經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（第三版） 課件 第一章 經(jīng)濟(jì)中常用函數(shù)的描述

第一章

經(jīng)濟(jì)中常用函數(shù)的描述目

錄CONTENTS1市場(chǎng)需求問題及解決方案MarketdemandproblemsandSolutions2使用MathStudio繪制函數(shù)圖像Drawingfunctionimagesusingmathstudio3常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)Commoneconomicfunction4進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)：函數(shù)Furthermathematicsknowledge:function市場(chǎng)需求問題及解決方案MarketdemandproblemsandSolutions1一、問題引入某城市滴滴快車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下(1)小趙7:30坐車6公里，時(shí)間35分鐘，產(chǎn)生的費(fèi)用是多少？(2)小趙22:00后坐車6公里，時(shí)間20分鐘，產(chǎn)生的費(fèi)用是多少？(3)小趙22:00后坐車16公里，時(shí)間42分鐘，產(chǎn)生的費(fèi)用又是多少？時(shí)間里程費(fèi)（12公里以內(nèi)）里程費(fèi)（12公里以外）工時(shí)費(fèi)05:00~22:001.6元/公里

0.30元/分鐘22:00~次日05:001.9元/公里

全天

2.6元/公里引例一、問題引入小趙坐車費(fèi)用:里程費(fèi)

+工時(shí)費(fèi)里程長(zhǎng)，空置率高

→有了遠(yuǎn)途費(fèi).具體：里程→里程費(fèi)；

工時(shí)→工時(shí)費(fèi)，抽象：變量x→變量y問題分析

比較問題(1)和問題(2)：分析問題(3)22:00后交通更順暢，總費(fèi)用更低。進(jìn)一步思考二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義設(shè)X和Y是兩個(gè)集合，如果對(duì)于每一個(gè)

，按照對(duì)應(yīng)法則f

,都有唯一的

與之對(duì)應(yīng)，則稱X

和Y

之間存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系f,一般記為二、函數(shù)的概念2.函數(shù)關(guān)系的表示法（1）解析法（2）表格法涵義函數(shù)關(guān)系y=f(x)(GDP與年份的關(guān)系,單位:億美元)集合年份2004200520062007200820092010XGDP19316223442680134022430264996459847Y表1-1中國(guó)2004年~2010年GDP與年份的關(guān)系二、函數(shù)的概念（3）圖像法正切函數(shù)的圖像函數(shù)圖像2.函數(shù)關(guān)系的表示法圖1-1正切函數(shù)圖像

圖1-2的圖像三、函數(shù)關(guān)系的建立例1.1某企業(yè)組裝某產(chǎn)品每日最多100套，其中組裝場(chǎng)地、組織設(shè)備占用費(fèi)用為11300元，每套產(chǎn)品組裝人員計(jì)件工資10元、半成品成本1000元、材料費(fèi)用10元，電費(fèi)2元，試建立該企業(yè)產(chǎn)品的日生產(chǎn)成本函數(shù).1.推演公式法

解

固定成本為組裝場(chǎng)地、組織設(shè)備占用費(fèi)用11300元，每套產(chǎn)品增加的成本為10+1000+10+2=1022元.如果每日生產(chǎn)的產(chǎn)量為x套，則日生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本為生產(chǎn)100套的成本為113500元,于是,

三、函數(shù)關(guān)系的建立車費(fèi)y與里程數(shù)x

之間可以建立函數(shù)關(guān)系式如：設(shè)快車的平均車速v=48公里/小時(shí)時(shí)間里程費(fèi)（12公里以內(nèi)）里程費(fèi)（12公里以外）工時(shí)費(fèi)05:00~22:001.6元/公里

0.30元/分鐘22:00~次日05:001.9元/公里

全天

2.6元/公里引例時(shí)間里程數(shù)時(shí)長(zhǎng)22:00到次日05:00

x推演公式法是建立函數(shù)關(guān)系的主要方法,使用推演公式法可得到三、函數(shù)關(guān)系的建立整理,得則車費(fèi)y與里程數(shù)x的分段函數(shù)模型如下:里程費(fèi)工時(shí)費(fèi)12公里里程費(fèi)12公里外的里程費(fèi)工時(shí)費(fèi)像這種對(duì)于自變量x的不同取值范圍,函數(shù)f(x)有不同的解析式,則稱這種函數(shù)為分段函數(shù).三、函數(shù)關(guān)系的建立2．?dāng)?shù)據(jù)對(duì)應(yīng)法例1.2建立函數(shù)的數(shù)值關(guān)系.解隨著n不斷增大，E(n)將趨向于一個(gè)無理常數(shù)e，稱為自然對(duì)數(shù)的底，如表1-2.表1-2自然對(duì)數(shù)底e的推演n1234510100100010000……E(n)22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718……三、函數(shù)關(guān)系的建立3.趨勢(shì)模擬法例1.3某學(xué)校10年間在校學(xué)生數(shù)和教學(xué)經(jīng)費(fèi)如表1-3所示，試根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出在校學(xué)生數(shù)與教學(xué)經(jīng)費(fèi)的函數(shù)關(guān)系圖像，并作出簡(jiǎn)單解釋.

