高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊 第一講 集合及其關(guān)系 講義（含答案）

第一講---集合及其關(guān)系知識(shí)背景集合論的創(chuàng)始人——康托爾（1845-1918），德國數(shù)學(xué)家，生于俄國圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家，1856年全家遷居德國的法蘭克福。1890年領(lǐng)導(dǎo)創(chuàng)立德國數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)并任首屆主席?？低袪枏奶岢黾险撝两褚延幸话俣嗄?，數(shù)學(xué)家們評(píng)價(jià)：它是對(duì)無限最深刻的洞察，它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動(dòng)的最高成就之一。集合是高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)校教學(xué)時(shí)間通常為一個(gè)月。集合概念抽象，符號(hào)術(shù)語多，研究方法跟學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)時(shí)有著明顯的差異，是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)“攔路虎”。集合符號(hào)語言是數(shù)學(xué)中的獨(dú)特語言，學(xué)好集合這一節(jié)內(nèi)容可促使學(xué)生從形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)化。集合是一種數(shù)學(xué)語言，是對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步抽象，它將貫穿在整個(gè)高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，甚至在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，將集合的概念和理論滲透到數(shù)學(xué)的各類分支中，會(huì)有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。知識(shí)要點(diǎn)集合的概念一、集合的概念（1）集合：能夠確切指定的一些對(duì)象組成的整體叫做集合，簡稱集。（2）元素：集合中的各個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。例1、下列對(duì)象的全體，哪些可以構(gòu)成集合？為什么？(1)我們班級(jí)中的高個(gè)子同學(xué)；(2)我們班級(jí)中的身高接近170cm的同學(xué)；(3)我們班級(jí)中的身高超過170cm的同學(xué)；（4）著名的足球運(yùn)動(dòng)員；（5）絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)；(6)二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）不能，不確定；（2）不能，不確定；（3）能，可確定；（4）不能，不能確定；（5）能，；（6）能，。二、元素與集合的關(guān)系（1）屬于：如果是集合的元素，就說屬于，記作；（2）不屬于：如果不是集合的元素，就說不屬于，記作。例2、用符號(hào)“”、“”填空：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。三、集合中元素的三個(gè)特性（1）確定性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的；（2）互異性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是各不相同的；（3）無序性：對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素的排列，沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯Ｋ?、集合的分類?）有限集：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集。（2）無限集：含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集?？占翰缓魏卧氐募希涀?，如：。五、特殊集合的符號(hào)（1）非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合，記作：；（2）正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除的集，記作：；（3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合，記作：；（4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合，記作：；（5）實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合，記作：。六、集合的表示法（1）列舉法：將集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法。（2）描述法：在大括號(hào)內(nèi)先寫出這個(gè)集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上集合中元素所共同具有的特性，這種表示集合的方法叫做描述法。表示：；含義：在集合中滿足條件的的集合。例如：所有直角三角形的集合可以表示為：注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分，如：{直角三角形}；{大于的實(shí)數(shù)}；（2）錯(cuò)誤表示法：{實(shí)數(shù)集}、{全體實(shí)數(shù)}等。例3、用列舉法或描述法表示下列集合：(1)方程的解集；（2）直線上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合；（3）使函數(shù)有意義的的值組成的集合；（4）方程組的解組成的集合；（5）由的所有可能的取值所組成的集合（其中）。解：（1）或；（2）；（3）或；（4）；（5）。例4、對(duì)于集合,若滿足:當(dāng)時(shí),則且,我們稱集合為“完美”集.問:(1)自然數(shù)集是否是“完美”集?為什么?(2)無理數(shù)集是否是“完美”集?為什么?(3)由形如:的數(shù)形成的集合是否是“完美”集?說明理由.解：（1）是；（2）不是，如：。（3）是。。例5、已知集合，分別求下列條件下實(shí)數(shù)的取值范圍：(1)；(2)中只有一個(gè)元素；(3)中有兩不同的元素且都為正數(shù)。解：（1）；（2）；（3）。