應用數(shù)學基礎 第2版 課件 第二章 概率初步

概率分析初步《應用數(shù)學基礎》第二章

在汽車保險業(yè)務中，汽車刮擦的可能性有70%；在一起搶劫案件中，律師提供的證據(jù)只有80%的可能性證明嫌疑犯有罪；一批產品中，有99%的產品是正品；在一個盛夏的夜晚，氣象局發(fā)布了凌晨5點鐘有50%可能性會有雷電的警報等等。在上述每一種情形中，都有某個事件發(fā)生的幾率、可能性或者說概率。本章將對概率論相關知識進行一些簡單的介紹，主要包括概率基礎、樹形圖輔助概率計算、二項分布與正態(tài)分布、期望與決策等內容。通過這些內容的學習，你將了解概率是如何被應用到諸如社會、經濟、法學等領域。引

言

第一節(jié)

概率基礎01第一節(jié)概率基礎一、加法原理與乘法原理

例1從甲地到乙地，有3條公路，2條鐵路，某人要從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？解

因為每一種走法都能完成從甲地到乙地這件事，有3條公路、2條鐵路，所

以全部的走法共有(種)加法原理：做一件事，完成它可以有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，，在第類辦法中有種不同完成這件事共有種不同的方法。且每的方法，那么種方法都能夠直接達到目的。

例2從甲地到乙地，有3條道路，從乙地到丙地有2條道路，那么從甲地經乙地到

丙地共有多少種不同的走法？解

根據(jù)要求，必須先從甲地到乙地，再從乙地到丙地，才能從甲地到達丙地。因為從甲地到乙地有3種走法，從乙地到丙地有2種走法，所以從甲地到丙地，所有不同的走法有(種)乘法原理：做一件事，完成它需要分成個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。第一節(jié)概率基礎例3

某大學公共課部有12名大學人文教師、8名數(shù)學教師、15名大學英語教師，省教育廳擬組織一次公共課課程研討會，需要學校派教師參會。

（1）若需要選派1名教師參會，有多少種不同的派法？

（2）若需要3門學科各派1名教師參會，有多少種不同的派法？

（3）若需要選派2名不同學科的教師參會，有多少種不同的派法？解

(1)分三類：第一類，派大學人文教師，有12種不同的派法；第二類，派數(shù)學教師，有8種不同的派法；第三類，派大學英語教師，有15種不同的派法。所以，共有種不同的派法。(2)分三步：第一步，派大學人文教師，有12種不同的派法；第二步，派數(shù)學教師，有8種不同的派法；第三步，派大學英語教師，有15種不同的派法。所以，共有種不同的派法。第一節(jié)概率基礎例3

某大學公共課部有12名大學人文教師、8名數(shù)學教師、15名大學英語教師，省教育廳擬組織一次公共課課程研討會，需要學校派教師參會。

（1）若需要選派1名教師參會，有多少種不同的派法？

（2）若需要3門學科各派1名教師參會，有多少種不同的派法？

（3）若需要選派2名不同學科的教師參會，有多少種不同的派法？解(3)分三類：第一類，派1名大學人文教師和1名數(shù)學教師（種）第二類，派1名數(shù)學教師和1名大學英語教師（種）第三類，派1名大學人文教師和1名英語教師（種）所以，共有種不同的派法。第一節(jié)概率基礎二、組合一般地，從元素中取出個元素的一個組合。個元素組成一組，叫做從個不同個不同元素中取出從不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示。個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個個不同元素中取出組合數(shù)的三條性質：（1）（2）（3）第一節(jié)概率基礎例4

平面內有10個點，問以其中每2個點為端點的線段共有多少條？解平面內10個點中，任意2個點為端點的線段的條數(shù)，就是從10個不同的元素中取出2個元素的組合數(shù)，即共有（條）例5“抗震救災，眾志成城”，在我國“四川5·12”抗震救災中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調6名奔赴賑災前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問：(1)抽調的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調方法有多少種？(2)至少有2名外科專家的抽調方法有多少種？第一節(jié)概率基礎第一節(jié)概率基礎解

(1)分步：①

從4名外科專家中任選2名（種）②

除外科專家外的6人中選取4人（種）共有（種）(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法．法一(直接法)按外科專家的人數(shù)分類①

