初中幾何輔助線大全

等腰三角形

i.作底邊上的高，構(gòu)成兩個全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法；

2.作一腰上的高；

3.過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構(gòu)成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行邊

2.垂直于下底，延長上底作一腰的平行^

3.平行于兩條斜邊

4.作兩條垂直于下底的垂線

5.延長兩條斜邊做成一個三角形

菱形

1.連接兩對角2.做高

平行四邊形

1.垂直于平行邊

2.作對角線一把一個平行四邊形分成兩個三角形

3.做高——形內(nèi)形外都要注意

矩形

1.對角線2.作垂線

很簡單。無論什么題目，第一位應(yīng)該考慮到題目要求,比如AB=AC+BD.…這類的就是想辦

法作出另一條AB等長的線段，再證全等說明AC+BD=另一條AB,就好了。還有一些關(guān)于

平方的考慮勾股，A字形等。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等1

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線,等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

解幾何題時如何畫輔助線？

①見中點引中位線，見中線延長T音

在幾何題中，如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中線延長一倍來解決相關(guān)

問題。

②在比例線段證明中，常作平行線。

作平行線時往往是保留結(jié)論中的一個比，然后通過一個中間比與結(jié)論中的另一個比聯(lián)系起

來。

③對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有

1、過上底的兩端點向下底作垂線

2、過上底的一個端點作一腰的平行^

3、過上底的一個端點作一對角線的平行線

4、過一腰的中點作另一腰的平行線

5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交

6、作梯形的中位線

7、延長兩腰使之相交

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段,添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線

初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談

人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的,當(dāng)問題的條件不夠時,添

加輔肋線構(gòu)成新圖形,形成新關(guān)系,使分散的條件集中,建立已知與未知的橋梁,把

問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題,這是解決問題常用的策略。

-.添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們，相交后證交角為90。；證線段倍半關(guān)系可倍線段

取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線

往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該

叫做"補圖"！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：

(1)平行線是個基本圖形：

當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直

線

(2)等腰三角形是個簡單的基本圖形：

當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角

平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延

長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段

是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本

圖形。

(5)三角形中位線基本圖形

幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當(dāng)有中點

沒有中位線時則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時則需補完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線

段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行

線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中

點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

(6)全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線

段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱

軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂

角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點

兩兩連結(jié)或過二端點添平行線

(8)特殊角直角三角形

當(dāng)出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45

角直角三角形三邊比為1:1:V2;30度角直角三角形三邊比為1:2:V3進行證明

二.基本圖形的輔助線的畫法

L三角形問題添加輔助線方法

方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的

中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。

方法2:含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條

件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識解決問題。

方法3:結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的

一些定理。

方法4:結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或

補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另

一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔肋線的添法

平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性

質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的

全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下

列幾種，舉例簡解如下：

(1)連對角線或平移對角線：

(2)過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形

(3)連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或

中位線

(4)連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。

(5)過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助

線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋

梁，梯形中常用到的輔助線有：

(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形內(nèi)平移兩腰

(4)延長兩腰

(5)過梯形上底的兩端點向下底作高

(6)平移對角線

(7)連接梯形一頂點及一腰的中點。

(8)過一腰的中點作另一腰的平行線。

(9)作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過

輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的

關(guān)鍵。

作輔助線的方法

-:中點、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延

長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應(yīng)

用某個定理或造成全等的目的。

二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而

旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的

平分線。

三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定

的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有

時沒有中心。故可分“有心"和"無心”旋轉(zhuǎn)兩種。

四:造角、平、相似,和、差、積、商見。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形

有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；

第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣："造角、平、相似,和差積商見」

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表)

九：面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

如遇求面積,(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積)，往往作底或

高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。

如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。

另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即"割補”有二百多種，

大多數(shù)為"面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

三角形中作輔助線的常用方法舉例

一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊

構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證

明，如：

例1:已知如圖1-1：D、E為3BC內(nèi)兩點，求證:AB+AC>BD+DE+CE.

