高考2023人教A版高中數(shù)學變式題3

3.2雙曲線

第三章圓錐曲線的方程

3.2雙曲線

3.2.1雙曲線及其標準方程

例1已知雙曲線的兩個焦點分別為a(一5,0),尸2(5,0)，雙曲線上一點P與尸2的距

離差的絕對值等于6,求雙曲線的標準方程.

解：因為雙曲線的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為

-r一—1((2>0,b>0).

a2bzv/

由2c=10,2a=6,得c=5,又a=3,因此〃=52—32=16.

所以，雙曲線的標準方程為

X2V2

=1

916

例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,

求炮彈爆炸點的軌跡方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡的形狀.由聲速及A,B兩處聽到炮彈爆炸聲的時間差，可

知A,B兩處與爆炸點的距離的差為定值，所以爆炸點在以A,B為焦點的雙曲線上.因

為爆炸點離A處比離B處遠，所以爆炸點應在靠近B處的雙曲線的一支上.

解：如圖325,建立平面直角坐標系Oxy,使A,B兩點在x軸上，并且原點O與線

段4B的中點重合.

設炮彈爆炸點P的坐標為(x,y),則

\PA\-\PB\=340x2=680,

即2a=680,a=340.

又|4B|=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44400.

因為|P川一|PB|=680>0,所以點P的軌跡是雙曲線的右支，因此x》340.

所以，炮彈爆炸點的軌跡方程為

2

y=l(x>340).

11560044400

圖3.2-5

練習

1.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：

(1)焦點在x軸上，a=4,6=3；

(2)焦點在x軸上，經(jīng)過點(―/,—k)，(苧，V2)

(3)焦點為(0,-6),(0,6),且經(jīng)過點(2,—5).

【答案】(1)日一1;(2)/一g=1；(3)日一亡=1

16932016

【分析】(1)根據(jù)條件，代入方程，即可得答案；

(2)根據(jù)焦點在x軸上，設雙曲線方程為1-1=1,將點坐標代入，聯(lián)立求解，即可

a2b2

得/,匕2,即可得答案；

(3)根據(jù)焦點坐標，可得。值及焦點在)，軸，根據(jù)雙曲線定義，可得。值，根據(jù)a,b,

c的關(guān)系，可得即可得答案.

【詳解】(1)因為焦點在x軸上，設雙曲線方程為1一3=1,

Q2b2

因為a=4,b=3,所以雙曲線方程為會?=1；

(2)因為焦點在x軸上，設雙曲線方程為馬一1=1,

a2b2

3

--

爐

因為經(jīng)過點(一隹一百)，(半，V2),代入可得112-

-

,3a2b2

11(2m—3n=1

令我=科京=n,可得［等_2n=l，

解得｛：彳，所以像二，

所以雙曲線方程為：無2一號=1；

(3)因為焦點為(0,-6),(0,6),所以c=6,且交點在y軸，

因為過點且經(jīng)過點(2,-5),

根據(jù)雙曲線定義可得卜(2—0)2+(—5+6尸一J(2—0尸+(一5二6下|=2a(a>0),

解得Q=2>/5,

又Z?2=c2—a2=36-20=16,

所以雙曲線方程為：(一盤=1;

2。16

2.求證：雙曲線/一15必=15與橢圓?+?=1的焦點相同.

【答案】證明見解析

試卷第2頁，共17頁

【分析】先將雙曲線的方程化為標準方程，求出雙曲線和橢圓的焦點，即可判斷.

【詳解】證明：雙曲線X2-15^=15即為：

-——y2=i/=/+62=15+1=16,c=4,

15J

焦點為（±4,0）,

橢圓土+匕=1的a'=5,b'=3,cr=4,

259

焦點為（±4,0）,

即有雙曲線15）?=15與橢圓2+?=1的焦點相同.

3.已知方程土=1表示雙曲線，求機的取值范圍.

2+mm+1

【答案】（―8,—2）U（—1,+8）

【分析】根據(jù)方程表示雙曲線即可得到（2+m）（m+l）>0,解得即可；

【詳解】解：因為方程三-二=1表示雙曲線，所以（2+巾）（巾+1）>0,解得機>一1

2+mm+1

或m<—2,即mG（-00,-2）U（―1,4-oo）

4.雙曲線提一'=l（a>0）的兩個焦點分別是Fi與尸2,焦距為8；M是雙曲線上的一點，

且也&|=5,求IMF2］的值.