選2名外科專家②選3名外科專家③選4名外科專家根據(jù)加法計數(shù)原理，共有種不同的抽調方法．第一節(jié)概率基礎法二

(間接法)①

不考慮是否有外科專家②

考慮選取1名外科專家參加③

沒有外科專家參加所以，共有：（種）第一節(jié)概率基礎三、概率的定義與性質

明天的天氣、被分到的牌、你是否會被染上禽流感、出現(xiàn)在彩票大獎中的數(shù)字等都是隨機現(xiàn)象，為了討論上述現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小，我們首先介紹概率中的一些基本概念。隨機現(xiàn)象：在一定條件下，重復進行某種試驗或觀察，可能出現(xiàn)這種結果，也可能出現(xiàn)另一種結果，到底出現(xiàn)哪個結果，事先不能確定的現(xiàn)象。隨機試驗：針對隨機現(xiàn)象進行試驗或觀察。第一節(jié)概率基礎隨機試驗的每一個可能結果或其中一些結果的集合稱為隨機事件，簡稱事件，通常用大寫字母

表示。（1）在一定條件下，必然會發(fā)生的事件稱為必然事件,記為（2）在一定條件下，必然不會發(fā)生的事件稱為不可能事件,記為樣本點：在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行試驗的每一個可能的結果。樣本空間：所有樣本點組成的集合。第一節(jié)概率基礎在不變的條件下，重復進行

次試驗，

事件

事件

發(fā)生的頻率。

顯然，概率具有下面三條性質

第一節(jié)概率基礎四、加法公式與乘法公式

或

或例如，擲一枚骰子，

則

第一節(jié)概率基礎加法公式

思考：如何借助集合運算的韋恩(Venn)圖來理解加法公式？第一節(jié)概率基礎例6

某設備由甲、乙兩個部件組成，超負荷時，甲出故障的概率為0.90，

乙出故障的概率分0.85，甲、乙兩部件同時出故障的概率為0.80，求超負荷時至少有一個部件出故障的概率。

于是即超負荷時，至少有一個部件出故障的概率是0.95。第一節(jié)概率基礎例7

某廠出產的一批產品中含有一、二等品及廢品三種，若一、二等品率分別為80%和13%，求產品的合格率和廢品率。

顯然則第一節(jié)概率基礎

發(fā)生的概率為條件概率，記作

，且思考：你能借助集合運算的韋恩(Venn)圖來理解條件概率公式嗎？第一節(jié)概率基礎例8

某種電子元件用滿6000小時未壞的概率是0.75，用滿10000小時未壞的概率為0.5，現(xiàn)有一個這樣的電子元件，已經用滿6000小時未壞，問它再用4000小時也未壞的概率？解設

由于，即,所以第一節(jié)概率基礎例9

表2-1為某企業(yè)男職工與女職工在過去5年的升職情況，試說明該企業(yè)在職工升職過程中是否存在性別歧視。

男女小計升職人數(shù)801595未升職人數(shù)22085305小計300100400表2-1某企業(yè)職工升職情況表解設

考慮升職過程中是否存在性別歧視，即考慮給定是女職工、男職工時升職的概率,即需要求出第一節(jié)概率基礎從表2-1中可知所以顯然，在該企業(yè)中男職工的升職機會比女職工多一些。第一節(jié)概率基礎乘法公式

第一節(jié)概率基礎例10已知盒中裝有10個電子元件，其中6個正品，現(xiàn)從盒中不放回地任取兩次，每次取1個，問兩次都取到正品的概率是多少?解設

注意：乘法公式還可以推廣到多個事件相交的情況。第一節(jié)概率基礎五、事件的獨立性與貝努利試驗

如果

，

則乘法公式就可以表示為

第一節(jié)概率基礎關于事件的獨立性，有如下性質：

在實際應用中，一般不借助定義來判斷事件間的獨立性，而是根據(jù)問題的具體情況，按照獨立性的直觀定義或經驗來判斷事件的獨立性。第一節(jié)概率基礎例11甲、乙兩人考大學，甲考上本科的概率是0.5，乙考上本科的概率是0.4，問

（1）甲、乙兩人都考上本科的概率是多少？

（2）甲、乙兩人至少一人考上本科的概率是多少？解設

（1）甲、乙兩人考上本科的事件是相互獨立的，所以兩人都考上本科的概率是（2）甲、乙兩人至少一人考上本科的概率是第一節(jié)概率基礎例12某藥廠生產一批產品要經過四道工序，設第一、二、三、四道工序的次品率分別為0.02,0.03,0.05,0.1，假定各道工序互不影響，試求該產品的合格品率。