證明：(法一)將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,

在3MN中，AM+AN>MD+DE+NE;(1)

在ABDM中，MB+MD>BD;(2)

在ACEN中，CN+NE>CE;(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

.-.AB+AC>BD+DE+EC

（法二：）如圖1-2,延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,

在SBF和AGFC和AGDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）

GF+FC>GE+CE(同上).....................(2)

DG+GE>DE(同上).......................(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

.-.AB+AC>BD+DE+ECO

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩點或延

長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的

內(nèi)角位置上，再利用外角定理:

例如：如圖2-1:已知D為&ABC內(nèi)的任一點，求證：zBDC>zBAC.

麻:因為NBDC與NBAC不在同一個三角形中，沒有懿的聯(lián)系,

可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使NBDC處于在外角的位置,z

BAC處于在內(nèi)角的位置；

圖2—1

證法一：延長BD交AC于點E,這時NBDC是AEDC的外角，

.,.zBDC>zDEC,同理NDEC>NBAC,，NBDC>NBAC

證法二：連接AD,并延長交BC于F

.ZBDF是SBD的外角

.-.zBDF>zBAD,同理，zCDF>zCAD

.-.ZBDF+zCDF>zBAD+zCAD

即：NBDC>NBAC。

注意：利用三角形外角磔證明不等關(guān)系時，通常將大角放彼三角形的外角位置上，小角

放在這個三角形的內(nèi)角位置上“再利用不等式性質(zhì)證明二

三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等

三角形，如：

例如:如圖3-1:已知AD為&ABC的中線,且N1=N2/3=N

4,求證:BE+CF>EFO

分析：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE,CF,EF移到同一

個三角形中，而由已知N1=N2,N3=N4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全

等對應(yīng)邊相等，把EN,FN,EF移到同一個三角形中。

證明：在DA上期DN=DB,宙妾NE,NF,則DN=DC,

在一BE和ADNE中:

DN=（輔助線的作法）

1?■-N1=N2（已知）

ED=￡0（公共邊）

..△DBE*DNE（SAS）

.'.BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在AEFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.-.BE+CF>EF0

注意：當(dāng)證題有角平分線時,?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后

用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。

四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

例如：如圖4-1:AD為3BC的中線，且Nl=N2,z3=N4,求證：BE+CF>EF

證明：延長ED至M,使DM=DE,連接

CM,MF。在ABDE和-CDM中,

3￡>=C￡>（中點的定義）

1',</1=/CDM（對頂角相等）

ED=（輔助線的作法）

二ABDE%CDM（SAS）

又?.21=N2,N3=N4（已知）

zl+z2+z3+z4=180°（平角的定義）

"3+22=90。，即：zEDF=90°

.-.zFDM=zEDF=90°

在AEDF和AMDF中

EO=M￡>（輔助線的作法）

=（已證）

DF=。F（公共邊）

."EDF弁MDF（SAS）

..EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）

?.?在ACMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.'.BE+CF>EF

注：上題也可加倍FD,證法同上。

注意：當(dāng)涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形,

使題中分散的條件集中.

五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。

例如：如圖5-1:AD為3BC的中線，求證：AB+AC>2AD。

分析：要證AB+AC>2AD,由圖想至I」：AB+BD>AD,AC+CD>AD,所以有AB+AC

+BD+CD>AD+AD=2AD左邊比要碑論多BD+CD,

故不肯婚接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍

中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同T三角形中去。

證明：延長AD至E,使DE=AD,連接BE,則AE

=2AD

「AD為AABC的中線（已知）

.,,BD=CD（中線定義）

在和&EBD中

BD=C￡>（已證）

NAOC=ZEQB（對頂角相等）05-1

AO=ED（輔助線的作法）

...△ACD?EBD（SAS）

??.BE=CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）

?.?在AABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三

圖5—2

邊）

.-.AB+AC>2ADO

（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）

練習(xí)：已知AABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰

直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD。

六、截長補短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1:在2BC中，AB>AC,Nl=N2,P

為AD上任一點。求證：AB二AC>PB-PC。

分析:要證:AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)

系定理證之，因為欲證的是線段之差,故用兩邊之羞小于第

三邊，從而想至I」構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB_kg^AN等于AC,得AB-AC=BN,

再連接PN，則PC=PN,又在APNB中，PB-PN<BN,gp:AB-AC>PB-PC.

