多函數(shù)綜合問題-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講+熱考題型（解析版）

專題53多函數(shù)綜合問題(15題)

1.(2020.江蘇連云港模擬)平面直角坐標系xOy中，橫坐標為a的點A在反比例函數(shù)yi=&(x>0)的

x

圖象上，點A，與點A關(guān)于點O對稱，一次函數(shù)y2=mx+n的圖象經(jīng)過點A-

(1)設(shè)a=2,點B(4,2)在函數(shù)yi、y2的圖象上.

①分別求函數(shù)yi、y2的表達式；

②直接寫出使yi>y2>0成立的x的范圍；

(2)如圖①，設(shè)函數(shù)yi、y2的圖象相交于點B,點B的橫坐標為3a,AAAB的面積為16,求k的值；

(3)設(shè)m=^,如圖②，過點A作AD_Lx軸，與函數(shù)y2的圖象相交于點D,以AD為一邊向右側(cè)作正方

形ADEF,試說明函數(shù)y2的圖象與線段EF的交點P一定在函數(shù)yi的圖象上.

【解析】提示：(1)由已知代入點坐標即可;

(2)面積問題可以轉(zhuǎn)化為AAOB面積，用a、k表示面積問題可解;

(3)設(shè)出點A、A，坐標，依次表示AD、AF及點P坐標.

氏8

詳解：(1)①由已知，點B(4,2)在y『一(x>0)的圖象上)k=8???y尸一點a二2

xx

，點A坐標為(2,4),A，坐標為(-2,-4)把B(4,2),A(-2,-4)代入y2=mx+n得,

2=7?1+nIm=l

4C,解得ICy2=x-2；

-4=-2/H+〃〃=-2

Q

②當yi>y2>0時，yi=一圖象在y2=x-2圖象上方，且兩函數(shù)圖象在x軸上方,

x

二由圖象得:2<x<4；

(2)分別過點A、B作ACJLx軸于點C,BD_Lx軸于點D,連BO,

VO為AA'中點，SAAOB=-SAAOA=8

2

:點A、B在雙曲線上.?.SAAOC=SABOD

SAAOB=SHii?ACDB=8

由己知點A、B坐標都表示為(a,-)(3a,—)

a3ci

1kk

??—x(--1—)x2Q—8，解得k=6；

23aa

攵k1

(3)由已知A(a,—),則A為(-a,---).把A，代入到y(tǒng)=—x+〃,

aa2

1k11kk

**?n=—a---，；?AB解析式為y二--xH—ci----!ix=a時，點D縱坐標為。----,

2a22aa

2k2k2k

AAD=----aVAD=AF,???點F和點P橫坐標為。+-----a=——,

aaa

\2k\k\k

???點P縱坐標為一x--1—a,=—〃.???點P在.yi=—(x>0)的圖象上.

242a2x

2.（2020?福建廈門市模擬）如圖，在平面直角坐標系中拋物線產(chǎn)以2+公+2（存0）與軸交于點C,與x

軸交于A,B兩點（點A在點8的左側(cè)），且A點坐標為（—正，0）,直線BC的解析式為

y=----x+2-

-3

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點A作AQ//BC,交拋物線于點。，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE,EB,BD,

DC.求四邊形8ECD面積的最大值及相應(yīng)點E的坐標：

（3）將拋物線）=ar2+'x+2（a*0）向左平移逝個單位，已知點M為拋物線）=公2+公+2（存0）的對稱軸

上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點.在（2）中，當四邊形8EC。的面積最大時，是否存在以

A,E,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

2

【答案】（1）y=-Lx+—x+2;（2）四邊形BECO面積的最大值為竺也，E（逑，1）;（3）

33422

七六JL,.I,L->>,35/27V25?7-^211、

存在.N的坐標為（------>一）或（-----，一）或（-----?—）.