因為產品合格要求四道工序全部合格，則所以第一節(jié)概率基礎貝努利試驗是指滿足下面2個條件的隨機試驗：

(2)各次試驗都是相互獨立的。

第一節(jié)概率基礎例13一種藥品對某疾病的治愈率為60%，今用該藥治療患者10例，問恰好治愈2例的概率是多少？解治療10例患者相當于做了10次貝努利試驗，設

例14某射手每次擊中目標的概率是0.6，如果射擊5次，試求至少擊中2次的概率。

第二節(jié)

樹形圖輔助概率計算02第二節(jié)樹形圖輔助概率計算一、樹形圖輔助乘積事件概率的計算例14在美國，參加駕駛員考試的路考通常只有三次機會，有些人認為應該只給兩次機會，而有些人則感到對于那些第三次才通過的人而言，這樣的規(guī)定過于苛刻。從歷史的紀錄來看，60%的人第一次路考就能通過，在第二次路考中有75%的人通過，而在第三次路考中只有30%的人通過。求（1）第二次才通過的概率?（2）第三次才通過的概率?第二節(jié)樹形圖輔助概率計算

圖2-13次路考通過與否情的樹形圖第二節(jié)樹形圖輔助概率計算

(1)第二次才通過路考考試，意味著第一次未通過、第二次通過，故可用圖2-1中的分支顯然，第一次未通過的概率為第一次未通過的條件下，第二次通過的概率為根據(jù)乘法公式，第二次才通過的概率為第二節(jié)樹形圖輔助概率計算(2)第三次才通過，意味著第一次、第二次都未通過且第三次通過，其對應于樹形圖中的分支為所以

計算結果表明，到了第三次路考才通過的概率僅僅是0.03，所以減少路考的限制次數(shù)不會對參考者產生多大的影響。第二節(jié)樹形圖輔助概率計算例15為響應國家號召，某大學生參加村委會主任應聘考核，考核依次分為筆試、面試、試用共三輪，規(guī)定只有通過前一輪考核才能進入下一輪考核，否則被淘汰，三輪考核都通過才能正式錄用。設該大學生通過三輪考核的概率分別為0.5,0.75,0.8，且各輪考核通過與否相互獨立，求該大學畢業(yè)生未進入第三輪考核的概率？

圖2-2大學生村官通過考核狀態(tài)樹形圖第二節(jié)樹形圖輔助概率計算根據(jù)圖2-2，該大學生未進入第三輪考核有兩種可能，第一輪未通過考核或第一輪通過但第二輪未通過考核，即包含了兩個分支和兩個分支的概率分別為所以，該大學生未進入第三輪考核的概率為第二節(jié)樹形圖輔助概率計算二、樹形圖輔助全概率問題的計算

在概率論中，人們常常希望從已知的簡單事件的概率推算出未知的復雜事件的概率。為達到這個目的，需要把一個復雜事件分解成若干個互不相容的簡單事件的和，分別計算這些簡單事件的概率，再利用概率的加法公式和乘法公式得到復雜事件的概率，這就是全概率問題，下面通過實例說明這種全概率問題的計算方法。例16倉庫有甲、乙兩廠生產的同類產品，甲廠產品占70%，乙廠產品占30%，甲廠產品中合格品占95%，乙廠產品中合格品占90%，現(xiàn)從倉庫中任取一件產品，求取得合格品的概率。第二節(jié)樹形圖輔助概率計算解設A={取得甲廠產品}，B={取得合格品}，畫出樹形圖，并標出各分支的概率，如圖2-3所示。圖2-3任取一件產品的樹形圖第二節(jié)樹形圖輔助概率計算顯然，事件B可分解為兩個事件的和，即

根據(jù)樹形圖得所以，取得合格品的概率為0.935。第二節(jié)樹形圖輔助概率計算三、樹形圖輔助全概率問題的計算

如果隨機事件A已經發(fā)生了，需要求在導致事件A發(fā)生的各種原因的概率有多少，即所求的是條件概率，這是由果探因的過程，是貝葉斯推斷需要解決的問題。同樣，我們可以利用樹形圖解決貝葉斯推斷問題。例201981年3月30號，美國一所大學的退學學生JohnW.Hinckley企圖對里根總統(tǒng)行刺，他打傷了里根、里根的新聞秘書以及兩名保鏢。在1982年審判時，Hinckley以他患有精神病為理由對自己進行無罪辯護，辯護律師也試圖拿他的CAT掃描作為證據(jù)，辯護人爭辯說因為Hinckley的CAT掃描顯示了腦萎縮，因而Hinckley患有精神分裂癥的可能性更大些。在美國精神分裂癥的發(fā)病率大約為1.5%，下面從概率的角度對Hinckley是否患有精神分裂癥進行可能性分析。