表1-3在校學(xué)生數(shù)和教學(xué)經(jīng)費(fèi)數(shù)據(jù)表年份199920002001200220032004200520062007在校學(xué)生(人)5000600070008000900010000110001200013000教學(xué)經(jīng)費(fèi)(萬元)100011001200140020002600270028002850三、函數(shù)關(guān)系的建立3.趨勢(shì)模擬法解

用描點(diǎn)畫圖法,如圖1-3所示.

圖1-3在校學(xué)生數(shù)與教學(xué)經(jīng)費(fèi)的函數(shù)關(guān)系三、函數(shù)關(guān)系的建立3.趨勢(shì)模擬法

分析:

從圖1-2看出，學(xué)生規(guī)模的擴(kuò)大，教學(xué)經(jīng)費(fèi)從緩慢增加到快速增加再到緩慢增加.

通過觀察生均教學(xué)經(jīng)費(fèi)表(如表1-4)和趨勢(shì)圖(如圖1-4)，生均教學(xué)經(jīng)費(fèi)是由下降走向上升又走向下降的，8000人左右是比較好的規(guī)模，

可以預(yù)計(jì)，13000人之后還會(huì)出現(xiàn)一個(gè)相對(duì)好的規(guī)模.這就是最佳規(guī)模，產(chǎn)生的效益叫規(guī)模經(jīng)濟(jì).三、函數(shù)關(guān)系的建立表1-4在校學(xué)生數(shù)與生均教學(xué)經(jīng)費(fèi)數(shù)據(jù)表年份199920002001200220032004200520062007在校學(xué)生（人）5000600070008000900010000110001200013000生均教學(xué)經(jīng)費(fèi)(元/人)200018331714175022222600245523332192

圖1-4生均教學(xué)經(jīng)費(fèi)隨規(guī)模變化趨勢(shì)圖四、初等函數(shù)基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)四、初等函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)

是與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程復(fù)合函數(shù)的分解是由外到內(nèi)，逐層進(jìn)行。例1.4(1)(2)

函數(shù)由和u=3x復(fù)合而成.解

函數(shù)y=ln(2x-1)由y=lnu和u=2x-1

復(fù)合而成.解四、初等函數(shù)指出下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程再看兩個(gè)例題例1.5

(1)(2)

函數(shù)解

函數(shù)解正確地分解復(fù)合函數(shù)很關(guān)鍵，它是后續(xù)課程比如復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等的基礎(chǔ)。復(fù)合而成由2.復(fù)合函數(shù)四、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合而構(gòu)成的并且只用一個(gè)解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)．如函數(shù)

是復(fù)合函數(shù),當(dāng)然也就是初等函數(shù)；

再比如是分段函數(shù)，但它可用一個(gè)解析式表示，所以它是初等函數(shù)。3.初等函數(shù)四、初等函數(shù)使用MathStudio繪制函數(shù)圖像Drawingfunctionimagesusingmathstudio2一、MathStudio軟件簡(jiǎn)介MathStudio是一款可用于PC終端和移動(dòng)終端的功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)計(jì)算工具.軟件支持常用的數(shù)學(xué)計(jì)算、解方程、求導(dǎo)、微分、積分、求極限、畫函數(shù)圖像等，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很好的輔助工具.MathStudio界面簡(jiǎn)潔，操作簡(jiǎn)單，整個(gè)界面分為菜單區(qū)、指令區(qū)、功能區(qū)、鍵盤區(qū)，如圖1-5.一、MathStudio軟件簡(jiǎn)介圖1-5MathStudio界面

菜單區(qū)包含Main、Catalog、Opinions和Search四個(gè)組，分別介紹如下.一、MathStudio軟件簡(jiǎn)介Main：主要操作界面，所有計(jì)算、繪圖、腳本編寫等操作都在這里進(jìn)行；Catalog：函數(shù)目錄，在這里可以找到你需要的函數(shù)，如圖1-6；Opinions：設(shè)置選項(xiàng)，可進(jìn)行桌面顯示和數(shù)學(xué)輸出格式等設(shè)置，如圖1-7；Search：搜索，指令區(qū)所有指令都可在這里找到，并可設(shè)置是否顯示指令.圖1-6Catalog函數(shù)目錄圖1-7Opinions設(shè)置選項(xiàng)二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像1.使用Plot函數(shù)繪制直角坐標(biāo)系下函數(shù)圖像

在指令框輸入函數(shù)表達(dá)式，然后點(diǎn)擊功能區(qū)的Plot鍵即可繪制函數(shù)圖像.點(diǎn)擊顏色設(shè)置還可以改變圖形顯示的顏色，點(diǎn)擊顯示類型設(shè)置可以切換圖形的顯示方式.例1.6使用Plot函數(shù)繪制下列函數(shù)圖像.(1),(2).解(1)在指令框輸入sin(x)，然后點(diǎn)擊功能區(qū)的Plot鍵，得到函數(shù)y=sinx的圖像如圖1-8.二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像圖1-8繪制y=sinx的圖像二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像函數(shù)y=sinx圖像右側(cè)有顯示類型設(shè)置和顏色設(shè)置的選項(xiàng)，如圖1-9.圖1-9圖像類型設(shè)置和顏色設(shè)置選項(xiàng)二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像(2)在指令框輸入x^2，然后點(diǎn)擊功能區(qū)的Plot鍵，圖像出來后再點(diǎn)擊顏色設(shè)置，選擇紅色，如圖1-10.圖1-10繪制的圖像二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像2.使用繪圖鍵盤繪制各種函數(shù)圖像

