高三沖刺卷（三）全國I卷數(shù)學（理）試卷含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精百師聯(lián)盟2020屆高三沖刺考(三）全國卷理科數(shù)學試卷注意事項：1、答卷關，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1。已知復數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)的值為（）A。1 B。 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】將復數(shù)化簡為的形式，若復數(shù)為純虛數(shù)，則，且，可解得的值.【詳解】，因為復數(shù)是純虛數(shù)，故，,解得.故選：A。【點睛】本題考查復數(shù)的分母實數(shù)化運算和純虛數(shù)的定義，考查了學生的運算求解能力和理解辨析能力，是基礎題.2。已知集合，集合,則(）A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，函數(shù)的值域，結合集合交集的定義進行求解即可.【詳解】集合，集合，所以.故選:B【點睛】本題考查了函數(shù)的值域，考查了集合的交集運算，運算數(shù)學運算能力。3.在等比數(shù)列中，，，則等于（)A。9 B. C。 D。3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標的性質(zhì)進行求解即可【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)，得，因為,解得。故選：D【點睛】本題考查了等比數(shù)列的下標性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.4。函數(shù)在上的大致圖象是（）A. B.C。 D.【答案】A【解析】【分析】本題可通過排除法找函數(shù)圖像，先判斷原函數(shù)是否具有奇偶性，再利用特殊值法可得出正確的選項.【詳解】因為，，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，排除選項B，C；又因為.故選：A?！军c睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應用，若特值法無法選出正確選項,則考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)圖像，著重考查推理論證和運算求解的能力，是基礎題.5.劉徽是我國古代偉大的數(shù)學家，他的《九章算術注》和《海島算經(jīng)》被視為我國數(shù)學史上的瑰寶，他創(chuàng)立的“割圓術”理論上能把的值計算到任意精度.“割圓術”是指用圓內(nèi)接正多邊形的面積來近似代替圓的面積，如圖,從正六邊形開始，依次將邊數(shù)增倍,使誤差逐漸減小，當圓內(nèi)接正三百六十邊形時,由“割圓術”可得圓周率的近似值為（)A. B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】圓內(nèi)接正三百六十邊形可以看成由360個頂角為的等腰三角形構成，腰長與圓的半徑相等，利用圓內(nèi)接正三百六十邊形的面積與圓的面積近似相等，計算的近似值.【詳解】設圓的半徑為1,當圓內(nèi)接正三百六十邊形時，每邊端點與圓心連線構成的小三角形均為腰為1，頂角為的等腰三角形，則圓內(nèi)接正多邊形的面積為,圓的面積為，用圓內(nèi)接正多邊形的面積來近似代替圓的面積，即有。故選：D?！军c睛】本題利用“割圓術”計算圓周率的近似值,需要仔細閱讀題干，理解“割圓術”的概念,考查學生的理解辨析能力和運算求解能力，是基礎題。6.實數(shù)，滿足不等式組則最小值為（）A. B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】在平面直角坐標系內(nèi)，畫出可行解域，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義,結合點到直線的距離公式進行求解即可?！驹斀狻孔鞒隹尚杏蛉鐖D中陰影部分所示，的幾何含義為過原點到陰影區(qū)域內(nèi)的點距離的最小值的平方,易知原點到直線的距離,即原點到陰影區(qū)域的最小值，而，則的最小值為.故選:D【點睛】本題考查了利用幾何意義求目標函數(shù)的最值問題，考查了數(shù)形結合思想，考查了數(shù)學運算能力.7.若雙曲線的漸近線與拋物線相切，則（)A。 B. C.2 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合雙曲線的漸近線方程進行求解即可?！驹斀狻靠梢栽O切點為，由，所以切線方程為,即．因為已知雙曲線的漸近線為，所以解得。