262222

【提示】（1）由直線解析式求得B、C兩點坐標，結(jié)合A點坐標利用待定系數(shù)法進行求解即可；

B71o

（2）易求AZ）的解析式為y=-注進而。（4正，——）.求得C。的解析式為，進而求出CZ）

333

與x軸的交點坐標，易求ABC。的面積為4&，設(shè)E（x,—+竿x+2），表示出SBEC。的面積，進而

利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；

（3）存在.先求出拋物線y=_L無2+逑x+2的頂點坐標，根據(jù)平移規(guī)律求平移后拋物線解析式，設(shè)

33

M（&m）,N（x?,）加），易根據(jù)平行四邊形對角線互相平分及中點公式.分類討論即可得答案.

【詳解】（1）y=-—x+2,當x=0時，y=2,當y=0時，。=一*%+2,解得：x=3亞,

-33一

所以8（3亞，0）,C（0,2）,將A（-及，0）,B（3&，0）代入戶以2+灰+2,

1

a=——

0=2。-42b+23

得〈L，解得：〈

0=18。+3岳+2

b=----

3

所以拋物線的解析式為y=—述x+2;

-33

逝

(2)?.?AD//BC,...設(shè)直線AD解析式為:y=------x+m-

3

22

將A(—x/2,-0)代入得：0=§+機，解得：m=-y,

122夜一

V=——X~H-----X+2

所以的解析式為y=—#233fx,=-V2

X--，聯(lián)立解得：卜=。

3V22

133

光2=40

10,

>2=一

3

（一夜，0）,：.D（4A/2>）.設(shè)CD解析式為丫=10<+2,

將點D坐標代入得：4^+2=-—,解得：k=_2也，所以CD的解析式為：y=-^Hx+2,

3373

當y=0時，即0=—速》+2,解得：x=逑，則C。與x軸的交點為（逑，0）.

322

所以SAHCD=之*,夜2+31-4^，設(shè)E（X,1220.、

x+%+2)，

33

2

則SBECD=彳x3*$/^xf——xH■—^-x+2—f-JC+2+4拉=一也*2+3》+4近，

3

2LL3乂32

當a逑時，四邊形BECD面積最大，其最大值為竺也,此時E(￡1,-).

2422

（3）存在.N的坐標為（_￡1,-）,或（―M257收11,

一，一），或（----，-—）.

262222

過程如下：y=—+乎X+2=_；（X_0）2o2

+-.所以拋物線的頂點是（正，-）,

33

將拋物線y=_；%2+半x+2=_：（x_&『+|向左平移0個單位，

1Q

則平移后拋物線解析式為丁=一§/+§.設(shè)M（2<"?）,N（X”,外），

①當AM為對角線時，則蒼,+乎=血+卜后卜解得：x,尸一殍，代入解析式得》尸:.

所以N（—述，-）,如圖對角線交點坐標為（0

>一），例坐標為（，一）

2663

②當AE為對角線時，則%,+啦=罷+（-夜卜

B5

解得：x,產(chǎn)一注，代入解析式得y,產(chǎn)一.

2'2

所以N（—交，-）,如圖

22

③當AN為對角線時，則%+卜血）=血+乎，解得：x,尸苧，代入解析式得口=-3.

所以N（述，如圖對角線交點坐標為（逑,―一?），M坐標為（、反，-8）.

224

3.（2019?重慶萬州區(qū)?九年級期末）如圖1,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B,與y軸交于C,拋物

線的頂點為D,直線1過C交x軸于E（4,0）.

（1）寫出D的坐標和直線1的解析式；

（2）P（X,y）是線段BD上的動點（不與B,D重合），PF_Lx軸于F,設(shè)四邊形OFPC的面積為S,求

S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；

（3）點Q在x軸的正半軸上運動，過Q作y軸的平行線，交直線1于M,交拋物線于N,連接CN,將

△CMN沿CN翻轉(zhuǎn)，M的對應(yīng)點為M1在圖2中探究：是否存在點Q,使得M"恰好落在y軸上？若存

在，請求出Q的坐標；若不存在，請說明理由.

