第五章二元一次方程組【復(fù)習】（北師大版）

第五章二元一次方程組

相關(guān)概念一1.二元一次方程:通過化簡后,只有兩個未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1,系數(shù)都不是0的整式方程,叫做二元一次方程.2.二元一次方程的解:使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值,叫做二元一次方程的解.3.二元一次方程組:由兩個一次方程組成,共有兩個未知數(shù)的方程組,叫做二元一次方程組.4.二元一次方程組的解:二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做二元一次方程組的解.5.方程組的解法根據(jù)方程未知數(shù)的系數(shù)特征確定用哪一種解法.基本思想或思路——消元常用方法————代入法和加減法用代入法解二元一次方程組二

(1)求表達式：從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將此方程中的一個未知數(shù)，如y，用含x的代數(shù)式表示;

(2)把這個含x的代數(shù)式代入另一個方程中，消去y，得到一個關(guān)于x的一元一次方程；

(3)解一元一次方程，求出x的值;

(4)再把求出的x的值代入變形后的方程，求出y的值.用加減法解二元一次方程組三

(1)利用等式性質(zhì)把一個或兩個方程的兩邊都乘以適當?shù)臄?shù)，變換兩個方程的某一個未知數(shù)的系數(shù)，使其絕對值相等；

(2)把變換系數(shù)后的兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得一元一次方程；

(3)解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；

(4)把所求的這個未知的值代入方程組中較為簡便的一個方程，求出另一個未知數(shù)，從而得到方程組的解.列二元一次方程解決實際問題的一般步驟四審：設(shè)：列：解：答：審清題目中的等量關(guān)系．設(shè)未知數(shù)．根據(jù)等量關(guān)系，列出方程組．解方程組，求出未知數(shù)．檢驗所求出未知數(shù)是否符合題意，寫出答案．二元一次方程與一次函數(shù)五二元一次方程組和一次函數(shù)的圖象的關(guān)系方程組的解是對應(yīng)的兩條直線的交點坐標兩條線的交點坐標是對應(yīng)的方程組的解二元一次方程和一次函數(shù)的圖象的關(guān)系以二元一次方程的解為坐標的點都在對應(yīng)的函數(shù)圖象上.一次函數(shù)圖象上的點的坐標都適合對應(yīng)的二元一次方程.例

把一些圖書分給某班學生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺25本.這個班有多少學生？【思路點撥】設(shè)兩個未知數(shù)→找兩個等量關(guān)系→列方程組→

解方程組→寫答案【自主解答】設(shè)這個班有x名學生，圖書一共有y本.

答：這個班有45名學生．解得二元一次方程組的應(yīng)用1.某種儀器由1個A部件和1個B部件配套構(gòu)成，每個工人每天可以加工A部件1000個或者加工B部件600個，現(xiàn)有工人16名，應(yīng)怎樣安排人力，才能使每天生產(chǎn)的A部件和B部件配套？解：設(shè)安排生產(chǎn)A部件和B部件的工人分別為x人,y人.根據(jù)題意列方程組得解得答：安排生產(chǎn)A部件和B部件的工人分別為6人，10人.針對訓練2.在水果店里，小李買了5kg蘋果，3kg梨，老板少要2元，收了50元；老王買了11kg蘋果，5kg梨，老板按九折收錢，收了90元，該店的蘋果和梨的單價各是多少元？解：設(shè)該店的蘋果的單價是每千克x元，梨的單價是每千克y元.由題意得解得答：該店的蘋果的單價是每千克5元，梨的單價是每千克9元.3.某高速的建設(shè)正在緊張地進行，現(xiàn)有大量的沙石需要運輸．某車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石．求該車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？解：設(shè)該車隊載重量為8噸、10噸的卡車分別有x輛、y輛，

根據(jù)題意得：解得答：該車隊載重量為8噸的卡車有5輛，10噸的卡車有7輛.解二元一次方程組的基本思想是“消元”，消元的方法有代入消元法和加減消元法.代入消元法、加減消元法要根據(jù)方程組的特點靈活選用，對于方程組中的非整系數(shù)方程應(yīng)先整理成整系數(shù)方程再選擇合適的消元方法解方程組.解法小結(jié)例1若3x2a+b+1+5ya－2b－1+5=0是關(guān)于x,y的二元一次方程，則a=______，b=______.【思路點撥】根據(jù)二元一次方程的定義→確定2a+b+1和a-2b-1的值→列出關(guān)于a,b的二元一次方程組→解方程組求a,b的值.【自主解答】由題意知解得答案：考點講練考點一二元一次方程（組）的有關(guān)概念1.若是關(guān)于x,y的二元一次方程ax-3y=1的解，則a的值為(

)