故選:A【點睛】本題考查了拋物線的切線問題，考查了數(shù)學運算能力。8.二項式的展開式中常數(shù)項為（）A。80 B.60 C.30 D。8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可?！驹斀狻慷検降耐椆?，令，所以常數(shù)項.故選：B【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了二項式展開式的通項公式的應用，考查了數(shù)學運算能力。9。在平面直角坐標系中，軸負半軸上有4個點，軸負半軸上有3個點，將軸負半軸上這4個點和軸負半軸上這3個點連成12條線段，這12條線段在第三象限內(nèi)的交點最多有(）A.6個 B.12個 C。18個 D.24個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四邊形的構造方法,結合組合的知識進行求解即可.【詳解】易知軸上任意兩個點和軸上任意兩個點可以構成一個四邊形，則這個四邊形唯一的對角線交點在第三象限,適合題意．而這樣的四邊形共有個，于是最多有18個交點.故選:C【點睛】本題考查了組合的應用，考查了數(shù)學運算能力。10.如圖,在長方體中,，，點為中點,現(xiàn)有一只螞蟻欲從點沿長方體的表面爬行到點覓食，則螞蟻爬行的最短距離為（）A。2 B。3 C。 D。【答案】C【解析】【分析】根據(jù)長方體展開的方式,結合勾股定理分類討論求解即可?！驹斀狻咳鐖D，將長方體展開，由于兩點之間線段最短，故點到點應取直線段,圖中路線①的長度，路線②的長度，路線③的長度，路線④的長度，所以螞蟻爬行的最短距離為。故選:C【點睛】本題考查了長方體表面上路徑最短問題，考查了勾股定理的應用，考查了數(shù)學運算能力和空間想象能力。11.已知,曲折：與直線：（且）交于，兩點,則的周長的最小值為(）A. B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】化簡曲線的方程,可利用拋物線定義將長度進行轉(zhuǎn)化,得出的周長的最小值.【詳解】易知曲線是由兩拋物線和構成，如圖,設與軸交于點,拋物線的焦點為，連接，,則，的周長,當，，的三點共線時取等號.故選:B?！军c睛】本題考查直線與拋物線的綜合問題，拋物線的性質(zhì)，考查數(shù)形結合和求解運算的能力，是中檔題。12.在中，角，，所對應的邊分別為,，若且．則面積的最大值為（)A。 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理,結合基本不等式、三角形面積公式進行求解即可【詳解】因為，由正弦定理得，,即，由余弦定理,當且僅當時取等號，所以，，則，所以面積的最大值.故選:B【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，考查了基本不等式的應用，考查了數(shù)學運算能力。二、填空題:本題共4小題．每小題5分，共20分．13.已知向量，，若,則__________。【答案】2【解析】【分析】利用兩向量垂直數(shù)量積等于0得出的坐標,再計算出的坐標，最后利用坐標計算.【詳解】因為,所以,，所以.故答案為：2?！军c睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算和向量的模的坐標運算，考察了學生的求解運算能力，是基礎題。14.若關于的不等成立的必要不充分條件是,則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義,結合集合間的關系、絕對值的不等式解法進行求解即可.【詳解】由得，,依題意有集合是集合的真子集，所以滿足解得，則實數(shù)的取值范圍是．故答案為:【點睛】本題考查了已知必要不充分條件求參數(shù)取值范圍問題,考查了絕對值不等式的解法，考查了數(shù)學運算能力.15。已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，其一個對稱中心為，則__________；把的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)最小值為__________．（第1空2分，第2空3分）【答案】(1）。(2）?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式和對稱性可以求出的解析式，再利用正弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)可以求出的解析式，最后利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)，結合兩角和的正弦公式和余弦公式求出最值.【詳解】由函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，得,所以，,又其一個對稱中心,即有，，則，，又，所以，，，函數(shù)．故答案為：；．