3813

【答案】(1)y=--x+3；(2)—；(3)點Q的坐標為(一，0)或(4,0).

4162

【解析】試題提示：(1)先把拋物線解析式配成頂點式即可得到D點坐標，再求出C點坐標，然后利用待

定系數(shù)法求直線1的解析式；

(2)先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題求出B(3,0),再利用待定系數(shù)法求出宜線BD的解析式為y二

9

2x+6,則P(x,-2x+6),然后根據(jù)梯形的面積公式可得S=-x2+-x(1&W3),再利用而此函數(shù)的性質(zhì)求S

2

的最大值；

3

(3)如圖2,設(shè)Q(t,0)(t>0),則可表示出M(t,-7+3),N(t,-t12+2t+3),利用兩點間的距離公式

4

得到MN=|t2-Lt|，CM=-t,然后證明NM=CM得到修口卡.,再解絕對值方程求滿足條件的t的值，

4444

從而得到點Q的坐標.試題解析：(1)Vy=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

AD(1,4),當x=0時，y=-x2+2x+3=3,貝UC(0,3),

-,l

b=3k

設(shè)直線1的解析式為y=kx+b,把C(0,3),E(4,0)分別代入得，解得｛

4攵+b=04,

b=3

3

二直線1的解析式為y=-x+3；

4

(2)如圖(1),當y=0時，-X2+2X+3=0,解得XI=-1,X2=3,則B(3,0),

3m+〃=0m=—2

設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n,把B(3,0),D(1,4)分別代入得｛，，解得｛,

m+n-4〃=6

19

直線BD的解析式為y=-2x+6,則P(X,-2x+6),r.S=—?(-2x+6+3)-x=-x2+-x(l<x<3),

22

VS=-(x-9-)82+1—,.,?當x=9二時、S有最大值，最大值為8一1；

416416

3

(3)存在.如圖2,設(shè)Q(t,0)(t>0),則M(t,--t+3),N(t,-t2+2t+3),

4

MN=|-t2+2t+3-(--t+3)|=|t2--1|,CM=Jr+(--t+3-3)2--t,

44\44

?.?△CMN沿CN翻轉(zhuǎn)，M的對應(yīng)點為MlM，落在y軸上，而QN〃y軸，

；.MN〃CM，，NM=NM\CM，=CM,ZCNM=ZCNM\?.ZM'CN=ZCNM,

AZM'CN=ZCNM\.,.CM,=NM,,；.NM=CM,.\|t2,--11t|=5-t,

44

當t?1=-t,解得h=0(舍去)，t2=4,此時Q點坐標為(4,0)；

44

11533

當t?--1=--t,解得ti=0(舍去)，匕=一,此時Q點坐標為(一，0),

4422

3

綜上所述，點Q的坐標為(一，0)或(4,0).

2

Q

4.(2021?廣東九年級專題練習(xí))如圖，正比例函數(shù)卜=履的圖像與反比例函數(shù)y=、(x>0)的圖像交于點

4(。,4).點B為x軸正半軸上一點，過B作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖像于點C,交正比例函數(shù)的圖

(1)求“的值及正比例函數(shù))，=履的表達式；

(2)若BD=10,求△AC。的面積.

_63

【答案】(1)a=2；y=2x；(2)—

【提示】(1)已知反比例函數(shù)解析式，點A在反比例函數(shù)圖象上，故a可求；求出點A的坐標后，點A

同時在正比例函數(shù)圖象上，將點A坐標代入正比例函數(shù)解析式中，故正比例函數(shù)的解析式可求.

(2)根據(jù)題意以及第一問的求解結(jié)果，我們可設(shè)B點坐標為(b,0),則D點坐標為(b,2b),根據(jù)

BD=10,可求b值，然后確認三角形的底和高，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解.