集合之間的關(guān)系1、子集：對(duì)于兩個(gè)集合與，如果集合的任何一個(gè)元素都屬于集合，那么集合就叫做集合的子集，記作：，讀作：“包含于，或包含”。注：（1）；（2）有兩種可能：①是的一部分；②與是同一集合。性質(zhì)：（1）空集是任何集合的子集，即：；（2）任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即：；（3）若，且，則。2、集合相等：對(duì)于兩個(gè)集合與，如果且，那么叫做我們就說集合與集合相等，記作：，讀作“集合等于集合”。3、真子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果，并且中至少有一個(gè)元素不屬于，那么集合叫做集合的真子集，記作：或，讀：“真包含于”或“真包含”。性質(zhì)：（1）空集是任何非空集合的真子集，；即：若，則；（2）若，則；（3）若，且，則。例1、已知集合,寫出集合的所有子集.解：，，，，，，，。例2、用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。例3、判斷下列每組兩個(gè)集合的關(guān)系：（1），；（2），；（3），；（4），。解：（1）；（2）；（3）；（4）。例4、已知集合,判斷并說明集合之間的關(guān)系.解：任取，則，則，則。存在，，所以。例5、已知，，且，求實(shí)數(shù)的值。解：，（1）；（2）；（3）。所以。例6、填空：集合有個(gè)子集，有個(gè)真子集；集合有個(gè)子集，有個(gè)真子集；集合有個(gè)子集，有個(gè)真子集；集合有個(gè)子集，有個(gè)真子集。例7、（1），求集合的個(gè)數(shù)；（2），求集合的個(gè)數(shù)；（3），求集合的個(gè)數(shù)。解：（1）；（2）；（3）。重要結(jié)論：1、含個(gè)元素的集合的子集數(shù)為；非空子集數(shù)為；真子集數(shù)為；非空真子集數(shù)為。2、設(shè)，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是：；設(shè)，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是：；設(shè)，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是：；設(shè)，則滿足條件的的個(gè)數(shù)是：。例8、已知集合，求集合的所有非空子集元素和的和。解：含有元素1的子集有個(gè)，所以1在總和中出現(xiàn)次，同理其他元素各出現(xiàn)次。所以所求和的和為思考：推廣結(jié)論是什么？課堂精練1、用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：（，） 已知集合，，則用列舉法表示集合。2、從自然數(shù)這個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相加,得到的和作為集合的元素,則的非空真子集共有個(gè).3、已知集合，，若，則的值是。4、已知集合，對(duì)它的非空子集，將中每個(gè)元素，都乘以，再求和，如，可求得和為，則對(duì)的所有非空子集，這些和的總和是。165、設(shè)是一個(gè)數(shù)集,且至少含有兩個(gè)數(shù),若對(duì)任意,都有(除數(shù),則稱是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集是數(shù)域；數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題:①整數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)集,則數(shù)集必為數(shù)域；③數(shù)域必為無限集；④存在無窮多個(gè)數(shù)域.其中正確的命題的序號(hào)是.(把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)填填上)③④6、已知集合，，,則集合之間的關(guān)系是。7、設(shè)的子集為，則N的子集中包含元素1和10的集合有（）個(gè)CA、10B、64C、128D、2568、設(shè)集合，，，若，，則（）DA、B、C、D、以上答案都不對(duì)9、設(shè)集合,,且.若,求實(shí)數(shù)的值.解：，（1）；（2）；（3）10、設(shè)集合是由一些自然數(shù)組成的非空集合,且具有性質(zhì):“若,則”回答下列問題:(1)試寫出只有一個(gè)元素的集合；(2)寫出所有只有兩個(gè)元素的集合；(3)集合最多能有幾個(gè)元素？寫出滿足性質(zhì)且元素最多時(shí)的集合；（4）這樣的集合共有多少個(gè)？解：（1）；（2），，，，，，，；（3）17個(gè)，；（4）把0與16，1與15，2與14，。。。，8各自看作一個(gè)元素，則集合是九個(gè)元素的集合的非空子集，共有個(gè)。11、設(shè)函數(shù),集合,.(1)證明:；(2)當(dāng)時(shí),求集合；（3）若是只含有一個(gè)元素的集合，證明。解：（1）證明：任取，則，則。（2）的兩根為-1，3代入化簡得：，所以。（3）設(shè)集合，則方程有重根，，代入中：，則.12、已知非空集合的元素全為實(shí)數(shù)，且滿足：若，則.①若，求所含元素個(gè)數(shù)最少的集合；②是不是集合中的元素？請(qǐng)寫出一個(gè)不同于①中的集合；③根據(jù)①②，能歸納出有關(guān)集合的什么結(jié)論？請(qǐng)說明理由.解：①由，則，又由，得，再由，得，而，得，故．②不是中的元素．若，則，而，故不是中的元素．取，可得．③(ⅰ)中沒有元素；(ⅱ)中元素個(gè)數(shù)為個(gè)，且每兩個(gè)互為負(fù)倒數(shù)．證：(ⅰ)由②知：．若，則，矛盾.故.(ⅱ)設(shè)，則，而，∴、、、必同在集合中.若，則，無實(shí)數(shù)解，∴，同理可得：、、、兩兩不等.且.故中元素個(gè)數(shù)為個(gè)，且每兩個(gè)互為負(fù)倒數(shù)．課后精練1、A是由一切能表示成兩個(gè)整數(shù)的平方之差的全體整數(shù)組成的集合，證明：(1)任意奇數(shù)都是A的元素；(2)偶數(shù)4k－2(kZ)不屬于A．證明：設(shè)A={x|x=a2－b2，a、bZ}，（1）設(shè)任意奇數(shù)x=2k+1,kZ，則x=k2+2k+1－k2=(k+1)2－k2A；（2）（反證法）假設(shè)任意偶數(shù)x=4k－2,kZ屬于A，則設(shè)x=a2－b2，a、bZ，于是有2(2k－1)=(a+b)(a－b)，…①在上述①式中，等號(hào)右邊的a+b與a－b同奇同偶，則x或?yàn)槠鏀?shù)，或?yàn)?的整數(shù)倍；而等號(hào)左邊是2與一個(gè)奇數(shù)的積，則x不能被4整除，由此產(chǎn)生矛盾．所以假設(shè)不成立，原結(jié)論成立．2、（美國第七屆競賽題）設(shè)為集合具有下列性質(zhì)的子集，中任意兩不同元素之和不能被整除，那么中元素最多可能有多少個(gè)？解：把集合劃分成個(gè)子