證明：（截長法）

在AB上截取AN=AC連接PN,在&APN和AAPC中

'AN=AC（輔助線的作法）

Nl=/2（已知）

"=AP（公共邊）

..△APN%APC(SAS)

-PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）

?.?在ABPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）

.'.BP-PC<AB-AC

證明：（補短法）延長AC至M,使AM=AB,連接PM,

在AABP和AAMP中

A8=4W（輔助線的作法）

,?:Zl=N2（已知）

AP=AP（公共邊）

.“ABP學(xué)AMP（SAS）

??.PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）

又?.在APCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

.-.AB-AC>PB-PC。

七、延長已知邊構(gòu)造三角形：

例如:如圖7-1：已知AC=BD,AD^AC于A,BJBD于B,求證：AD=BC

分析：欲證AD=BC,先證分別含有AD,BC的三角形全等，有幾種方案：^ADC與&BCD,

MOD與ABOC,AABD與ABAC,但根題有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可

設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。

證明：分別延長DA,CB,它們的延長交于E點,

DC

圖7—1

?-?AD±ACBC±BD（已知）

.-.zCAE=zDBE=90°（垂直的定義）

在ADBE與ACAE中

NE=NE（公共角）

,?1■1（已證）

3。=AC（已知）

."DBE%CAE（AAS）

..ED=ECEB=EA（全等三角形對應(yīng)邊相等）

/.ED-EA=EC-EB

即：AD=BCO

（當(dāng)條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）

八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

例如：如圖8-1:ABIICD,ADllBC求證：AB=CDO

分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必轆它轉(zhuǎn)化為三角形來解決.

證明：連接AC（或BD）

vABllCDADllBC（已知）

.?.Z1=z2,z3=z4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

在AABC與ACDA中

BC

圖8—1

XI=N2（已證）

,AC=CA（公共邊）

N3=N4（已證）

.“ABSACDA（ASA）

-AB=CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）

九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

例如：如圖9-1：在RfABC中,AB=AC*BAC=90°/：1=42,CE_LBD的延長于E。

求證:BD=2CE

?-?BE±CF（已知）

.■.zBEF=zBEC=90°（垂直的定義）

在ABEF與ABEC中,

Z1=N2（已知）

「BE=BE（公共邊）

NBEF=N3EC（已證）

.“BEF學(xué)BEC（ASA）/.CE=FE=-CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）

2

■.zBAC=90°BE±CF（已知）

.-.zBAC=zCAF=90°zl+zBDA=90°zl+zBFC=90°

.-.zBDA=zBFC

在AABD與AACF中

（已證）

<NBOA=NB/。（已證）

AB=AC（已知）

."ABD弁ACF（AAS）/.BD=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）」.BD=2CE