將MathStudio界面底部主鍵盤向下滑動(dòng)即可切換至繪圖鍵盤,點(diǎn)擊按鍵選擇繪圖類型,如圖1-11,接下來我們介紹兩種繪圖類型.圖1-11繪圖鍵盤二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像(1)用Parametric函數(shù)繪制參數(shù)方程的圖形，在指令框輸入x和y關(guān)于參數(shù)

u

的方程，然后點(diǎn)擊功能區(qū)的Parametric鍵即可,如圖1-12.圖1-12繪制參數(shù)方程的圖像二、使用MathStudio繪制函數(shù)圖像(2)用Polar函數(shù)繪制極坐標(biāo)系下函數(shù)圖像，在指令框輸入關(guān)于變量r和的極坐標(biāo)方程，然后點(diǎn)擊功能區(qū)的Polar鍵即可，如圖1-13.圖1-13繪制極坐標(biāo)系下函數(shù)圖像常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)Commoneconomicfunctions3一、需求函數(shù)和供給函數(shù)消費(fèi)者的需求關(guān)系→需求函數(shù)q=f(p)

,減函數(shù)生產(chǎn)者的供給關(guān)系→

供給函數(shù)

q=g(p),增函數(shù)q:商品數(shù)量p:商品價(jià)格供給函數(shù)示意圖

需求函數(shù)示意圖當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格高于均衡價(jià)格時(shí)，將出現(xiàn)供過于求的現(xiàn)象；當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格低于均衡價(jià)格時(shí)，將出現(xiàn)供不應(yīng)求的現(xiàn)象.市場(chǎng)均衡價(jià)格示意圖二、成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)平均成本是指單位產(chǎn)品所分?jǐn)偟某杀旧a(chǎn)某產(chǎn)品時(shí)為消耗的生產(chǎn)要素所支付的費(fèi)用.總成本=固定成本+可變成本成本平均成本收入函數(shù)R=R(q)：收入R是銷售量q的函數(shù)總收入為也可寫為其中價(jià)格函數(shù)是需求函數(shù)的反函數(shù)收入函數(shù)二、成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)總收入函數(shù)R(q)與總成本函數(shù)C(q)的差值，記作L(q).當(dāng)R－C>0時(shí),生產(chǎn)者盈利；當(dāng)R－C<0時(shí),生產(chǎn)者虧損；當(dāng)R－C=0時(shí),生產(chǎn)者盈虧平衡.利潤(rùn)函數(shù)二、成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)例1.7解

生產(chǎn)某產(chǎn)品，固定成本為200元，每多生產(chǎn)1件產(chǎn)品，成本增加10元，該產(chǎn)品的需求函數(shù)為，試計(jì)算該產(chǎn)品的總成本、平均成本、收入和利潤(rùn)?？偝杀竞瘮?shù):收入函數(shù):若將收入R表示為關(guān)于產(chǎn)量q的函數(shù),則利潤(rùn)函數(shù):,同理，若將利潤(rùn)L表示為關(guān)于產(chǎn)量q的函數(shù)，則

平均成本函數(shù):二、成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)

某經(jīng)銷商以每件100元的價(jià)格批發(fā)某種品牌的襯衫，如果客戶一次購(gòu)買20件以上但不超過50件，則超出20件的部分以8折優(yōu)惠.如果客戶一次購(gòu)買超過50件，則超出50件的部分以7折優(yōu)惠.試把一次成交的銷售收入R表示成銷售量q的函數(shù).例1.8解依題意可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是，收入函數(shù)R(q)可表示為二、成本、收入和利潤(rùn)函數(shù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):函數(shù)Furthermathematicsknowledge:function4一、函數(shù)的性態(tài)單調(diào)性奇偶性有界性周期性函數(shù)的性質(zhì)包括一、函數(shù)的性態(tài)（1）單調(diào)性

f(x)

在區(qū)間I上有定義，若，恒有是增函數(shù)

f(x)

在區(qū)間I上有定義，若，恒有是減函數(shù)（2）奇偶性一、函數(shù)的性態(tài)對(duì)于任意,若f(－x)=f(x)

恒成立f(x)

為偶函數(shù)；對(duì)于任意,若f(－x)=－f(x)

恒成立f(x)為奇函數(shù)．偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.一、函數(shù)的性態(tài)（3）有界性若f(x)在I上有定義，，有成立則f(x)在I

上有界，否則稱無界。有界函數(shù)的圖像必介于兩條平行于x軸的直線y=M與y=－M之間。一、函數(shù)的性態(tài)

周期為（4）周期性