【答案】9

【分析】根據(jù)焦距，可得c值，根據(jù)a,b,c的關(guān)系，可得。值，根據(jù)雙曲線定義，分

類討論，即可求得答案.

【詳解】由題意得，焦距2c=8,可得c=4,

在雙曲線中c2=a2+b2,

22

所以a2=c-b=16-12=4,解得a=2,

根據(jù)雙曲線定義可得||M&|-IMF2II=2a=4,

所以|5-|MF2||=4,解得IMF2I=1或IMF21=9,

當|MFzl=l時，IMF/+IMF21=6<8不滿足題意，故舍去，

當|MFzl=9時，IMF/+|M6I=14>8,滿足題意，

所以IMF2I=9

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

例3求雙曲線9y2-16M=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線

方程.

把雙曲線的方程9y2-16/=144化為標準方程

由此可知，實半軸長a=4,虛半軸長b=3；由c=迎2+爐=742+32=5,焦點坐

標是(0,-5),(0,5)；離心率e=￡=*漸近線方程為y=±gx.

練習

5.求下列雙曲線的實軸和虛軸的長、頂點和焦點的坐標以及離心率：

(1)x2-8y2=32；

(2)9x2-y2=81；

(3)x2-y2=-4；

(4)—=-1.

4925

【答案】答案見解析

【分析】先求出雙曲線的標準方程，然后求出a,b,c的值，由此利用雙曲線性質(zhì)能求

出雙曲線的實軸、虛軸的長，頂點、焦點的坐標和離心率.

【詳解】解：(1)；/-8y2=32,-，=1,

324

.".a=V32=45/2,b=V4=2,c=V32+4=6,

二雙曲線的實軸加=8位、虛軸的長2b=4,

頂點A/(-4V2,0),A2(4V2,0)、

焦點的坐標B(-6,0),F2(6,0),

離心率e=；=矗=乎-

(2)V9^-/=81,1,

a=V9=3,b=V81=9,c=>/9+81=3-/10,

二雙曲線的實軸2〃=6、虛軸的長26=18,

頂點4(-3,0),A2(3,0),

焦點的坐標B(-3V10,0),F2(3V10,0),

離心率e=-a=V10.

(3)Vx2-/=-4,

44

a=V?=2,b—V4=2,c=74+4=2y/2,

二雙曲線的實軸2a=4、虛軸的長23=4,

頂點A/(0,-2),A2(0,2),

焦點的坐標B(0,-2>/2),F2(0,2V2),

離心率e=-=A/2.

a

試卷第4頁，共17頁

Aa=V25=5,b=V49=7,c=<25+49=V74,

二雙曲線的實軸2a=10、虛軸的長26=14,

頂點A/(0,-5),A2(0,5)、

焦點的坐標B(0,-V74),Fi(0,V74),

離心率e=￡=—.

a5

6.求符合下列條件的雙曲線的標準方程：

(1)頂點在x軸上，兩頂點間的距離是8,e=J；

(2)焦點在y軸上，焦距是16,e=*

【答案】(1)《一(=1;(2)(一\=1.

1693oZo

【分析】(1)利用兩頂點間的距離及離心率求得a,b,從而求得雙曲線方程；(2)利用

焦距和離心率求得a,b,c,從而求得雙曲線方程.

【詳解】解：(1)頂點在x軸上，兩頂點間的距離是8,e=則a=4,c=5,h=3,

4

雙曲線的標準方程為最一1=1;

169

(2)焦點在y軸上，焦距是16,e=%則c=8,a=6,b=V28=277,

22

...雙曲線的標準方程為5-3=1.

3628

7.對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的一個焦點是F[(-6,0),求雙曲線的標準方程和

漸近線方程.

【答案】言一卷=1；y=±刀

【分析】根據(jù)焦點坐標及題意，設方程為捻-2=l(a>0),根據(jù)焦點坐標，可求得a2,

即可得答案.

【詳解】因為一個焦點是F](—6,0),所以c=6,且焦點在x軸，

所以設等軸雙曲線方程為《一5=l(a>0),

所以=似+=36,解得Q2=18,

所以雙曲線標準方程為1-亞=1,

lolo

漸近線方程為y=±￡x=士x.

8.雙曲線的漸近線方程是丁=±2%,虛軸長為4,求雙曲線的標準方程.