十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。

例蛆：已現(xiàn):如圖10-1；AC、BD相交于。點，且AB=DC,AC=BD,求證：NA=N

分析：要證NA=zD,可證它們所在的三角形MB。和ADCO全等，而只有AB=DC和對

頂角兩個條件，差一個條件,,難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC,

AC=BD,若連接BC,則AABC和ADCB全等，所以，證得NA="。

證明：連接BC,在SBC和ADCB中

A8=QC（已知）

,?14C=Z）B（已知）

8c=C8（公共邊）

."ABC%DCB（SSS）

-zA=zD（全等三角形對應(yīng)邊相等）

十一、取線段中點構(gòu)造全等三有形。

例如：如圖11-1:AB=DC,zA=zD求證:zABC=zDCBo

分析：由AB=DC,NA=zD,想到如取AD的中點N,連接NB,NC,再由SAS公理有△

ABN日ADCN,古攵BN=CN,/ABN=NDCN。下面只需證NNBC=NNCB,再取BC的中點

M,連接MN,則由SSS公理有ANBM坐NCM,所以NNBC=ZNCB。問題得證。

證明：取AD,BC的中點N、M,連接NB,NM,NC。則

AN=DN,BM=CM,在△ABN和△DCN中

AN=ON（輔助線的作法）

</A=ZD（已知）

圖11一1

AB=￡>C（已知）

.-.AABN^DCN（SAS）

.-.zABN=zDCNNB=NC（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）

在ANBM與ANCM中

'N5=NC（己證）

（輔助線的作法）

NM=NM（公共邊）

.-.ANMB^NCM,（SSS）.-.zNBC=zNCB（全等三角形對應(yīng)角相等），NNBC+NABN=

zNCB+zDCN即NABC=NDCB。

巧求三角形中線段的比值

例1.如圖1,在AABC中，BD:DC=1:3,AE:ED=2:3,求AF:FC。

解：過點D作DG//AC,交BF于點G

所以DG:FC=BD:BC

因為BD:DC=1：3所以BD:BC=1：4

即DG:FC=1:4,FC=4DG

因為DG:AF=DE:AE又因為AE:ED=2:3

所以DG:AF=3:2

22

AF=-DG-DG

即3所以AF:FC=3：4DG=1:

例2.如圖2,BC=CD,AF=FC,求EF:FD

解：過點C作CG//DE交AB于點G,貝（］有EF:GC=AF:AC

因為AF=FC所以AF:AC=1:2

EF=-GC

即EF:GC=1:2,2

因為CG:DE=BC:BD又因為BC=CD

所以BC:BD=1:2CG:DE=1:2即DE=2GC

13

2GC--GC=-GC

因為FD=ED-EF=22所以EF:FD=

13

-GC：-GC=1：3

22

小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知"條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點處，且所作

的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請再看兩例，讓我們感受其中的奧妙！

例3.如圖3,BD:DC=1:3,AE:EB=2:3,求AF:FD。

解：過點B作BG//AD,交CE延長線于點G.

所以DF：BG=CD:CB

因為BD:DC=1:3所以CD:CB=3:4

3

DF=-BG

即DF:BG=3:4,4

因為AF:BG=AE:EB又因為AE:EB=2:3

2

AF=-BG

所以AF:BG=2:3即

23

-BG,-5G=8：9

所以AF:DF=34

例4.如圖4,BD:DC=1:3&AF=FD,求EF:FC。

解：過點D作DG〃CE,交AB于點G

所以EF:DG=AF:AD

因為AF=FD所以AF:AD=1:2圖4

EF=-DG

即EF:DG=1:22

因為DG:CE=BD:BC,又因為BD:CD=1:3,所以BD:BC=1:4

即DG:CE=1:4,CE=4DG

17

4DG--DG=-DG

因為FC=CE-EF=22

17

-DG：-DG

所以EF:FC=22=1：7

練習(xí)：

1.如圖5,BD=DC,AE:ED=1:5,求AF:FB。

2.如圖6,AD:DB=1:3,AE:EC=3:3,，求BF:FC。

答案：1、1：10;2.9:1

RFC

初中幾何輔助線

-初中幾何常見輔助線口訣

人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。

線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換,變?yōu)椤骱?

平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細(xì)心連上中位線。

上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

二由角平分線想到的輔助線

口訣：

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行

線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于

有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。

①從角平分線上一點向兩邊作垂線；

②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。

通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對

稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。

與角有關(guān)的輔助線

（一）、截取構(gòu)全等

幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是

在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾

何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理

所涉及到的輔助線作以介紹。

如圖1-1,zAOC=zBOC,如取OE=OF,并連接DE、DF,則有&OED當(dāng)OFD,從而

為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。人_______________x----------------

例1.如圖1-2,AB//CD,BE平分/BCD,C

平分點在上，求證：

E/BCD,EADBC=AB+CD0

分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平

分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時此題也是證明線段的和差

倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法來證明，延長短的

線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延長還是截取都要證明線段的相

等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相

等，進而達到所證明的目的。

簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD,從而達到證明的目的。

這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長

BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。

例2.已知:如圖1-3,AB=2AC,zBAD=zCAD,DA=DB,求證DC±AC

分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方

法還是截取線段相等。其它問題自已證明。

圖1-3

例3.已知：如圖1-4,在AABC中,NC=2NB,AD平分NBAC,求證：AB-AC=CD

分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要A

用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問

題。用到的是截取法來證明的,在長的線段上截取短的線

段，來證明。試試看可否把短的延長來證明呢？B—D

圖1-4

練習(xí)