Q

【詳解】(1)已知反比例函數(shù)解析式為y=一，點A(a,4)在反比例函數(shù)圖象上，將點A坐標代入，解得

x

a=2,故A點坐標為(2,4),又YA點也在正比例函數(shù)圖象上，設(shè)正比例函數(shù)解析為y=kx,將點A(2,4)代

入正比例函數(shù)解析式中，解得k=2,則正比例函數(shù)解析式為y=2x.

故a=2；y=2x.(2)根據(jù)第一問的求解結(jié)果，以及BD垂直x軸，我們可以設(shè)B點坐標為(b,0),則C點

8

坐標為(b,—)、D點坐標為(b,2b),根據(jù)BD=10,則2b=10,解得b=5,故點B的坐標為(5,0),D點坐

b

8

標為(5,10),C點坐標為(5,-),則在^ACD中，SAACD

故△ACD的面積為y.

5.(2020?全國九年級課時練習(xí))如圖，已知拋物線〉=0￥2+區(qū)+。(。工0)的圖象的頂點坐標是(2,1),并

且經(jīng)過點(4,2),直線y=；x+l與拋物線交于民。兩點，以3。為直徑作圓，圓心為點C,圓。與直線

m交于對稱軸右側(cè)的點加億1),直線切上每一點的縱坐標都等于1.

(1)求拋物線的解析式；

(2)證明：圓。與x軸相切；

(3)過點5作垂足為E，再過點。作Z)E_L/n,垂足為F求:MF的值.

【答案】(1)y=]-(x-2)1+l=-x2-x+2(2)見詳解(3)里=

4V74MF2

【詳解】解：(1)設(shè)拋物線方程為y=a(無一〃y?.?拋物線的頂點坐標是(2,1)

y=a(x—21+1,/拋物線經(jīng)過點(4,2)2=〃(4一2『+1

I171

；.a=—.?.拋物線的解析式是：y=-(x-2)+l=-x2-x+2

444

（2）?.?直線y=；x+l與拋物線交于B、。兩點

y=-1x~2-x+°2

-4:.B3—5/5,—

1,2

y--x+l

2

???點C是8。的中點???點C的縱坐標是"&=-

22

1-,BD=，D+（X-%）2=5℃的半徑R=|

二圓心C到％軸的距離等于半徑R：.0。與x軸相切

（3）過點。作C”_Lm,垂足為H,連接CM,如圖：

53

?.?由(2)可知，CM=R=—,CH=R-1=-

22

/.MH=\ICM2-CH2

MF亞

MF=HF-HM=小—2

：BE=y-i=-~—

{122

3—近

/.BE_22_V5+1

~MF~45-2~2

22BEV5+1

故答案是：(1)y=-(x-2)+l=-x-x+2(2)見詳解(3)—

-4')4MF2

6.(2020?聊城市月考)如圖，在直角坐標系中，直線yi=ax+b與雙曲線y2=&(k/0)分別相交于第二、

X

2

四象限內(nèi)的A(m,4),B(6,n)兩點，與x軸相交于C點.已知OC=3,tan/ACO=-.

3

(1)求yi,y2對應(yīng)的函數(shù)表達式;

(2)求aAOB的面積；

(3)直接寫出當x<0時，不等式ax+b>&的解集.

X

【詳解】解：(1)設(shè)直線yi=ax+b與y軸交于點D,

.?.OD=2,即點D(0,2),

把點D(0,2),C(0,3)代入直線yi=ax+b得,

2

b=2,3a+b=0,解得，a=-—,

o

2

???直線的關(guān)系式為山=-恭+2；

O

2

把A(m,4),B(6,n)代入yi=--x+2得，m=-3,n=-2,

o

/.A(-3,4),B(6,-2),

；?k=-3x4=-12,

19212

???反比例函數(shù)的關(guān)系式為yz=----,因此yi=--x+2,y2=----；

x3x

=

(2)由SAAOB=SAACXZ+SABOC-^-x3x44--^-x3x2—9.

