吉林省梅河口市博文中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

吉林省梅河口市博文中學(xué)2024年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．82．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為，且，則（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的焦距為，過左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或6．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．1607．如圖，平面四邊形中，，，，，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是A．1或 B．或 C．1或 D．或9．點(diǎn)是單位圓上不同的三點(diǎn)，線段與線段交于圓內(nèi)一點(diǎn)M，若，則的最小值為（）A． B． C． D．10．在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．11．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．2912．已知滿足，，,則在上的投影為（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則__________.14．已知實(shí)數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y15．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為________．16．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長是__________，弧田的面積是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極小值；（3）求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．18．（12分）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知是遞增的等比數(shù)列，，且、、成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求線段的長.21．（12分）如圖，已知四棱錐，平面，底面為矩形，，為的中點(diǎn)，.（1）求線段的長.（2）若為線段上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.22．（10分）已知直線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：（1）將直線的參數(shù)方程化為普通方程，圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點(diǎn)求出即可.【詳解】因?yàn)椋?，故，解得，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.2、C【解析】

令，求出在的對稱軸，由三角函數(shù)的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.3、C【解析】

設(shè)線段的中點(diǎn)為，判斷出點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點(diǎn)，所以，而，根據(jù)雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.4、A【解析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的等價條件，得到，分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，解得，故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的充分不必要條件．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

因?yàn)?所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.6、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式，是基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由題意可得面，可知，因?yàn)?，則面，于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點(diǎn)，進(jìn)而算出，外接球半徑為1，得出結(jié)果.【詳解】解：由，翻折后得到，又，則面，可知．又因?yàn)?，則面，于是，因此三棱錐外接球球心是的中點(diǎn)．計(jì)算可知，則外接球半徑為1，從而外接球表面積為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識，屬于中檔題．8、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論．【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離．①當(dāng)時，，∴，∴．②當(dāng)時，，∴，∴．綜上可得的值是或．故選B．【點(diǎn)睛】利用三角函數(shù)的定義求一個角的三角函數(shù)值時需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r，然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可．9、D【解析】

由題意得，再利用基本不等式即可求解．【詳解】將平方得，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．10、A【解析】

在中，設(shè)，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設(shè)，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，為線段上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得，，設(shè)，，則，，，，，消去得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問題，解題的關(guān)鍵是理解是一個單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關(guān)系，解決本題的第二個關(guān)鍵點(diǎn)在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計(jì)算能力，屬于難題.11、D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.【詳解】在上的投影為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先利用，將其兩邊同時平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到，從而求得，利用誘導(dǎo)公式求得，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，故答案?【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡求值問題，涉及到的知識點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式，誘導(dǎo)公式，屬于簡單題目.14、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式：2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y，即x=328故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角換元求得答案.15、【解析】

解法一：曲線上任取一點(diǎn)，利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線的距離的最小值；解法二：曲線函數(shù)解析式為，由求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出切點(diǎn)到直線的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，曲線上任意一點(diǎn)到直線距離的最小值為；解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線的函數(shù)解析式為，則，設(shè)過曲線上任意一點(diǎn)的切線與直線平行，則，解得，當(dāng)時，到直線的距離；當(dāng)時，到直線的距離.所以曲線上任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查曲線上一點(diǎn)到直線距離最小值的計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為利用切線與直線平行來找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線的距離，也可以設(shè)曲線上的動點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、612π﹣9【解析】

過作，交于，先求得圓心角的弧度數(shù)，然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積，求得弧田的面積.【詳解】∵如圖，弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，過作，交于，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面積S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案為：6，12π﹣9．【點(diǎn)睛】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計(jì)算，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）極小值；（3）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為．【解析】

（1）求出和的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值；（3）由當(dāng)時，以及，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?，所以．所以，．所以曲線在點(diǎn)處的切線為；（2）因?yàn)?，令，得或．列表如下?極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，當(dāng)時，函數(shù)有極小值；（3）當(dāng)時，，且．由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18、（1）；（2）【解析】

（1）將有兩個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個相異實(shí)根，令求導(dǎo)，利用其單調(diào)性和極值求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為對一切恒成立，令，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，求出其最值即可得結(jié)果.【詳解】（1）有兩個零點(diǎn)關(guān)于的方程有兩個相異實(shí)根由，知有兩個零點(diǎn)有兩個相異實(shí)根.令，則，由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令令，，則在上單增又，，使即①當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在遞減，在遞增，由①知函數(shù)在單調(diào)遞增即，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出的值，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意及，知.、、成等差數(shù)列成等差數(shù)列，，，即，解得或（舍去），.數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（Ⅱ），.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的求解，同時也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）l：，C：；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

（2）由（1）可得曲線是圓，求出圓心坐標(biāo)及半徑，再求得圓心到直線的距離，即可求得的長.【詳解】（1）由題意可得直線：，由，得，即，所以曲線C：.（2）由（1）知，圓，半徑.∴圓心到直線的距離為：.∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法、運(yùn)算求解能力，是中檔題．21、（1）的長為4（2）【解析】

（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量垂直關(guān)系計(jì)算得到答案.（2）計(jì)算平面的法向量為，為平面的一個法向量，再計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】（1）分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，所以.，因?yàn)?，所以，即，解得，所以的長為4.（2）因?yàn)?，所以，又，?設(shè)為平面的法向量，則即取，解得，所以為平面的一個法向量.顯然，為平面的一個法向量，則，據(jù)圖可知，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的線段長度，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空