高思奧數(shù)導(dǎo)引小學(xué)五年級(jí)含詳解答案第12講：余數(shù)

第12講余數(shù)

內(nèi)容概述：

掌握余數(shù)的概念與基本性質(zhì)，掌握除以某些特殊數(shù)的余數(shù)的計(jì)算方法。學(xué)會(huì)利用余數(shù)的

可加性、可減性和可乘性計(jì)算余數(shù)；學(xué)會(huì)運(yùn)用周期性處理各類余數(shù)計(jì)算問題：學(xué)會(huì)求解“物

不知數(shù)問題。

典型問題

興趣篇

1.72除以一個(gè)數(shù)，余數(shù)是7。商可能是多少？

2.100和84除以同一個(gè)數(shù)，得到的余數(shù)相同，但余數(shù)不為0。這個(gè)除數(shù)可能是多少？

3.20080808除以9的余數(shù)是多少？除以8和25的余數(shù)分別是多少？除以11的余數(shù)是多

少？

4.4個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，他們的號(hào)碼分別為101、126、173、193。規(guī)定每?jī)扇酥?/p>

間比賽的盤數(shù)是他們號(hào)碼的和除以3所得的余數(shù)。請(qǐng)問：比賽盤數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打了

多少盤？

5.某工廠有128名工人生產(chǎn)零件，他們每個(gè)月工作23天，在工作期間每人每天可以生產(chǎn)

300個(gè)零件。月底將這些零件按17個(gè)一包的規(guī)格打包，發(fā)現(xiàn)最后一包不夠17個(gè)。請(qǐng)問：

最后一包有多少個(gè)零件？

6.(1)22°除以7的余數(shù)是多少？

(2)14"除以U的余數(shù)是多少？

(3)280除以13的余數(shù)是多少？

7.8+8x8++8x8xx8除以5的余數(shù)是多少？

10個(gè)8

8.一個(gè)三位數(shù)除以21余17,除以20也余17。這個(gè)數(shù)最小是多少？

9.有一個(gè)數(shù)，除以3的余數(shù)是2,除以4的余數(shù)是1。請(qǐng)問：這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是幾?

10.100多名小朋友站成一列。從第一人開始依次按1,2,3,…，11的順序循環(huán)報(bào)數(shù)，最后

一名同學(xué)報(bào)的數(shù)是9；如果按1,2,3.........13的順序循環(huán)報(bào)數(shù)，那么最后一名同學(xué)報(bào)的數(shù)

是11。請(qǐng)問：一共有多少名小朋友？

拓展篇

I.H11除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是66。求這個(gè)兩位數(shù)。

(1)421421421除以4和125的余數(shù)分別為多少？

21個(gè)421

(2)808808808除以9和11的余數(shù)分別是多少？

21個(gè)808

2.一年有365天，輪船制造廠每天都可以生產(chǎn)零件1234個(gè)。年終將這些零件按19個(gè)一

包的規(guī)格打包，最后一包不夠19個(gè)。請(qǐng)問：最后一包有多少個(gè)零件？

2x2x2xx2—1

3.自然數(shù)67個(gè)2的個(gè)位數(shù)字是多少？

4.算式產(chǎn)7+22期+32.++20062◎計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是多少？