22

(3)由圖象可知，當x<0時，不等式ax+b>區(qū)的解集為x<-3.

X

2

(1)根據(jù)OC=3,tan/ACO=(",可求直線與y軸的交點坐標，進而求出點A、B的坐標，確定兩個函

O

數(shù)的關(guān)系式；

(2)由S.A0B=SAAOC+SABOC,進行計算即可;

k

(3)由函數(shù)的圖象直接可以得出，當xVO時，不等式ax+b>三的解集.

x

7.(2020?山東濟南市模擬)如圖，函數(shù)y=?x>0)的圖象過點A(〃,2)和8(|,2〃一3)兩點

X

(1)求〃和左的值；

(2)將直線OA沿x軸向左移動得直線。￡,交x軸于點0,交y軸于點E，交丫="(》>0)于點C,若

X

=6,求直線的解析式；

(3)在(2)的條件下，第二象限內(nèi)是否存在點尸，使得ADEF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫

出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

199

【答案】(Dn=4,k=8；(2)y=2%+3；(3)存在點F，尸點的坐標為(-9,6)或(—3,9)或(^^).

【詳解】解：(1)?.?函數(shù)y=A(x>0)的圖象過點4〃,2)和8(|,2〃-3)兩點.

x5

2n=k

〃=4

Q解得,

~(2n-3)^kk=8

(2)由(1)知，A(4,2),設(shè)直線OA的解析式為y=G(aWO),則

2=4。，.?.“=!，...直線OA的解析式為：y=-x,

22

Q

由(1)知反比例函數(shù)的解析式為：y=一，

x

Q

設(shè)。(根,一)，過。作軸與OA交于點H，如圖1,

m

[81[8]

)1lj,/.CH=------m,S^=6,—(-----〃?)x4=6,

2m2co2m2

解得，m=-8(舍)，或冽=2,「.C(2,4),

?/將宜線OA沿R軸向左移動得直線DE，二設(shè)直線DE的解析式為：

>=；尤+c,把C(2,4)代入y=gx+c中，得4=l+c,解得，c=3,

二直線DE的解析式為：y=gx+3；

⑶令x=0,得y=；x+3=3,令y=0,得y=gx+3=O,解得x=-6,

.?.￡>(-6,0),￡(0,3),

①當ZE。尸=90°,。石=。尸時，如圖2,過戶作FG_Lx軸于點G,

?/NODE+ZFDG=NODE+NOED=90°,NOED=NGDF,

?;NDOE=NFGD=90。,DE=FD，■-^ODE=AGFD(AAS),

:.DG=0E=3,FG=DO=6,AF(-9,6)；

②當N￡>EF=90°，Z)￡=￡F時;如圖3,過F作尸G_Ly軸于點G，

圖3

???NODE+ZDEO=ZGEF+ZOED=90°,

:./ODE=/GEF,

???ZDOE=NFGE=90。,DE=EF,

M)DEwbGEF(AAS),

:.EG=DO=6,FG=EO=3,

歹(一3,9)；

③當NDEE=90。，。尸=E尸時，如圖4,過點尸作/G,無軸于點G,作軸于點”,

圖4

ZDFE=4GFH=90°,

：.ZDFG=ZEFHt

-.-ZDGF=ZEHF=90°fDF=EF,

\DGFN^EHF(AAS),

；.GF=HF,DG=EH,

ZFGO=ZGOH=ZOHF=90°,

???四邊形OG尸”為正方形，

:.OG=OH,即6—QG=3+EH,

:.DG=EH=3-,

2

9

/.OG=OH=-

29

99

綜上，第二象限內(nèi)存在點尸，使得為等腰直角三角形，其尸點的坐標為(-9,6)或(-3,9)或

8.(2020?河北九年級專題練習(xí))游樂園新建的一種新型水上滑道如圖，其中線段24表示距離水面(x

軸)高度為5m的平臺(點P在y軸上).滑道AB可以看作反比例函數(shù)圖象的一部分，滑道8CO可以看

作是二次函數(shù)圖象的一部分，兩滑道的連接點B為二次函數(shù)8C。的頂點，且點B到水面的距離

3

BE=2〃"點B到y(tǒng)軸的距離是5m.當小明從上而下滑到點C時，與水面的距離CG=1m,與點B的

水平距離CF=2m.

