弧所對(duì)的圓周角相等、三角形的內(nèi)角和、等邊對(duì)等角，熟練應(yīng)用幾何知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15.在中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點(diǎn)C．若OC：OB＝3：5，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后利用垂徑定理和勾股定理解答即可．【詳解】解：如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∵DE⊥AB，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理和勾股定理，屬于常考題型，正確得出CO的長(zhǎng)、熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．16.如圖，是的半徑，過(guò)點(diǎn)作的切線，且，，分別交于點(diǎn)，，求證：【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】首先得出，推出OA=OB，再利用OA-OC=OB-OD得出結(jié)果即可．【詳解】解：∵AB是⊙O的切線，∴，∵M(jìn)A=MB，OM=OM，∴，∴OA=OB，∵OC，OD都是⊙O的半徑，∴OC=OD，∴OA-OC=OB-OD，即AC=BD．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)及全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定．17.如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)弦交于點(diǎn)且．（1）求證：是的切線；（2）求的直徑的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）的直徑的長(zhǎng)度為【解析】【分析】(1)先用勾股定理的逆定理證明△AEM為直角三角形，且∠AEM=90°，再根據(jù)MN∥BC即可證明∠ABC=90°進(jìn)而求解；(2)連接BM，由AB是直徑得到∠AMB=90°，再分別在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．【詳解】解：(1)，，為的直徑，是的切線．(2)如圖，連接

為的直徑，又，即，，∴的直徑的長(zhǎng)度為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓中切線的證明，圓周角定理，直角三角形中銳角的三角函數(shù)的求法，熟練掌握切線的性質(zhì)和判定及銳角三角函數(shù)的定義是解決此類題的關(guān)鍵．18.如圖，圓是的外接圓，其切線與直徑的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且．（1）求的度數(shù)；（2）若，求圓的半徑．【答案】（1）的度數(shù)為；（2）圓O的半徑為2．【解析】【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），設(shè)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出x的值，從而可得的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可得；（2）如圖（見(jiàn)解析），設(shè)圓O的半徑為，先根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）如圖，連接OA設(shè)，AE是圓O的切線，即在中，由三角形的內(nèi)角和定理得：即解得則由圓周角定理得：故的度數(shù)為；（2）如圖，連接AD設(shè)圓O的半徑為，則BD是圓O的直徑由（1）可知，則在中，在中，由勾股定理得：，即解得或（不符題意，舍去）則圓O的半徑為2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過(guò)作輔助線，利用圓周角定理是解題關(guān)鍵．19.如圖，在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與邊相交于點(diǎn)，連接，當(dāng)為的切線時(shí)．（1）求證：；（2）若的半徑為1，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為__________．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，從而