專題04 勾股定理逆定理（解析版）

專題04勾股定理逆定理知識點框架知識點講解勾股定理的逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是銳角三角形；2)定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊3)勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形直角三角形的性質(zhì)與判定：性質(zhì)：1）直角三角形的兩個銳角互余。2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3）直角三角形中30°角所對的邊是斜邊的一半。判定：1）有一個角是直角的三角形是直角三角形。2）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形。典型題型考查題型一判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形1．（2022·江蘇南京·八年級期中）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形進行分析即可．【詳解】解：．，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；B．，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；C．，能組成直角三角形，故此選項正確；D．，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形，否則不是．2．（2022·江蘇南京·八年級期中）下列各組線段能構(gòu)成直角三角形的一組是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．，，【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理逆定理直接判斷即可．【詳解】解：A．，故此選項不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B．，故此選項能構(gòu)成直角三角形，符合題意；C．，故此選項不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；D．，故此選項不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理逆定理，熟知直角三角形三邊的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學校八年級期中）下列各組數(shù)中，不能組成直角三角形的是（

）A．7，24，25 B．9，12，15 C．1，，3 D．5，12，13【答案】C【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．【詳解】解：A、∵，∴能組成直角三角形，故此選項不符合題意；B、∵，∴能組成直角三角形，故此選項不符合題意；C、∵，∴不能組成直角三角形，故此選項符合題意；D、∵，∴能組成直角三角形，故此選項不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．4．（2022·江蘇南京·八年級期末）A、B、C表示三個村莊，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，為擬建一個文化活動中心，要求這三個村莊到活動中心的距離相等，則活動中心P的位置應在（

）A．AB中點 B．BC中點 C．AC中點 D．∠C的平分線與AB的交點【答案】A【分析】根據(jù)A、B、C這三個村莊到活動中心P的距離相等，可得點P是三邊垂直平分線的交點，再由勾股定理逆定理，即可求解．【詳解】解：A、B、C這三個村莊到活動中心P的距離相等，所以點P是三邊垂直平分線的交點，因為AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以，所以是以AB為斜邊的直角三角形，則活動中心P的位置應在斜邊AB的中點，故答案為：A【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的逆定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握線段垂直平分線的逆定理，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．考查題型二直角三角形的判定5．（2022·江蘇·揚州中學教育集團樹人學校八年級期末）滿足下列條件時，不是直角三角形的是（）A．，， B．C． D．，【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和公式和勾股定理的逆定理判定是否為直角三角形．【詳解】解：A、符合勾股定理的逆定理，故A選項是直角三角形，不符合題意；B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B選項是直角三角形，不符合題意；C、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得各角分別為45°，60°，75°，故C選項不是直角三角形，符合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得各角分別為90°，40°，50°，故D選項是直角三角形，不符合題意．故選：C．【點睛】.本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．6．（2022·江蘇常州·八年級期末）已知△ABC的三邊長分別是a、b、c，則下列條件中，能判斷△ABC是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)2＝（b＋c）（b﹣c） B．a(chǎn)：b：c＝12：15：18C．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 D．∠A＝2∠B＝3∠C【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定選項A和選項B即可；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出三角形中最大角的度數(shù)即可判斷選項C和選項D．【詳解】解：A、∵，∴，即，∴是直角三角形，故本選項符合題意；B．∵，∴設，，，∴，，∴不是直角三角形，故本選項不符合題意；C．∵，，∴，∴不是直角三角形，故本選項不符合題意；D．∵，，∴，∴，，∴不是直角三角形，故本選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握運用勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理是解此題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市第三中學八年級期中）已知ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷ABC是直角三角形的是（

）A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝25【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A、B是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出C、D是否是直角三角形．【詳解】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故ABC為直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故ABC是銳角三角形，不是直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故ABC為直角三角形；D、∵72+242＝252，∴ABC為直角三角形；故選：B．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應用以及三角形內(nèi)角和定理．判斷三角形是否為直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定義判斷．8．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)＝1，b＝2， B．C．∠A＋∠B＝∠C D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理逆定理、有一個角是90°的三角形是直角三角形進行判斷即可得解．【詳解】解：A．∵a＝1，b＝2，，∴，即，∴△ABC是直角三角形，此選項不符合題意；B．∵，∴，即，∴△ABC是直角三角形，此選項不符合題意；C．∵∠A+∠B=∠C，∴，即∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，此選項不符合題意；；D．∵，∴，，，∴△ABC不是直角三角形，此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定方法，借助勾股定理逆定理和有一個角是90°的三角形是直角三角形兩種判定方法是解決問題的關(guān)鍵．考查題型三網(wǎng)格中判斷直角三角形9．（2022·江蘇淮安·八年級期中）如圖，在四個均由十六個小正方形組成的正方形網(wǎng)格中，各有一個三角形，那么這四個三角形中，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求四個選項中各邊長，根據(jù)勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解題．【詳解】解：A、三角形各邊長為、、，，故該三角形為鈍角三角形，符合題意；B、各邊長、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意；C、各邊長、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意；D、各邊長、、，，故該三角形為直角三角形，不符合題意．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理是解本題的關(guān)鍵．10．（2020·江蘇·南京外國語學校八年級期中）如圖，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”(格線的交點)，以這5個格點中的3點為頂點畫三角形，可以畫等腰三角形和直角三角形的個數(shù)分別是(