(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式及其自變量的取值范圍；

(2)求整條滑道ABCD的水平距離；

(3)若小明站在平臺上相距y軸1m的點M處，用水槍朝正前方向下“掃射”，水槍出水口N距離平臺

3

-m,噴出的水流成拋物線形，設(shè)這條拋物線的二次項系數(shù)為p,若水流最終落在滑道8CO上(包括

B、D兩點)，直接寫出p的取值范圍.

10913

【答案】(1)y=—,2MxW5；(2)7m；(3)---WpW----.

x32128

【詳解】解：(1)BE=2m,前B到y(tǒng)軸的距離是5,

點B的坐標為(5,2).設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=人，

X

kin

則一=2,解得％=10.?,?反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=一.

5x

?.,當y=5時，x=2,即點A的坐標為(2,5),

二自變量x的取值范圍為2sx<5：

(2)由題意可知，二次函數(shù)圖象的頂點為8(5,2),點C坐標為(7,I).

31

設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x—5)2+2,則。(7-5>+2=不，解得。=一3.

28

I159

...二次函數(shù)的關(guān)系式為y=——(x-5)'+2=——X2H—x——.

8848

當y=0時，解得芭=9,々=1(舍去)，

，點D的坐標為(9,0),則OD=9.

...整條滑道ABCD的水平距離為：OD—Q4=9—2=7m；

913

(3)p的取值范圍為----<p<-----.

32128

由題意可知，點N坐標為((1,5+g),即為拋物線的頂點.

13

設(shè)水流所成拋物線的表達式為y=p(x-l)92+y.

13Q

當水流落在點3(5,2)時，由〃(5-1)2+5=2,解得〃=一記；

1313

當水流落在點0(9,0)時，由“(9—1)2+?=0,解得「=一百.

2128

：.p的取值范圍為一9三<p<一1」3.

32128

9.(2020?江西九年級一模)如圖，反比例函數(shù)y=K(x>0)過點A(3,4),直線AC與x軸交于點C

x

(6,0),過點C作x軸的垂線交反比例函數(shù)圖象于點B,

(1)求反比例函數(shù)和直線AC的解析式；

(2)求AABC的面積；

(3)在平面內(nèi)有點D,使得以A,B,C,D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，請直接寫出符合條件的

所有D點的坐標.

124

【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為：y=一；直線AC的解析式為：y=—-x+8；(2)3；(3)符合條件

x3

的點D的坐標是：(3,2)或(3,6)或(9,-2).

【詳解】解：(1)把點A(3,4)代入y="(x>0),得

x

12

k=xy=3x4=12,故該反比例函數(shù)解析式為：y=一,

x

把A(3,4),C(6,0)代入y=mx+n中，

(4

3m+〃=4m=—4

可得：V八，解得：13,所以直線AC的解析式為：y=--x+8；

6m+〃=()c3

i[n=S

12

(2),?,點C(6,0),BC，x軸，，把x=6代入反比例函數(shù)丫=一，得

x

12

y=—=2,則B(6,2),

6

所以aABC的面積=-x(6—3)x2=3；

(3)①如圖，當四邊形ABCD為平行四邊形時，AD〃BC且AD=BC.

VA(3,4)、B(6,2)、C(6,0),

，點D的橫坐標為3,yA-yD=yB-ycBP4-yo=2-0,故yD=2.

所以D(3,2).