A.-5B.-1

C.2

D.7D針對訓練2.已知是二元一次方程組的解，則2m-n的值為(

)A.8B.4

C.2

D.1B例2

解方程組【思路點撥】方法一：由①用y表示x，用代入消元法.【自主解答】方法一：由①得

x=-2y.③把③代入②得3×(-2y)+4y

=6.解得y=-3.將y=-3代入③得

x=6,所以原方程組的解是考點二等式的基本性質(zhì)考點二解二元一次方程組【思路點撥】方法二：用加減消元法消去x.【自主解答】方法二：①×3，得3x+6y=0,③③-②，得2y=-6,所以y=-3.把y=-3代入①，得x=6,所以原方程組的解是3.已知方程組則x+y的值為(

)

A.-1

B.0

C.2

D.3D4.解方程組解：①+②,得3x=18,解得x=6.將x=6代入①，得6+3y=12,解得y=2.所以方程組的解是針對訓練5.已知關(guān)于x,y的方程組的解為

求m，n的值.

解:把代入

得解得考點三實際問題與一次方程（組）例3.一輪船在甲、乙兩碼頭間往返航行，已知船在靜水中速度為7km/h，水流速度為2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙兩碼頭之間的距離．相等關(guān)系：順水航行時間＋逆水航行時間＝往返一次共用時間．一行程問題解：設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離是xkm，依題意得解得x=90

答：甲、乙兩碼頭之間的距離是90km方法總結(jié)：（1）順水航行所用時間+逆水航行所用時間=總時間.（2）順流速度=船在靜水中的速度+水流速度.

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度.針對訓練3.小明從家里騎自行車到學校，每小時騎15千米，可早到10分鐘；每小時騎12千米，就會遲到5分鐘，則他家到學校的路程是多少千米？解：設(shè)他家到學校的路程是x千米，依題意得解得x=15

答：他家到學校的路程是15千米.二等積變形問題例4.用直徑90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水）向一個底面積為125×125mm2，內(nèi)高81mm的長方體鐵盒倒?jié)M水時，玻璃杯中的水的高度下降了多少mm?(結(jié)果保留整數(shù)）相等關(guān)系：玻璃杯中倒出水的體積=長方體鐵盒的體積．解：設(shè)玻璃杯中的水的高度下降了x

mm.依題意得解得x≈199.

答：玻璃杯中的水的高度下降了199mm.針對訓練4.

已知一圓柱形容器底面直徑為0.5m,高為1.5m,里面盛有1m深的水，將底面直徑為0.3m，高為0.5m的圓柱形鐵塊沉入水中，問容器內(nèi)水面將升高多少？相等關(guān)系：圓柱內(nèi)升高部分的體積=圓形鐵塊的體積．解：設(shè)容器內(nèi)的水面將升高xm.依題意得解得x=0.18.

答：容器內(nèi)的水面將升高0.18m.例5.某農(nóng)戶把手頭一筆錢買了年利率為2.89%的3年期國庫券.如果他想3年后得到2萬元，現(xiàn)應(yīng)買這種國庫券多少？三儲蓄問題解：設(shè)現(xiàn)應(yīng)購買這種國庫券x元.相等關(guān)系：本息和=本金+利息=本金+本金×利率×年數(shù)．依題意得x+

2.89%×3x=20000.

解得x=18404

.答：現(xiàn)應(yīng)買這種國庫券18404元.針對訓練5.

小紅的父親在停征利息稅后存入了一種年利率為2.43%的兩年儲蓄，到期后，所得利息正好給小紅買了一個價格為121.5元的計算器，那么小紅的父親存入了多少元錢？解：設(shè)小紅的父親存入了x元錢.相等關(guān)系：利息=本金×年利率×年數(shù)．依題意得2.43%×2x=121.5

.

解得x=2500

.答：小紅的父親存入了2500元.例6.某種商品零售價每件900元，為了適應(yīng)市場競爭，商店按零售價的9折降價并讓利40元，仍可獲利10%，則這種商品的進貨每件多少元？四銷售問題解：設(shè)這種商品進貨每件為x元.相等關(guān)系：標價×折扣÷10-40=進價×(1+10%)依題意得(1+10%)x=900×9÷10-40

.

解得x=700

.答：這種商品進貨每件為700元.方法歸納：（1）售價=標價×折扣÷10.（2）售價=進價+利潤=進價×（1+利潤率）.針對訓練6.一件衣服按標價的6折出售，店主可賺22元.已知這件衣服的進價是50元，問標價是多少元？解：設(shè)這件衣服的標價為x元.相等關(guān)系：標價×折扣÷10=進價+利潤.依題意得.

解得x=120

.答：這件衣服的標價為120元.五百分率問題例7.已知現(xiàn)有含鹽20%與含鹽8%的鹽水，若需配置含鹽15%的鹽水300千克，求這兩種鹽水各需多少千克？相等關(guān)系：含鹽20%的鹽水質(zhì)量+含鹽8%的鹽水質(zhì)量=300.

兩種鹽水中的含鹽量之和