【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查了正弦型函數(shù)的圖象變換性質(zhì)，考查了兩角和的正弦公式和余弦公式,考查了數(shù)學運算能力.16。己知函數(shù)，，，使，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】利用換元法，根據(jù)兩點距離公式，導數(shù)的幾何意義，結合存在性的定義、反函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可?！驹斀狻苛睿瑒t，則即為兩點,距離．設點,，因為，則函數(shù)在點處的切線斜率為，設函數(shù)，則，函數(shù)在點處的切線斜率為，且，所以結合反函數(shù)的知識可得，為的最小值,所以由題意:當時,函數(shù)與函數(shù)圖象有交點，滿足題意；當時，函數(shù)與函數(shù)圖象無交點，只須滿足，解得;綜上．故答案為：．【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了反函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題．考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分．17.在中，角，,所對的邊分別是，，，且。（1）求的值；（2）若,求面積的最大值.【答案】（1）；(2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）先利用同角三角函數(shù)基本關系式求出，再用降冪公式和正弦倍角化簡結果，最后代入求值；(2）利用余弦定理列出邊的等量關系，再用基本不等式得出的最大值?！驹斀狻浚?）因為，所以，；（2)由余弦定理知，，所以，當且僅當時取“=",則的面積，即面積的最大值為。【點睛】本題考查三角恒等變換,余弦定理解三角形,考查運算求解的能力,是基礎題。18.如圖,直四棱柱中，，，點,分別，中點．（1)證明：∥平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）見解析(2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，，根據(jù)三角形中位線定理,結合平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，線面平行的判定定理進行證明即可;(2)根據(jù)勾股定理的逆定理，結合直棱柱的性質(zhì)，建立空間直角坐標系,利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）證明:如圖,取中點，連接，，因為點，為中點，所以,且,因為點為中點，所以，即,,所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面（2）因為，,，所以，即為直角三角形，所以,因為四棱柱是直棱柱，所以，,以為坐標原點，分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，可得，，,,,所以，,易知平面的一個法向量，設平面的一個法向量，則即可取,則，以為坐標原點，分別以，，為,，軸建立如圖所示空間直角坐標系，由圖可知二面角為銳角,設二面角大小為，則．【點睛】本題考查了線面平行的證明，考查了利用空間向量夾角公式求二面角的平面角，考查了推理論證能力和數(shù)學運算能力。19.已知點在橢圓：上，且橢圓的離心率為．(1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，若橢圓的弦中點在線段（不含端點，）上，求取值范圍．【答案】（1）（2)【解析】【分析】（1）把點的坐標代入橢圓的標準方程中，根據(jù)橢圓離心率公式，結合進行求解即可；(2)設出點的坐標,運用點差法求出直線的斜率，設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式和一元二次方程根與系數(shù)的關系和根的判別式進行求解即可?！驹斀狻浚?）由條件知,，結合解得，，所以橢圓的方程為．（2）設點,的坐標為，,則中點在線段上,且，所以，又，，兩式相減得，，易知，,所以，即．設方程為，代入并整理得．由解得，又由,所以．韋達定理得,，故．而，所以的取值范圍是．【點睛】本題考查了求橢圓的標準方程，考查了橢圓離心率公式，考查了平面向量數(shù)量積的取值范圍,考查了點差法的應用，考查了數(shù)學運算能力。20.已知函數(shù)．（1）若為函數(shù)的極值點，求函數(shù)的值域;（2）是否存在值，使得不等式對任意恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．【答案】（1）；函數(shù)的值域為:；（2）。