對(duì)策論-運(yùn)籌學(xué)

習(xí)題解答矩陣博弈局中人I的贏得矩陣如下，求最優(yōu)純策略及博弈值。〔1〕〔2〕解:(1)所以,V=5(2)所以,,,,V=-22．甲乙兩國(guó)進(jìn)行乒乓球團(tuán)體賽，每國(guó)由三個(gè)人組成一個(gè)隊(duì)參加比賽。甲國(guó)的人員根據(jù)不同的組合可組成4個(gè)隊(duì)，乙國(guó)的人員可組成3個(gè)隊(duì)，根據(jù)以往的比賽記錄，各種組成隊(duì)法相遇后甲國(guó)的得分如下表所示甲乙1隊(duì)2隊(duì)3隊(duì)1隊(duì)-51-72隊(duì)3243隊(duì)8-1-84隊(duì)-2-16問(wèn)雙方應(yīng)各派哪個(gè)隊(duì)上場(chǎng)是最優(yōu)決策?解:所以,V=2答:雙方應(yīng)均派第2隊(duì)出場(chǎng)對(duì)任意一個(gè)m行n列的實(shí)數(shù)矩陣A=〔aij〕,試證有下式成立證:某城區(qū)有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)，分別居住著40％，30%，30%的居民，有兩個(gè)公司甲和乙都方案在區(qū)內(nèi)建造超市，公司甲方案建兩個(gè)，公司乙方案建一個(gè)，每個(gè)公司都知道，如果在某個(gè)小區(qū)內(nèi)設(shè)有兩個(gè)超市，那么這兩個(gè)超市將平分該區(qū)的消費(fèi)，如果在某個(gè)小區(qū)只有一個(gè)超市，那么該超市將獨(dú)攬這個(gè)小區(qū)的消費(fèi)。如果在一個(gè)小區(qū)沒(méi)有超市，那么該小區(qū)的消費(fèi)將平分給三個(gè)超市。每個(gè)公司都想使自己的營(yíng)業(yè)額盡可能地多．試把這個(gè)問(wèn)題表示成一個(gè)矩陣博弈，寫(xiě)出公司甲的贏得矩陣，井求兩個(gè)公司的最優(yōu)策略以及各占有多大的市場(chǎng)份額。解:甲公司的策略集為{(A,B),(A,C),(B,C)}乙公司的策略集為{A,B,C}甲的贏得矩陣為:所以甲選(A,B)或(A,C),占70%份額。乙選A,占30%份額.5．一個(gè)病人的病癥說(shuō)明他可能患a，b，c三種病中的一種，有兩種藥C，D可用，這兩種藥對(duì)這三種病的治愈率為病藥abcCD問(wèn)醫(yī)生應(yīng)開(kāi)哪一種藥才能最穩(wěn)妥?解:最優(yōu)策略為答:應(yīng)開(kāi)C藥較為穩(wěn)妥.設(shè)矩陣博弈局中人I的贏得為A=(1)當(dāng)局中人I采用策略x=(0.2，0.5，0.3)時(shí)，Ⅱ應(yīng)采用什么策略?(2)當(dāng)局中人Ⅱ采用策略y=(5/7，2/7)時(shí)，I應(yīng)采用什么策略?x和y是否是最優(yōu)策略?為什么?假設(shè)是，試給出另一個(gè)局中人的最優(yōu)策略和博弈值。解:(1)設(shè)II的策略為Y=(y1,y2),那么得:y1=0,y2=1,V1(2)設(shè)II的策略為X=(x1,x2,x3),那么所以,即I的最優(yōu)策略為(3)對(duì)于(x1,x2,x3)=(0.2,0.5,0.3),因?yàn)樗?0.2,0.5,0.3)不是最優(yōu)解.對(duì)于(y1,y2)=(5/7,2/7),因?yàn)闈M(mǎn)足:所以(5/7,2/7)是II的最優(yōu)解,對(duì)應(yīng)I的最優(yōu)策略為(0,2/7,5/7),V=4/7A=試驗(yàn)證x*=(1/2，1/2，0)和y*=(1/4，0，3/4)分別是局中人I和Ⅱ的最優(yōu)混合策略，井求博弈值。