1.已知在&ABC中，AD平分NBAC,zB=2zC,求證：AB+BD=AC

2.已知：在SBC中，zCAB=2zB,AE平分NCAB交BC于E,AB=2AC,求證:A

E=2CE

3.已知：在△ABC中，AB>AC,AD為NBAC的平分線，M為AD上任一點。求證：B

M-CM>AB-AC

4.已知：D是SBC的NBAC的外角的平分線AD上的任一點，連接DB、DC。求證：

BD+CD>AB+AC0

（二）、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等

過角平分線上一點向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明

問題。

例1.如圖2-1,已知AB>AD,zBAC=zFAC,CD=BCo

求證：zADC+zB=180

分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證NADC與NB

之和為平角。

例2.如圖2-2,在SBC中,zA=90,AB=AC,zABD=zCBDo

求證：BC=AB+AD

分析：過D作DEJ_BC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出全等

三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了

圖2-2

相當(dāng)于截取的方法。

例3.已知如圖2-3,MBC的角平分線BM、CN相交于點P。

求證：zBAC的平分線也經(jīng)過點P。

分析：連接AP,證AP平分NBAC即可，也就是證P到AB、AC

的距離相等。

圖2-3

練習(xí)

1.如圖2-4zAOP=zBOP=15,PC//OA,PD±OA,

如果PC=4,貝！|PD=(圖2-4

A4B3C2D1

2.已知在AABC中，zC=90,AD平分NCAB,CD=1.5,DB=

2.5.求AC0

3.已知：如圖2-5,zBAC=zCAD,AB>AD,CE±AB,

AE=2(AB+AD).求證:zD+zB=180o圖2-5

4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為B

上的點,zFAE=zDAEo求證:AF=AD+CFO

5.已知：如圖2-7,在RtMBC中，zACB=90,CD±AB,垂足為D,AE平分NCA

B交CD于F,過F作FH//AB交BC于H。求證CF=BHO

圖2-7

(=):作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個等腰三角形,

垂足為底邊上的中點，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三

角形的三線合一的性質(zhì)。(如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一

邊相交)

例1.已知：如圖3-1,zBAD=zDAC,AB>AC,CD±AD于D,H

是BC中點。求證：DH=；(AB-AC)

分析：延長CD交AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。

例2.已知：如圖3-2,AB=AC,zBAC=90,AD為NABC

的平分線，CE_LBE.求證：BD=2CE。

分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線，可圖3-2

延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。

例3.已知：如圖3-3在SBC中，AD、AE分別NBAC的

內(nèi)、外角平分線，過頂點B作BFAD,交AD的延長線于F,連

結(jié)FC并延長交AE于M。

求證：AM=ME。

分析：由AD、AE是NBAC內(nèi)外角平分線，可得EA±AF,

從而有BF//AE,所以想到利用比例線段證相等。

例4.已知：如圖3-4,在AABC中，AD平分NBAC,AD=AB,CM±AD交AD延

長線于M求證:AM=-(AB+AC)

o2

分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作AABD關(guān)于A

D的又懈SED,然后只需證DM=1EC,另外由求證的結(jié)

果AM=；(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可嘗試作AAC

M關(guān)于CM的對稱AFCM,然后只需證DF=CF即可。

練習(xí)：

1.已知：在&ABC中，AB=5,AC=3,D是BC中點，AE是NBAC的平分線，且CE

LAE于E,連接DE,求DE。

2.已知BE、BF分另!|是AABC的/ABC的內(nèi)角與夕卜角的平分線，AF_LBF于F,AEJ_B

E于E,連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MN=；BC

(四)、以角分線上一點做角的另一邊的平行線

有角平分線時，常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；?/p>

通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角

形。如圖4-1和圖4-2所不。

A

H

//1

BC

*AB圖4-2

圖4T

例4如圖，AB>AC,zl=z2,求證:AB-AC>BD-CD0

一c

7B

例5如圖，BC>BA,BD平分工ABC,且AD=CD,求證:zA+zC=180o

A

BW

c

例6如圖,ABllCD,AE、DE分別平分/BAD各NADE,求證:AD=AB+CD.

