【高中數(shù)學(xué)】等比數(shù)列的前n項和公式第2課時課件-2023-2024學(xué)年高二上人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式復(fù)習(xí)回顧1、等比數(shù)列的前n項和公式(1)“知三求二”實質(zhì)是方程思想．(2)當(dāng)已知a1，q(q≠1)及n時，用公式求和比較方便；當(dāng)已知a1，q，an時，則用公式求和．2、方法總結(jié)當(dāng)q=1時，Sn=na1新知探究思考1：等比數(shù)列前n項和公式

(q≠1)有什么樣的函數(shù)特征？等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)①當(dāng)q≠1時，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).②當(dāng)q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數(shù).qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).則Sn＝Aqn－A.1、一個等比數(shù)列的前n項和Sn=(1-2λ)+λ·2n，則λ=()A、-1 B、1 C、2 D、3

例題解析B解析：∵Sn＝Aqn－A.∴qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).∴1-2λ=-λ，∴λ=1隨堂練習(xí)1、若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項和為Sn=3n+1-2k，則實數(shù)k等于

.

解析：∵Sn=3n+1-2k=3·3n-2k，且{an}為等比數(shù)列，∴3-2k=0，即2、記數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋λ.(1)當(dāng)λ＝3時，求{an}的通項公式；(2)是否存在常數(shù)λ，使得{an}為等比數(shù)列？請說明理由．例題解析解析：(1)把λ＝3代入數(shù)列的前n項和，求出首項，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2時的通項公式，驗證后得答案．解：(1)當(dāng)λ=3時，Sn=2n＋3，①當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=2n＋3－2n－1－3=2n－1.②當(dāng)n=1時a1=S1=5，不符合上式.2、記數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋λ.(1)當(dāng)λ＝3時，求{an}的通項公式；(2)是否存在常數(shù)λ，使得{an}為等比數(shù)列？請說明理由．例題解析解：(2)由Sn＝2n＋λ，得

①當(dāng)n＝1時a1＝S1＝2＋λ；

②當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1.

若存在常數(shù)λ，使得{an}為等比數(shù)列，

則2＋λ＝20＝1，得λ＝－1.

故存在實數(shù)λ＝－1，使得{an}為等比數(shù)列．解析：(2)由數(shù)列的前n項和求得首項，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2時的通項公式，由首項適合該通項公式即可求得λ的值．2、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2n-1，判斷{an}是不是等比數(shù)列，請說明理由．隨堂練習(xí)解：由Sn＝2n-1，得a1=S1=1，當(dāng)n≥2時，an=Sn－Sn－1=(2n-1)－(2n－1-1)=2n－1，令n=1，得21-1=1=a1，所以an=2n－1，n∈N*，所以{an}是等比數(shù)列.新知探究注意：(3)(4)不能作為證明方法，證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，只能用定義法或等比中項法．等比數(shù)列的判定(2)等比中項法：若an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列．

(1)定義法：若數(shù)列{an}滿足

(q為常數(shù)且不為零)或

(n≥2，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

(3)通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．(4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝Aqn－A(Aq≠0且q≠1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．新知探究思考2：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶、S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則S偶，S奇之間有什么關(guān)系？等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)(1)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，則(2)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n?S偶＝qS奇?3、已知等比數(shù)列{an}共有32項，其公比q=3，且奇數(shù)項之和比偶數(shù)項之和少60，則數(shù)列{an}的所有項之和是()A、30 B、60 C、90 D、120

例題解析D解：設(shè)等比數(shù)列{an}的奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，則S偶=qS奇=3S奇又S奇

+60=S偶，則S奇

+60=3S偶

∴S奇=30，S偶=90故數(shù)列{an}的所有項之和是30+90=120.3、已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為-240，且(a1+a3+…+a2n-1)﹣(a2+a4+…+a2n)=80，則公比q=

.

隨堂練習(xí)2解：因為{an}是項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，又因為S奇+S偶=-240，S奇-S偶=80，所以S奇

=-80，S偶=-160新知探究思考3：已知等比數(shù)列{an}的公比q≠-1，前n項和為Sn，證明Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數(shù)列，并求這個數(shù)列的公比.等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)

因為qn為常數(shù)，所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比數(shù)列，公比為qn.證明：當(dāng)q=1時，Sn=na1，S2n-Sn=2na1-na1=na1，S3n-S2n=3na1-2na1=na1，4、等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=48，前2n項和為S2n=60，則前3n項和S3n=___.例題解析方法一：設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，由已知易知q≠1，方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，得(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，解得S3n＝63.4、在等比數(shù)列{an}中，若S2=7，S6=91，則S4=

.