【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)極值的定義，結合導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可;（2)對原不等式進行變形，構造新函數(shù),根據(jù)的正負性結合導數(shù)的性質(zhì)分類討論進行求解即可.【詳解】（1），由題意可知：，,令,所以是單調(diào)遞增函數(shù)，而,因此當時,單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，因此函數(shù)的值域為：；（2），設，問題轉(zhuǎn)化為當時，恒成立.當時,，顯然有，不符合題意；當時，當時，，不符合題意；當時，，當時，，因此函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，因此由,可得，所以當時，函數(shù)的最小值為，要想在時，恒成立，只需，綜上所述：存在值，使得不等式對任意恒成立，取值范圍為：.【點睛】本題考查了函數(shù)極值的定義,考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查了數(shù)學運算能力.21。2020年春節(jié)即將來臨,某市一商家為了在春節(jié)期間更好地推銷某種商品，決定分析2019年春節(jié)期間的銷售情況以進行反饋調(diào)整，已知該商品去年日營銷費用和日銷售量的關系如下表所示：日營銷費用（單位：千元）23456日銷售量（單位：百件）1720242326并隨機抽取了200名老顧客進行了2020年購買意愿調(diào)查，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示：愿意繼續(xù)購買不愿意繼續(xù)購買男性顧客5030女性顧客100（1）求出相關系數(shù)的大小，并判斷去年日銷售量與日營銷費用具有哪種線性相關．（規(guī)定：若為低度線性相關；若為顯著性相關;若線性相關;若為無線性相關．）（2）判斷是否有的把握認為老顧客的性別與2020年繼續(xù)購買該商家此商品的意愿具有相關性．(3）該商家為了在今年春節(jié)期間吸引更多的顧客,設計了一個小游戲：顧客可以根據(jù)拋一張只有正反面的卡片出現(xiàn)的結果，操控一枚棋子在方格紙上行進，若小棋子最終停在“幸運格”,則可獲得購物優(yōu)惠券2千元,已知卡片出現(xiàn)正，反面的概率分別為，，方格紙上標有第0格，第1格，第2…第30格．棋子開始在第0格，顧客每拋一次卡片,棋子向前移動一次．若拋出正面,棋子向前移動一格（從到）；若拋出反面，棋子向前移動兩格（從到），直到棋子移到第29格（“幸運格”）或第30格(“無緣格”）時，游戲結束．設棋子移到第格的概率為．（ⅰ）試求的通項公式；（ⅱ）并求參與游戲一次的顧客獲得購物優(yōu)惠券金額的期望值．參考公式：，，其中．臨界值表:0.1000。0500.0250.0100。0012。7063。8415。0246。63510。828參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）線性相關;（2）有的把握認為老顧客的性別與2020年繼續(xù)購買該商家此商品的意愿具有相關性；(3)（?。?ⅱ)1500元.【解析】【分析】(1）利用所給的公式進行計算，結合已知所給的規(guī)定進行求解即可;（2)根據(jù)題意補全列聯(lián)表，根據(jù)題中所給的公式求出的值，并根據(jù)臨界值進行判斷即可；(3）（?。┫惹蟮闹担偾蟪鰯?shù)列的遞推公式,然后對遞推公式進行變形,結合累和法和等比數(shù)列前項和公式進行求解即可；(ⅱ）運用數(shù)學期望公式進行求解即可。【詳解】（1），因此，所以有成立，因此去年日銷售量與日營銷費用具有線性相關；(2）因為隨機抽取了200名老顧客進行了2020年購買意愿調(diào)查，所以根據(jù)表中數(shù)據(jù)所知女性顧客中不愿意繼續(xù)購買的人數(shù)為，因此列聯(lián)表如下：愿意繼續(xù)購買不愿意繼續(xù)購買男性顧客5030女性顧客10020因為，所以有的把握認為老顧客的性別與2020年繼續(xù)購買該商家此商品的意愿具有相關性;(3）(?。┯深}意可得；，由題意經(jīng)過分析得：，變形為：,因此數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,因此，所以有:也適合，因此；（ⅱ）由題意可知:小棋子最終停在“幸運格”，可獲得購物優(yōu)惠券2千元，而第29格是“幸運格"，所以參與游戲一次的顧客獲得購物優(yōu)惠券金額的期望值為：元?！军c睛】本題考查了線性相關系數(shù)的計算,考查了的計算，考查了數(shù)學建模能力，考查了累和法求數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的前項和公式，考查了數(shù)學期望的計算，考查了數(shù)學運算能力。（二