6.一個(gè)自然數(shù)除以49余23,除以48也余23。這個(gè)自然數(shù)被14除的余數(shù)是多少？

7.一個(gè)自然數(shù)除以19余9,除以23除7。這個(gè)自然數(shù)最小是多少？

8.劉叔叔養(yǎng)了400多只兔子。如果每3只兔子關(guān)在一個(gè)籠子里，那么最后一個(gè)籠子里有2只；

如果5只兔子關(guān)在一個(gè)籠子里，那么最后一個(gè)籠子里有4只；如果每7只兔子關(guān)一個(gè)籠子

里，那么最后一個(gè)籠子里有5只。請(qǐng)問：劉叔叔一共養(yǎng)了多少只兔子？

123123123

9.123個(gè)123除以99的余數(shù)是多少？

10.把63個(gè)蘋果，90個(gè)橘子，130個(gè)梨平均分給一些同學(xué)，最后一共剩下25個(gè)水果沒有分

出去。請(qǐng)問：剩下個(gè)數(shù)最多的水果剩下多少個(gè)？

11.有一個(gè)大于1的整數(shù)，用它除300、262、205得到相同的余數(shù)，求這個(gè)數(shù)。

12.用61和90分別除以某一個(gè)數(shù)，除完后發(fā)現(xiàn)兩次除法都除不盡，而且前一次所得的余數(shù)

是后一次的2倍。如果這個(gè)數(shù)大于1,那么這個(gè)數(shù)是多少？

超越篇

1.從1依次寫到99,可以組成一個(gè)多位數(shù)12345…979899。這個(gè)多位數(shù)除以11的余數(shù)是多

少？

2.算式7+7x7++7x7xx7計(jì)算結(jié)果的末兩位數(shù)字是多少？

2008個(gè)7

3.算式Ix3x5x7xx2007計(jì)算結(jié)果的末兩位數(shù)字是多少？

（北京市第11屆迎春杯決賽試題）

4.有5000多根牙簽，按以下6種規(guī)格分成小包：如果10根一包，最后還剩9根；如果9根

一包，最后還剩8根；如果依次以8、7、6、5根為一包，最后分別剩7、6、5、4根。原

來一共有牙簽多少根？

5.有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們從小到大依次是5、7、9的倍數(shù)。這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)最小是多

少？

6.請(qǐng)找出所有的三位數(shù)，使它除以7、11、13的余數(shù)之和盡可能大。

7.已知21!=A80909421717094CD000,那么四位數(shù)46CO是多少？

8.有一些自然數(shù)〃，滿足：2"-〃是3的倍數(shù)，3”-〃是5的倍數(shù)，5"-〃是2的倍數(shù)。請(qǐng)

問：這樣的〃中最小的是多少？

第12講余數(shù)

內(nèi)容概述：

掌握余數(shù)的概念與基本性質(zhì)，掌握除以某些特殊數(shù)的余數(shù)的計(jì)算方法。學(xué)會(huì)利用余數(shù)的

可加性、可減性和可乘性計(jì)算余數(shù)；學(xué)會(huì)運(yùn)用周期性處理各類余數(shù)計(jì)算問題；學(xué)會(huì)求解“物

不知數(shù)”問題。

典型問題

興趣篇

10.72除以一個(gè)數(shù)，余數(shù)是7。商可能是多少？

【分析】72+a=67,所以出?=65,由于。是除數(shù)，其必須大于7,則。可以取的值有

13與65。對(duì)應(yīng)的商可取5或者1。

11.100和84除以同一個(gè)數(shù)，得到的余數(shù)相同，但余數(shù)不為0。這個(gè)除數(shù)可能是多少？

【分析】根據(jù)題意，有他們相同的余數(shù)應(yīng)為16的一個(gè)因數(shù)。則可以取1、2、4、8、16。

由于不能是100或者84的因數(shù)，所以有8和16兩種。

12.20080808除以9的余數(shù)是多少？除以8和25的余數(shù)分別是多少？除以11的余數(shù)是多

少？

【分析】一個(gè)數(shù)的數(shù)字之和除以9的余數(shù)是幾，該數(shù)除以9的余數(shù)就為幾。而20080808的

數(shù)字和為26,所以其除以9的余數(shù)為8;

該數(shù)的末三位能被8整除，所以其除以8的余數(shù)為0;

該數(shù)的末兩位除以25的余數(shù)為25,所以其除以25的余數(shù)為8;

該數(shù)的奇數(shù)位的數(shù)字之和為：24;偶數(shù)位的數(shù)字之和為：2,所以奇數(shù)位的數(shù)字之和與偶數(shù)