解:可驗(yàn)證滿(mǎn)足:(1)假設(shè)(2)假設(shè)(3)假設(shè)(4)假設(shè) 且V=2矩陣博弈的贏得矩陣如下，試用線性方程組法求最優(yōu)混合策略及博弈值。〔1〕〔2〕解:(1)將矩陣中各元素減2得:2=解得:X*=(6/13,3/13,4/13),Y*=(4/13,3/13,6/13),V=50/13(2)解得:X*=(1/3,1/3,1/3),Y*=(1/3,1/3,1/3),V=19．用簡(jiǎn)便方法〔降階或化零元〕求給定矩陣博弈的解與值，贏得矩陣如下〔1〕〔2〕解:(1)用優(yōu)超法簡(jiǎn)化矩陣得:解方程組得:X*=(0,3/5,0,2/5),Y*=(0,0,2/5,3/5),V=6/5(2)用優(yōu)超法那么簡(jiǎn)化矩陣得:各元素減7得:那么解方程組得:所以得X*=(0,0,3/7,4/7,0),Y*=(0,0,0,4/7,3/7),V=37/710．用線性規(guī)劃求下述矩陣博弈的混合策略解及博弈值，其贏得矩陣為〔1〕〔2〕解:(1)線性規(guī)劃:解得:X*=(1/3,0,2/3),Y*=(1/3,1/3,1/3),V=4/3(2)矩陣各元素加2得:A+2=線性規(guī)劃為:解得:X*=(0,0,1),Y*=(2/5,3/5,0),V=4-2=2甲、乙兩方交戰(zhàn)。乙方用三個(gè)師守城，有兩條公路通入該城，甲方用兩個(gè)師攻城，可能兩個(gè)師各走一條公路，也可能從一條公路進(jìn)攻。乙方可用三個(gè)師防守某一條公路，也可用兩個(gè)師防守一條公路，用第三個(gè)師防守另一條公路．哪方軍隊(duì)在一條公路上數(shù)量多，哪方軍隊(duì)就控制住這條公路．如果雙方在同一條公路上的數(shù)量相同，那么乙方控制住公路和甲方攻入城的時(shí)機(jī)各半，試把這個(gè)問(wèn)題構(gòu)成一個(gè)博弈模型。并求甲、乙雙方的最優(yōu)策略以及甲方攻入城的可能性。解:設(shè)兩條路為A,B甲方攻城的策略集為:{2A,AB,2B}乙方寧城的策略集為:{3A,2AB,A2B,3B},甲方贏得矩陣為:線性方程組為:解得:x*=(1/3,1/3,1/3),v=2/3,y*=(1/6,1/3,1/3,1/6)即甲均以1/3的概率取兩個(gè)師同走第一條路、各走一條路及同走第二條路。攻入城的時(shí)機(jī)為2/3。乙分別以1/6,1/3,1/3,1/6的概率取三個(gè)師同守第一條路、兩師守第一條路和另一師守第二條路、一師守第一條路和兩師守第二條路、以及三個(gè)師同守第二條路。12．設(shè)矩陣博弈Gl=(S1,S2,Ａ)和G2=(S1,S2,B)，其中A=(aij)m╳n,B=(bij)m╳n。如果bij=kaiji＝1,2,…,mj＝1,2,…,n其中k>0，試證明Gl和G2具有相同的最優(yōu)策略且它們的博弈值V1和V2之間有關(guān)系：V2=kV1證:設(shè)G*1=(X,Y,E1),G*2=(X,Y,E2)為G1,G2的混合擴(kuò)充,那么對(duì)X和Y中任意的x,y,有:因此(x*,y*)是G1的最優(yōu)策略當(dāng)且僅當(dāng)(x*,y*)是G2的最優(yōu)策略,且V2=kV113．甲、乙二人游戲，每人出一個(gè)或兩個(gè)手指，同時(shí)又把猜想對(duì)方所出的指數(shù)叫出來(lái)．如果只有一個(gè)人猜想正確，那么他所贏得的數(shù)目為二人所出指數(shù)之和，如果兩個(gè)人都猜對(duì)或都猜錯(cuò)，那么算平局，都不得分。寫(xiě)出該博弈中各局中人的策略集合及甲的贏得矩陣。解:假設(shè)令(i,j)中i為出的指數(shù),j為叫的數(shù)目,那么甲乙的策略集均為:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}甲的贏得矩陣為:14．