以往的臨床資料表明，精神分裂癥患者掃描結果為腦萎縮的概率約為30%，而健康人掃描結果為腦萎縮的概率約為2%。第二節(jié)樹形圖輔助概率計算解令A={精神分裂癥患者}，B={掃描結果為腦萎縮}，畫出樹形圖，并標出各分支的概率，如圖2-5所示。圖2-5腦萎縮掃描的樹形圖第二節(jié)樹形圖輔助概率計算

從概率的角度分析Hinckley是否患有精神分裂癥，就是求在掃描結果為腦萎縮的條件下，Hinckley患有精神分裂癥的概率大小，即求根據(jù)圖2-5，隨機的一個人，其掃描結果為腦萎縮的概率一個人患有精神分裂癥且掃描結果為腦萎縮的概率根據(jù)條件概率公式，得

由結果可知，雖然Hinckley的CAT掃描顯示了腦萎縮，但是他患有精神病的可能性為18.6%，因此從概率的角度不能認為Hinckley患有精神分裂癥。

第三節(jié)

二項分布和正態(tài)分布03第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布一、隨機變量的概念

隨機試驗的結果可表現(xiàn)為數(shù)量，如產品檢驗中，出現(xiàn)的不合格品數(shù)；商店銷售中的銷售額、利潤值；醫(yī)療治療中治愈的病人數(shù)；某種零件的長度等。隨機變量：在隨機試驗中，每一個試驗結果都用一個確定的數(shù)字表示。這樣，隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量。通常用表示。離散型隨機變量：如果隨機變量X的取值只有有限個或可列個數(shù)值。連續(xù)型隨機變量：如果隨機變量X的取值是整個數(shù)軸或數(shù)軸上某些區(qū)間第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布如果離散型隨機變量X的所有的取值為，且X取每一個值的概率，將X可能的取值和取這些值的概率列成表2-2：表2-2離散型隨機變量的概率分布列XPi表2-2稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱X的分布列。第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布根據(jù)概率的性質，離散型隨機變量的分布列有如下性質：性質1性質2

對于離散型隨機變量，在某一范圍內取值的概率等于它取這一范圍內各個值的概率之和，即第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布例21

擲一枚質地均勻的骰子，X表示骰子擲出的點數(shù)，用列表法表示X的分布列并求出

。解

X的分布列如表2-3所示。XPi1

2

3

456表2-3X的分布列第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布例22某服裝店老板根據(jù)以往的經驗估計每個進店顧客購買服裝的概率是0.3，現(xiàn)有4名顧客進店，問其中有兩名顧客會購買的概率是多少？解設X表示會購買服裝的顧客人數(shù)，則故所求概率為第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布例23已知某地區(qū)人群患有某種病的概率是0.2，研制某種新藥對該病有防治作用，現(xiàn)有15個人服用此藥，結果都沒有得該病，從這個結果我們對該種新藥的效果能得到什么結論？解

15個人服用該藥，可看作是15次獨立重復試驗，若該藥無效，則每人得病的概率是0.2，15個人中得病的人數(shù)應服從參數(shù)為(15,0.20)的二項分布，設15個人中的得病人數(shù)為X，則15人都不得病的概率是

這說明，若藥無效，則15人都不得病的可能性只有0.035，這個概率很小，所以實際上可認為該藥有效。第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布例24在美國某一刑事案件中，被告是一名非裔美國人，在被告居住的社區(qū)中，只有黑人或白人，其中50%的居民都是黑人，但12名陪審團成員中根本沒有黑人列席，這中現(xiàn)象意味著是種族歧視還是偶然事件？解

設12名陪審員中的黑人數(shù)為X，則X=0的概率法一：法二：利用EXCEL中的BINOM.DIST函數(shù)EXCEL操作演示第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布

如果離散型隨機變量X的分布列為則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為

與二項分布類似，我們可以利用EXCEL中的POISSON.DIST函數(shù)解決泊松分布的概率計算問題。第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布例25一電話交換臺每分鐘收到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率；（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。解設X表示每分鐘收到的呼叫次數(shù)，則（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率EXCEL操作演示第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布三、正態(tài)分布