位的數(shù)字和的差為22。為11的倍數(shù)。所以其除以11的余數(shù)為Oo

13.4個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，他們的號(hào)碼分別為10k126、173、193.規(guī)定每?jī)扇酥?/p>

間比賽的盤數(shù)是他們號(hào)碼的和除以3所得的余數(shù)。請(qǐng)問：比賽盤數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打了

多少盤？

【分析】根據(jù)題意，101+3=332,126+3=42,173+3=572；193+3=641。

而他們號(hào)碼的和除以3所得的余數(shù)與他們除以3的余數(shù)的和相等。則101號(hào)選手分別比賽了

2場(chǎng)、1場(chǎng)、0場(chǎng)；

126號(hào)選手分別比賽了2場(chǎng)、2場(chǎng)、1場(chǎng)共計(jì)5場(chǎng)；

173號(hào)選手分別比賽了1場(chǎng)、2場(chǎng)共計(jì)3場(chǎng)；

193號(hào)選手分別比賽了0場(chǎng)、1場(chǎng)、0場(chǎng)共計(jì)1場(chǎng)。

所以比賽最多的選手為126號(hào)選手比賽了5場(chǎng)。

14.某工廠有128名工人生產(chǎn)零件，他們每個(gè)月工作23天，在工作期間每人每天可以生產(chǎn)

300個(gè)零件。月底將這些零件按17個(gè)一包的規(guī)格打包，發(fā)現(xiàn)最后一包不夠17個(gè)。請(qǐng)問：

最后一包有多少個(gè)零件？

【分析】該工廠共生產(chǎn)了300x128*23個(gè)零件，300除以17的余數(shù)為11,128除以17的

余數(shù)為7,23除以17的余數(shù)為6,而11x9x6三16(modl7)

所以最后一包有16個(gè)零件。

15.(1)22°除以7的余數(shù)是多少？

(2)11"除以11的余數(shù)是多少？

(3)280除以13的余數(shù)是多少？

16.8+8x8++8x8xx8除以5的余數(shù)是多少？

10個(gè)8

【分析】

(1)根據(jù)題意，23=l(mod7),則有22°三2?三4(mod7)

(2)1414=3l4(modll),由于35三l(modll),所以三三3’三4(modl1)

(3)28⑵三2⑵三2°x2三2(modl3)

所以22°除以7的余數(shù)是4,1]4除以11的余數(shù)是4；28⑵除以13的余數(shù)是2。

17.一個(gè)三位數(shù)除以21余17,除以20也余17。這個(gè)數(shù)最小是多少？

【分析】根據(jù)題意，該數(shù)應(yīng)為17+420=437。

18.有一個(gè)數(shù)，除以3的余數(shù)是2,除以4的余數(shù)是1。請(qǐng)問：這個(gè)數(shù)除以12余數(shù)是幾？

【分析】滿足條件的所有的自然數(shù)為：5+12”，這類自然數(shù)除以12的余數(shù)為5。

10.100多名小朋友站成一列。從第一人開始依次按1,2,3,…，11的順序循環(huán)報(bào)數(shù)，最后

一名同學(xué)報(bào)的數(shù)是%如果按1,2,3,…，13的順序循環(huán)報(bào)數(shù)，那么最后一名同學(xué)報(bào)的數(shù)

是請(qǐng)問：一共有多少名小朋友？

【分析】令小朋友的人數(shù)為。，則有9;11,則a+2能被11與13整除。

所以。=141o

拓展篇

5.1111除以一個(gè)兩位數(shù)，余數(shù)是66。求這個(gè)兩位數(shù)。

【分析】根據(jù)題意，\\\\^a=b66,所以-66=5x11x19,由于。要大于

66o所以。=95

6.