_______,C

A

AB

練習(xí)

1.已知，如圖,zC=2zA,AC=2BC0求證:^ABC是直角三角形。

2.已知：如圖，AB=2AC,zl=z2,DA=DB,求證:DC±AC

3.已矢口CE、AD是AABC的角平分線，zB=60°,求證:AC=AE+CD

BDC

4.已矢口：如圖在AABC中,zA=90°,AB=AC,BD是NABC的平鴻,求證:BC=

AB+AD

=由線段和差想到的輔助線

口訣：

線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時，一般方法是截長補短法：

1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條；

2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線

段。

對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差

小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證明。

一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不出來，可連接兩點或廷

長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等

關(guān)系證明，如：

例1、已知如圖1-1：D、E為SBC內(nèi)兩點，求證:AB+AC>BD+DE+CE.

證明：（法一）

BC

圖1一1

將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,

在SMN中,AM+AN>MD+DE+NE;(1)

在ABDM中，MB+MD>BD;(2)

在ACEN中,CN+NE>CE;(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

.-.AB+AC>BD+DE+EC

（法二：圖1-2）

延長BD交AC于F挺長CE交BF于G，在SBF和^GFC

和AGDE中有:

AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）...（1）

GF+FC>GE+CE(同上)(2)

DG+GE>DE(同上)(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

圖2-1

.".AB+AC>BD+DE+EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出來時，可連接兩

點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三

角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1:已知D為"ABC內(nèi)的任一點,求證：NBDC>NBAC。

函：因為NBDC與NBAC不在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)

造新的三角形，使NBDC處于在外角的位置，/BAC處于在內(nèi)角的位置；

證法一：延長BD交AC于點E,這時NBDC是AEDC的外角，

.,.zBDC>zDEC,同理NDEC>NBAC,，NBDC>NBAC

證法二：連接AD,并廷長交BC于F,這時NBDF是3BD的

外角NBDF>NBAD,同理，zCDF>zCAD,.,.zBDF+

zCDF>zBAD+zCAD,即：zBDC>zBAC0

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上,

小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：

例如:如圖3-1:已知AD為AABC的中線,且N1=N2/3=

N4,求證:BE+CF>EF.

函:要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，

須把BE,CF,EF移到同一個三角形中，而由已知N1=N2,

z3=z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等

對應(yīng)邊相等，把EN,FN,EF移至!J同個三角形中。

證明：在DN上酶DN=DB,連接NE,NF,貝［JDN=DC,

在ADBE和ANDE中:

DN=DB（輔助線作法）

zl=z2（已知）

ED=ED（公共邊）

."DBE%NDE（SAS）

-BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在AEFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.'.BE+CF>EF0

注意：當(dāng)證題有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,

然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。

四、截長補短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1:在SBC中，AB>AC,zl=z2,P為AD上任一點

求證：AB-AC>PB-PC。

函：要證：AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系,定理證之,因為欲證的線段

之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等

于AC,得AB-AC=BN,再連接PN,則PC=PN,又在WNB中，PB-PN<BN,

即：AB-AC>PB-PCO

證明：（截長法）

在AB上截取AN=AC連接PN,在SPN和SPC中

1N=AC（輔助線作法）

N1=N2（已知）

AP=AP（公共邊）

.“APN率APC（SAS）,/.PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）

?.?在ABPN中，有PB-PN<BN（三角形兩邊之差小于第三邊）

.'.BP-PC<AB-AC

證明：（補短法）

延長AC至M,使AM=AB,連接PM,

在AABP和AAMP中

AB=AM（輔助線作法）

zl=z2（已知）

AP=AP（公共邊）

..△ABP2AMp（SAS）

-PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）

又,.在△PCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

.?.AB-AC>PB-PC0

例1.如圖，AC平分工