)A．2和3 B．3和3 C．2和4 D．3和4【答案】A【分析】結(jié)合格點圖形及勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：（1）如圖，為等腰三角形有兩種由勾股定理易知：ED=DC=,符合題意，由勾股定理易知：AE=EC=,符合題意，（2）如圖，為直角三角形有三種由勾股定理及格點圖知：AB=2，BE=4，AE=,滿足，由勾股定理逆定理知?ABE為直角三角形，由勾股定理及格點圖知：BC=2，BE=4，CE=,滿足，由勾股定理逆定理知?CBE為直角三角形，由勾股定理及格點圖知：DC=，DE=，CE=,滿足，由勾股定理逆定理知?CDE為直角三角形，故選：A【點睛】本題主要考查了在格點中畫等腰三角形及勾股定理在格點圖形中的應用，結(jié)合格點圖形，利用勾股定理，合理構(gòu)造是解決本題的關(guān)鍵．11．（2019·江蘇·泰州市姜堰區(qū)張甸初級中學八年級期中）如圖：在一個邊長為1的小正方形組成的方格稿紙上，有A、B、C、D、E、F、G七個點，則在下列任選三個點的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是()A．點A、點B、點C B．點A、點D、點GC．點B、點E、點F D．點B、點G、點E【答案】C【分析】先利用勾股定理求出各邊的長，再利用勾股定理的逆定理：如果三邊滿足，則可組成直角三角形進行判斷即可．【詳解】A．AB2=1+36=37，AC2=16+25=41，BC2=1+9=10，37+10≠41，不可以構(gòu)成直角三角形；B．AD2=16+16=32，AG2=9+36=45，DG2=1+4=5，32+5≠45，不可以構(gòu)成直角三角形；C．BE2=36+16=52，BF2=25+25=50，EF2=1+1=2，50+2=52，可以構(gòu)成直角三角形D．BG2=25+9=34，BE2=36+16=52，GE2=9+1=10，34+10≠52，不可以構(gòu)成直角三角形．故選：C．【點睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇揚州·八年級期末）在中，若，則（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷為直角三角形，再根據(jù)大邊對大角的性質(zhì)可以判斷．【詳解】解：，，為直角三角形，，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)三角形的三邊滿足勾股定理，得出三角形是直角三角形．考查題型四利用勾股定理逆定理求解13．（2022·江蘇江蘇·八年級期中）已知M、N是線段AB上的兩點，AM＝MN＝2，NB＝1，以點A為圓心，AN長為半徑畫??；再以點B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接AC，BC，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】依據(jù)作圖即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，進而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【詳解】如圖所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故選B．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．14．（2022·江蘇·八年級課時練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】連接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可證是直角三角形，于是有，從而易求∠BCD．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵，∴，又，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是連接AC，并證明是直角三角形．15．（2022·山東·莒南六中八年級期中）如圖，四邊形中，，，，，且，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的長，運用勾股定理可求出AC的長，在△ADC中，已知三邊長，運用勾股定理逆定理，可得此三角形為直角三角形，故四邊形ABCD的面積為Rt△ACD與Rt△ABC的面積之差．【詳解】解：連接AC，∵∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，∴△ADC為直角三角形，∴故四邊形ABCD的面積為24cm2．故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，判斷出△ACD的形狀是解答此題的關(guān)鍵．16．（2022·廣東·高州市第一中學附屬實驗中學八年級期中）如果的三邊分別為，且滿足，則的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】將原式整理得出，計算出，判斷出為直角三角形，即可求出．【詳解】解：，，，，又，，為直角三角形，，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的非負性，勾股定理的逆運用，解題的關(guān)鍵是求出的值．17．（2022·河南信陽·八年級期中）一個三角形的三邊長為15，20，25，則此三角形最大邊上的高為(

)A．10 B．12 C．24 D．48【答案】B【詳解】解：已知三角形的三邊分別是BC=15，AB=20，AC=25，BD是AC上的高，∵BC=15，AB=20，AC=25，∴AC2=625，AB2+BC2=225+400=625，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC為直角三角形，∠ABC=90°，∵BD是AC上的高，∴BD?AC=AB?BC，∴BD=12．故選B．18．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，在四邊形中，，，，，