(1)421421421除以4和125的余數(shù)分別為多少？

21個(gè)421

(2)808808808除以9和11的余數(shù)分別是多少？

21個(gè)808

【分析】(1)對(duì)于較大數(shù)除以4的余數(shù)只需看末兩位除以4的余數(shù)，對(duì)于較大數(shù)除以125

的余數(shù)只需看末三位除以125的余數(shù)。

21+4=51,421+125=346

(2)對(duì)于較大數(shù)除以9的余數(shù)只需要看數(shù)字和除以9的余數(shù)即可，數(shù)字和為：336。336除

以9的余數(shù)為3。(繼續(xù)看數(shù)字和即可)，所以421421421除以9的余數(shù)為3。

21個(gè)421

對(duì)于較大數(shù)除以11的余數(shù)只需看奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位的數(shù)字之和除以11的余數(shù)的差是

否是11的倍數(shù)即可，如不是，則添上相應(yīng)的倍數(shù)。

則有：奇數(shù)位數(shù)字之和：(8+8)xl0+8+8；

偶數(shù)位數(shù)字之和：(8+8)xl0

所以808808808除以11的余數(shù)為5。

21個(gè)808

7.一年有365天，輪船制造廠每天都可以生產(chǎn)零件1234個(gè)。年終將這些零件按19個(gè)一

包的規(guī)格打包，最后一包不夠19個(gè)。請(qǐng)問：最后一包有多少個(gè)零件？

【分析】1234+19=6418,365+19=194,貝以234x365三18x4三15(modl9)

所以最后一包有15個(gè)零件。

8.自然數(shù)2x2x2xx2—l的個(gè)位數(shù)字是多少？

67個(gè)2

【分析】2‘7三23(mod10)

所以2x2x2xx2-l的個(gè)位數(shù)字為7。

67個(gè)2

9.算式12°07+22007+32007++20062007計(jì)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是多少？

【分析】由于任意自然數(shù)除以10的余數(shù)均是4個(gè)一周期。

273

則12007+22007+32007++2006°°=P+2-++2006,(mod10)

32

方法一：-+23++2006=2。吃；20。二=10032*2Q07

其個(gè)位數(shù)字為1。

方法二：由于1’與的個(gè)位相同，2'與12’的個(gè)位相同，其他類似，

而F+23++1()3三5(modl())(可只計(jì)算個(gè)位)，這樣

13+23++20063=l3+23+33+43+53+63+5x200=l+8+7+4+5+6=l(modl0)

6.一個(gè)自然數(shù)除以49余23,除以48也余23。這個(gè)自然數(shù)被14除的余數(shù)是多少？

【分析】根據(jù)題意，所以滿足除以49余23,除以48也余23的自然數(shù)可以表示為

23+49x48m,由于49x48帆一定為14的倍數(shù)。所以該數(shù)除以14的余數(shù)為9

7.一個(gè)自然數(shù)除以19余9,除以23除7。這個(gè)自然數(shù)最小是多少？

【分析】滿足除以23余7的所有自然數(shù)可以用7+23，”來表示。

所以有：(7+23m)4-199,則4機(jī):192,對(duì)應(yīng)的〃z最小取值為10。

所以這個(gè)自然數(shù)最小是237。

8.劉叔叔養(yǎng)了400多只兔子。如果每3只兔子關(guān)在一個(gè)籠子里，那么最后一個(gè)籠子里有2只；

如果5只兔子關(guān)在一個(gè)籠子里，那么最后一個(gè)籠子里有4只；如果每7只兔子關(guān)一個(gè)籠子

里，那么最后一個(gè)籠子里有5只。請(qǐng)問：劉叔叔一共養(yǎng)了多少只兔子？

【分析】令有滿足后面三個(gè)條件的兔子數(shù)為a只兔子，則根據(jù)條件有：

a+32

<4

a+75

滿足前兩個(gè)的所有的自然數(shù)為：14+15〃。

所以有：(14+15〃)+75

由于14+15“三15〃三〃(mod7)所以〃最小取5。

所以滿足條件的最小的為89?，F(xiàn)在劉叔叔應(yīng)該養(yǎng)了89+3x105=404(只兔子)。

9.123123123除以99的余數(shù)是多少？

123個(gè)123

【分析】根據(jù)題意，判斷較大的數(shù)除以99的余數(shù)可以適用兩位一段，所有段數(shù)之和除以99

的余數(shù)來判斷。

123123123=(23+31+12)x61+23+l(mod99)

123個(gè)/23

而(23+31+12)x61+23=4050,其除以99的余數(shù)為4050

所以123123123除以99的余數(shù)為4050?