隨堂練習(xí)解：∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且易知公比q≠-1，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4也構(gòu)成等比數(shù)列，即7，S4-7，91-S4構(gòu)成等比數(shù)列，∴(S4-7)2=7(91-S4)，解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2

=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0，∴S4=28.5、如果一個等比數(shù)列前5項和等于10，前10項的和等于50，求這個數(shù)列前15項的和及其公比.隨堂練習(xí)方法一：設(shè)等比數(shù)列的首項為a1，公比為q，由已知易知q≠1，方法二：由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，得(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.例題解析等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用5、如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E,F,G,H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少?分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個等比數(shù)列.解：設(shè)正方形的面積為a1，后繼各正方形的面積依次為a2，a3，…，an，…，則a1=25.設(shè){an}的前項和為Sn.則數(shù)列{an}是以25為首項，公比為

的等比數(shù)列.所以，前10個正方形的面積之和為由于第k+1個正方形的頂點分別是第k個正方形各邊的中點，所以例題解析等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用5、如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E,F,G,H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少?(2)當(dāng)n無限增大時，Sn無限趨近于所有正方形的面積和：a1+a2+a3+…+an+…，所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50.隨著n的無限增大，

將趨近與0，Sn趨近與50.例題解析等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用6、去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理，預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請寫出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列

.因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進(jìn)行計算.解：設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量(單位：萬噸)構(gòu)成等比數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量(單位：萬噸)構(gòu)成等差數(shù)列{bn}，

n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn(單位：萬噸)，則an=20(1+5%)n，bn=6+1.5n，Sn=(a1?b1)+(a2?b2)+…+(an?bn)=(a1+a2+…+an)?(b1+b2+…+bn)=(20×1.05+20×1.052+…+20×1.05n)?(7.5+9+…6+1.5n)當(dāng)n=5時，S5≈63.5所以，從今年起5年內(nèi)，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸.方法總結(jié)數(shù)列求和方法：分組求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n項和公式，其中{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列；(2)

將等差數(shù)列和等比數(shù)列分開：Tn＝c1+c2+…+cn＝(a1+a2+…+an)±(b1+b2+…+bn)(3)利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和公式來計算Tn.例題解析等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用7、某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛。設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系；(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精確到1)分析：(1)可以利用“每年存欄數(shù)的增長率為8%”和“每年年底賣出100頭”建立cn+1與cn的關(guān)系；解：(1)由題意，得c1=1200，并且cn+1=1.08cn?100.①分析：(2)這是待定系數(shù)法的應(yīng)用，可以將它還原為(1)中的遞推公式形式，通過比較系數(shù)，得到方程組；例題解析等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用7、某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛。設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系；(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精確到1)解：(1)由題意，得c1=1200，并且cn+1=1.08cn?100.①(2)將cn+1-k=r(cn-k)化成cn+1=rcn?rk+k.②比較①②的系數(shù)，可得解這個方程組，得所以，(1)中的遞推公式可以化為：cn+1-1250=1.08(cn-1250).例題解析等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用7、某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛。設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，…(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系；(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求S10=c1+c2+c3+…+c10的值(精確到1)分析：(3)利用(2)的結(jié)論可得出解答。(3)由(2)可知，數(shù)列{cn-1250}是以-50為首項，1.08為公比的等比數(shù)列，則：(c1?1250)+(c2?1250)+(c3?1250)+?+(c10?1250)≈?724.3.所以，S10=c1+c2+c3+…+c10≈1250×10?724.3=11775.7≈11776.6、求下列各式的和(1)(2-3×5-1)+(4-3×5-2)+……+(2n-3×5-n)；(2)1+2x+3x2+……+nxn-1.隨堂練習(xí)7、已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2an+1，求Sn.隨堂練習(xí)Sn=-2n+1，8、已知數(shù)列{an}的首項a1=3，通項an=2np+nq(n∈N*，pq為常數(shù))且a1，a4，a5成等差數(shù)列.(1)求p，q的值；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.隨堂練習(xí)p=q=1分組求和法9、已知等