甲、乙兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，兩個(gè)企業(yè)都想通過(guò)改革管理獲取更多的市場(chǎng)銷(xiāo)售份額．甲企業(yè)的策略措施有：①降低產(chǎn)品價(jià)格；②提高產(chǎn)品質(zhì)量，延長(zhǎng)保修年限：③推出新產(chǎn)品．乙企業(yè)考慮的措施有：①增加廣告費(fèi)用；②增設(shè)維修網(wǎng)點(diǎn)，擴(kuò)大維修效勞；③改良產(chǎn)品性能。假定市場(chǎng)份額一定，由于各自采取的策略措施不同，通過(guò)預(yù)測(cè)，今后兩個(gè)企業(yè)的市場(chǎng)占有份額變動(dòng)情況如下表所示(正值為甲企業(yè)增加的市場(chǎng)占有份額，負(fù)值為減少的市場(chǎng)占有份額)．試通過(guò)博弈分析，確定兩個(gè)企業(yè)各自的最優(yōu)策略。乙企業(yè)策略甲企業(yè)策略123110-1121210-53685解:求矩陣的鞍點(diǎn)(3,3),即甲乙均采用策略315.某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)公司，每年的稅額分別是400萬(wàn)元和1200萬(wàn)元。對(duì)于每個(gè)公司，企業(yè)可以如實(shí)申報(bào)稅款，或者篡改帳目，稱(chēng)稅額為零。而國(guó)家稅務(wù)局由于人力所限，對(duì)該企業(yè)每年只能檢查一個(gè)公司的帳目。如果稅務(wù)局發(fā)現(xiàn)有偷稅現(xiàn)象，那么該公司不但要如數(shù)繳納稅款，而且將被處以相當(dāng)于一半稅款的罰金。試將此問(wèn)題寫(xiě)成一個(gè)矩陣博弈模型，并求出稅務(wù)局和企業(yè)的最優(yōu)策略及稅務(wù)局從該企業(yè)收到的平均稅款〔含罰金〕。稅務(wù)局應(yīng)將罰金提高到稅款的多少倍，才能迫使該企業(yè)不敢漏稅？解:(1)稅務(wù)局有兩個(gè)策略：查甲公司和查乙公司。企業(yè)有4個(gè)策略：(T,T),(F,F),(T,F),(F,T).其中T表示如實(shí)申報(bào)，F(xiàn)表示偷稅，括號(hào)內(nèi)的一對(duì)字母依次表示公司甲和乙的做法。例如(T,F)表示公司甲如實(shí)申報(bào)，公司乙偷稅。下表給出稅務(wù)局從該企業(yè)征收的稅款和罰金之和，這是一個(gè)有限二人零和搏弈。企業(yè)稅務(wù)局(T,T)(F,F)(T,F)(F,T)查甲166418查乙16182212這個(gè)搏弈沒(méi)有鞍點(diǎn)?？紤]下述線性規(guī)劃：解得：u=14,x1*=1/3,x2*=2/3再考慮：由于x=(x1*,x2*)處，線性規(guī)劃中第1和第3個(gè)約束為：16x1*+16x2*=16>u4x1*+22x2*=16>u故y1*=0,y3*=0,解得：y2*=1/3,y4*=2/3所以，當(dāng)罰金是稅款的一半時(shí)，稅務(wù)局的最優(yōu)策略是以1/3的概率檢查公司甲，以2/3的概率檢查公司乙。而企業(yè)的最優(yōu)策略是以1/3的概率讓兩個(gè)公司都偷稅，以2/3的概率讓公司甲偷稅，公司乙如實(shí)申報(bào)稅款。這樣企業(yè)上繳的稅款和罰金之和的平均值是1400萬(wàn)元?！?〕設(shè)罰金是應(yīng)交稅款的a倍，令k=a+1，稅務(wù)局從該企業(yè)收得的稅收與罰金之和如下表：企業(yè)稅務(wù)局(T,T)(F,F)(T,F)(F,T)查甲164k44k+12查乙1612k4+12k12考慮線性規(guī)劃:和用單純形法解上式,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到下表:cj111100CBYBby1’y2’y3’y4’z1