123個(gè)123

10.把63個(gè)蘋果，90個(gè)橘子，130個(gè)梨平均分給一些同學(xué)，最后一共剩下25個(gè)水果沒有分

出去。請(qǐng)問：剩下個(gè)數(shù)最多的水果剩下多少個(gè)？

【分析】由于和的余數(shù)等于余數(shù)的和。則有：

283+a=625,即有ab=258,即同學(xué)數(shù)應(yīng)該為258的一個(gè)因數(shù)，由于最后的余數(shù)的

和要為25。則顯然86與129以及小于8的因數(shù)都不可以。所以有唯一的因數(shù)43符合條件。

此時(shí)剩下的水果最多的為蘋果，20個(gè)。

U.有一個(gè)大于1的整數(shù)，用它除300、262、205得到相同的余數(shù)，求這個(gè)數(shù)。

【分析】根據(jù)題意，該整應(yīng)為300-262=38的一個(gè)因數(shù)，也為262-205=57的一個(gè)因數(shù)。

也就是該數(shù)只能取19或者1?所以該數(shù)只能為19。

12.用61和90分別除以某一個(gè)數(shù)，除完后發(fā)現(xiàn)兩次除法都除不盡，而且前一次所得的余數(shù)

是后一次的2倍。如果這個(gè)數(shù)大于1,那么這個(gè)數(shù)是多少？

【分析】根據(jù)題意，如若有61+a2b,則有90+ab,將兩余數(shù)化為相同，則有：

180+a2bo

所以有：a應(yīng)為119的一個(gè)因數(shù)。則可取1、7、17或者119。

經(jīng)實(shí)驗(yàn)可知只有17符合條件。所以這個(gè)數(shù)為17。

超越篇

1.從1依次寫到99,可以組成一個(gè)多位數(shù)12345…979899。這個(gè)多位數(shù)除以11的余數(shù)是多

少？

【分析】根據(jù)題意，奇數(shù)位數(shù)字之和：

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+0)x9+9+7+5+3+1=405+25=43()三l(modll)；

偶數(shù)位數(shù)字之和為：

(1+2+3+4+5+6+7+8+9)x10+8+6+4+2=450+20=470三8(modll)

則奇數(shù)位的數(shù)字之和除以11的余數(shù)與偶數(shù)位除以11的余數(shù)之差不夠，則添上11,所以。

余數(shù)為：1+11-8=4。

2.算式7+7x7++7x7xx7計(jì)算結(jié)果的末兩位數(shù)字是多少？

2008個(gè)7

【分析】

根據(jù)題意有：7的末兩位為07

7的末兩位為07;72的末兩位為49;73的末兩位為43:74的末兩位為01；

7、的末兩位為07；7,的末兩位為49；7’的末兩位為43；7^的末兩位為01；

則四個(gè)一周期。

所以7+7x7++7x7xx7的所有末兩位數(shù)字和為：(7+49+43+1)x502=50200

2008個(gè)7

所以末兩位的數(shù)字為00。

3.算式Ix3x5x7xX2007計(jì)算結(jié)果的末兩位數(shù)字是多少？

【分析】該數(shù)能被25整除且為奇數(shù)。所以該數(shù)的末兩位數(shù)字只能為25或者75。

由于lx3x5x7x9三11x13x15x17x19三l(mod4)

所以末兩位數(shù)字為25

(北京市第11屆迎春杯決賽試題)

4.有5000多根牙簽，按以下6種規(guī)格分成小包：如果10根一包，最后還剩9根；如果9根

一包，最后還剩8根；如果依次以8、7、6、5根為一包，最后分別剩7、6、5、4根。原

來一共有牙簽多少根？

【分析】如果添加1根牙簽，那么按六種規(guī)格分成小包時(shí)都恰好每包裝滿且無剩余.即這時(shí)

牙簽數(shù)是5、6、7、8、9、10的公倍數(shù).5、6、7、8、9、10的最小公倍數(shù)是

[5,6,7,8,9,10]=23X32X5X7=2520,又已知原來牙簽根數(shù)為5000多，所以原來共有牙

簽2x2520—1=5039(根).