正態(tài)分布是在19世紀前葉，由高斯在研究誤差理論時發(fā)現(xiàn)的，通常也稱為高斯分布，是應用最廣泛的連續(xù)型隨機變量分布。如果一個數(shù)量指標受到大量的彼此獨立且作用微小的隨機因素的作用，這個數(shù)量指標就服從或近似服從正態(tài)分布。引例

表2-4給出了100位調查對象的初婚年齡統(tǒng)計情況。區(qū)間頻次頻率18.5—20.550.0520.5—22.5100.1022.5—24.5200.2024.5—26.5300.3026.5—28.5200.2028.5—30.5100.1030.5—32.550.05表2-4初婚年齡統(tǒng)計表第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布根據(jù)表2-4的數(shù)據(jù)，容易畫出它的頻率直方圖，如圖2-6所示。

如果我們的調查對象越來越多，年齡區(qū)間越分越細，即不以兩歲作為一個區(qū)間，而是以一歲、半歲、……、甚至更小的年齡段作為一個區(qū)間，則頻率分布直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線，如圖2-7。圖2-6初婚年齡的頻率分布直方圖圖2-7頻率分布的極限曲線第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布這條鐘形曲線(近似地)就是下面函數(shù)的圖像

其中，實數(shù)

和

為參數(shù)，我們稱

的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線。第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布一般地，對于隨機變量X，如果存在一條正態(tài)曲線

第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布正態(tài)曲線有以下性質：性質1

性質2性質3性質4性質5性質6

第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布方差相等、均數(shù)不等的正態(tài)分布演示圖均數(shù)相等、方差不等的正態(tài)分布演示圖：位置參數(shù)：形狀參數(shù)第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布如果設X表示初婚年齡，則X是隨機變量，X落在某個區(qū)間的概率等于在區(qū)間(-∞,a]的概率在區(qū)間(b,+∞]的概率在區(qū)間(a,b]的概率第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布

解

依題意，（1）該車間工人中任選一人，其完成該道工序的時間不超過7分鐘的概率（2）該車間工人中任選一人，其完成該道工序的時間不超過15分鐘的概率EXCEL操作演示第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布

解設X為母親懷孕期的天數(shù)，

，如果被告是孩子的父親，則或即

這說明被告是孩子的父親是幾乎不可能發(fā)生的事情，因此被告可以根據(jù)該證詞為自己辯護。EXCEL操作演示第三節(jié)二項分布和正態(tài)分布

在實際應用中，通常認為服從于正態(tài)分布

的隨機變量X幾乎只取

之間的值，在實際應用中，稱之為正態(tài)分布的

原則。

第四節(jié)

期望與決策04第四節(jié)期望與決策

相應的概率為，則稱

第四節(jié)期望與決策隨機變量數(shù)學期望的性質性質1性質2性質3

也是隨機變量，且則

，則

，則第四節(jié)期望與決策例2910000張獎券中，有1張一等獎，獎金1000元，10張二等獎，每張獎金100元，100張三等獎，獎金10元?，F(xiàn)從10000張獎券中抽出1張，求1張獎券的期望收益。解若抽到一等獎，獎金是1000元，若抽到二等獎，獎金是100元，若抽到三等

獎，獎金是10元，因此1張獎券的期望收益為這個結果意味著抽1張獎券的數(shù)學期望為0.3元。第四節(jié)期望與決策例30

某房地產公司準備投標一處建筑項目。如果中標，獲利500萬元的概率是50%，中標后由于建筑提價等因素影響而損失200萬元的概率40%，投標不中的概率為10%。問房地產公司投標的期望收益是多少萬元？

表2-5投標的損益表

（利潤單位：萬元）500-200

00.50.40.1期望收益為(萬元)即房地產公司投標該項目的期望收益是170萬元。第四節(jié)期望與決策

，相應的，則稱

概率為將

隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反應了隨機變量取值的穩(wěn)定和波動、集中和離散程度，方差越小，穩(wěn)定性越高，波動越小。第四節(jié)期望與決策隨機變量方差的性質性質1性質2性質4

，則

，則設為常數(shù)，則

性質3第四節(jié)期望與決策例31隨機拋擲一枚質地均勻的骰子，求拋擲骰子點數(shù)的均值、方差．解拋擲骰子所得點數(shù)的分布列為123456從而第四節(jié)期望與決策第四節(jié)期望與決策例32

有甲、乙兩個單位都愿意聘用