②如圖，當四邊形ACBD為平行四邊形時，AD/CB且AD，=CB.

VA(3,4)、B(6,2)、C(6,0),

，點D的橫坐標為3,丫>-)^=丫8-丫(2即丫口-4=2-0,故丫6=6.

所以D，(3,6).

③如圖，當四邊形ACD"B為平行四邊形時，AC=BD"且AC〃BD".

VA(3,4)、B(6,2)、C(6,0),

/.XD"-XB=XC-XAB|jXD"-6=6-3,故XD"=9.

yo--ye—yc-yA即yo"-2=0-4,故yD~-—2.

所以D”(9,-2).

綜上所述，符合條件的點D的坐標是：(3,2)或(3,6)或(9,-2).

10.(2020?湖南長沙市月考)在平面直角坐標系中，拋物線y=+Zzr+c(。。0)與x軸的兩個交點

分別為A、B,與丁軸相交于點C,點A(-2,0),3O=4AO,連接BC,tanZOCB=2.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的動點(不與C、B重合)，過點P做PDLBC,垂足為點D.

①點P在運動過程中，線段PD的長度是否存在最大值？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明

理由；

②以P、D、C為頂點的三角形與AC0A相似時，求出點P的坐標.

I3(1214、25

【答案】(1)y=-x~H■—x+4；(2)存在，點D的坐標為|工|；(3)「(6,4)或P(3,—).

42155)4

【詳解】解：(1)I?點A(-2,0),.-.0A=2."：BO=4AO,

；.BO=8,即點B(8,0).VtanZOCB=2,.\CO=4,即點C(0,4).

將A(-2,0),B(8,0),C(0,4)代入y=+以+。得:

1

a=——

4a-2b+c-04

313

64a+助+c=0解得<b=」拋物線的解析式為：y=―X2+-X+4.

242

c=4

c=4

(2)設(shè)直線BC的關(guān)系式為了=履+公B(8,0),C(0,4),

4=bk―――1

，解得《2..??直線BC的方程為丁=一—x+4.

0=8k+人6=42

如圖a,過點P作PG_Lx軸于點G,PG交CB于點E,可得NPED=NOCB.

在RtAPDE中，PD=PEsinZPED=PE-sinZOCB,

.?.當線段PE最長時，PD的長度最大.

131

設(shè)尸(右一一V0+—『+4),則E(t,一一，+4).

422

131

即PG=——/+—/+4,EG=一一Z+4.

422

1,1,

PE=PG—EC=——/+2/=——”4)2+4(0<t<8).

44

當t=4時，PE有最大值是4,此時P點坐標為(4,6).

VPD1BC,

二設(shè)直線PD為y=2x+b,P(4,6),

則b=-2,

.?.線PD的關(guān)系式為y=2x—2

12

y-2x-2x=一

5

為直線PD與直線BC的交點，則，1,，解得，

y=——x+414

-2廣二

即點D的坐標為(―9—).

(2)VOA=2,OB=8,OC=4,

/.AC2=22+42=20,AB?=(2+8)2=100,BC2=42+82=80.

可得AC2+BC2-AB2.

ZACB=90°.

RIACOA^RIABOC.

故當RtAPDC與RtACOA相似時，就有RtAPDC與RIABOC相似.

二ZPCD=ZCBO或/PCD=NBCO.

(i)如圖b,當/PCD=NCBO時，即RsPDCsRsCOB,則CP〃AB,

，解得xi=6,X2=0(舍)

即R3PDCsR3COB時,P(6,4)；

(ii)當NPCD二NBCO時，BPRtAPDC^RtABOC,

如圖c,過點P作PG_Lx軸于G,與直線BC交于F,

APF//OC,

/.ZPFC=ZBCO

:.ZPCD=ZPFC,

APF=PC.

i3i

設(shè)P(〃,一一/+—九+4),則=一―"+2〃，

424

過點P作y軸的垂線，垂足為N,