5.有三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，它們從小到大依次是5、7、9的倍數(shù)。這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)最小是多

少？

【分析】根據(jù)題意，令這三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)分別是：a、。+1、47+2,則它們從小到大依

次是5、7、9的倍數(shù)。所以我們有：

50

76

”97

滿足前兩個(gè)的所有的自然數(shù)為：20+35〃

所以有：（20+35〃）+97,所以35〃+95,有8〃+95,則n最小取4。

此時(shí)。最小取160?

所以這三個(gè)自然數(shù)為160、161、162。

6.請(qǐng)找出所有的三位數(shù)，使它除以7、11、13的余數(shù)之和盡可能大。

【分析】（1）余數(shù)之和最大為除以7余6,除以11余10,除以13余12。此時(shí)余數(shù)之和為

28,但是此時(shí)滿足三個(gè)條件的最小的自然數(shù)為1000;

（2）無法實(shí)現(xiàn)余數(shù)和為28,則考慮余數(shù)和為27,此時(shí)會(huì)出現(xiàn)三種情況：

①除以7余6,除以11余10,除以13余10；

滿足除以7余6,除以11余10的最小的自然數(shù)為76,滿足該兩條件的所有自然數(shù)為：76+77”，

現(xiàn)在只需要其滿足除以13余10即可。

（76+77〃）+1310

則有76+13=511

則77〃+13=12,對(duì)應(yīng)的〃最小取1O此時(shí)滿足條件的最小的三位數(shù)為153o下一個(gè)為

153+1001=1154,不符合；

②以7余6,除以11余9,除以13余12；

滿足除以7余6,除以13余12的最小的自然數(shù)為90,滿足該兩個(gè)條件的所有的自然數(shù)為

90+91〃，則有：（90+91〃）+119,則95+112即3"+112,對(duì)應(yīng)的〃的最小值為8,

所以滿足三個(gè)條件的最小的自然數(shù)為818,下一個(gè)為818+1001=1819

③以7余5,除以11余10,除以13余12；

滿足除以11余10,除以13余12的最小的自然數(shù)為142,滿足條件的所有自然數(shù)為：

142+143”，則有：（142+143/7）^75,則有143n+73°n最小取1

所以滿足條件的最小的自然數(shù)為：285.

所以除以7、11、13的余數(shù)之和最大可以取27,共有三個(gè)這樣的三位數(shù)，分別是:

153,818,285?

7.已知21!=AB0909421717094CZ9000,那么四位數(shù)A8CO是多少？

【分析】由于1?21中有4個(gè)5的倍數(shù)，所以21!的末尾有4個(gè)0,所以0=0.

由于21!=2x5xIOxl5x8x2Ox〃=10000x8x3M（M為正整數(shù)），所以

AB0909421717094CZXXX)去掉末尾的4個(gè)0后得到的數(shù)是8的倍數(shù)，那么94c是8的倍

數(shù)，所以C=4.

由于該數(shù)既是9的倍數(shù)，又是II的倍數(shù)。則該數(shù)必然為99的倍數(shù)。則有：

0+44+9+17+17+42+9+9+詬=荏+147為99的倍數(shù)。

所以而=51。

則該四位數(shù)ABCD為5140.)

【拓展】(2005年第3屆走美杯5年級(jí)決賽第7題，10分)

已知：23!=258。20c67388849766AB000,貝?。軦BC