【答案】/一3=1或=1

【分析】若雙曲線焦點在X軸，設方程為1一、=l(a>o.b>0),根據(jù)題意可得(展=2,

ab3=4

22

即可求得“出的值,即可得答案;若雙曲線焦點在)，軸,設方程京一a=l(a>0,b>0),

根據(jù)題意，可得,即可求得“，/,的值，即可得答案.

【詳解】若雙曲線焦點在x軸，設方程為《一、=l(a>0,b>0),則漸近線方程為丫=

?b

土產(chǎn)

所以｛(=j,解得

所以雙曲線標準方程為：x2-^=l；

4

若雙曲線焦點在)，軸，設方程?—《=l(a>0,b>0),則漸近線方程為丫=±￡%,

所以解得m

所以雙曲線標準方程為：1一】=1；

164

所以雙曲線標準方程為/一3=1或(一9=1

例4雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面(圖3.2-10

(1)).它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m.試建立

適當?shù)淖鴺讼担蟪龃穗p曲線的方程(精確到1m).

圖3.2-10

解：根據(jù)雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖3.2-10(2)所示的直

角坐標系0盯,使小圓的直徑4%在x軸上，圓心與原點重合.這時-，上、下口的直徑CC',

都平行于x軸，且|CC'|=13x2,|BB'|=25x2.

設雙曲線的方程為捻-、=l(a>0,b>0),點C的坐標為(13,y),則點B的坐標為

(25,y-55).

因為直徑44是實軸，所以a=12.又B,C兩點都在雙曲線上，所以

試卷第6頁，共17頁

f252(y-55)

122百

132y2

k屏=1,②

由方程②，得丫=碧（負值舍去）.代入方程①，得

卷-喀

化簡得

19b2+275b-18150=0.③

解方程③，得

b*25（負值舍去）.

因此所求雙曲線的方程為

/y2

-——=1

144625

例5動點M（x,y）與定點F（4,0）的距離和它到定直線：的距離的比是常數(shù)%求動

點M的軌跡.

解：設d是點M到直線1的距離，根據(jù)題意，動點M的軌跡就是點的集合

昨撲

將上式兩邊平方，并化簡，得

7M-9y2=63,

即

所以，點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為6、虛軸長為2近的雙曲線（圖3.2-11）.

圖3.2-11

例6如圖3.212,過雙曲線《一胃=1的右焦點尸2,傾斜角為30。的直線交雙曲線于A,

36

B兩點，求|AB|.

y1

圖3.2-12

解：由雙曲線的標準方程可知，雙曲線的焦點分別為Fi(-3,0),F2(3,0).

因為直線4B的傾斜角是30。，且經(jīng)過右焦點尸2,所以直線4B的方程為

y=Y(x-3).①

5x2+6%—27=0.

解方程，得

Q9

x1=-3,%2=g.

將與，的值分別代入①，得

為=-2V3,=一言

于是，A,B兩點的坐標分別為(―3,-2b)，(\,一等).

所以

22

\AB\=V(xj-%2)+(yi-y2)

_16>/3

-5

練習

9.已知A,B兩點的坐標分別是(一6,0),(6,0),直線AM,BM相交于點M,且它們的

斜率之積是|.求點M的軌跡方程，并判斷軌跡的形狀.

【答案】點M的軌跡方程為［一《=1(x0±6),軌跡為焦點在x軸上的雙曲線，不含

368

左右頂點.

【分析】設M(x,y),根據(jù)斜率之積是抑可得出方程，判定形狀.

【詳解】設M(x,y),因為A(-6,0),B(6,0),

試卷第8頁，共17頁

所以k4M?MM=￡,六=H±6)，整理得/一.=l(x蕾±6),

故點例的軌跡方程為I-4=l(x力±6),軌跡為焦點在x軸上的雙曲線，不含左右頂

368

點.

10.求下列直線和雙曲線的交點坐標：

(1)2x-y-10=0,--^=1；

/205

(2)4%—3y—16=0,-——=1.

：2516

【答案】⑴(6,2),管,一§；(2)停,3)

【分析】將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y,解方程，解出交點坐標.

(2x—y—10=0

【詳解】⑴由/y2消去y,得：3——32%+84=0,解得：％=6或g

I-------=13

I205

由x=6解得，y=2；由％=￡解得，>=一泉

所以交點坐標為：(6,2),(葭,—|)；

<4%—3y—16=0

22

(2)由|x_]消去y,得：16%—200%4-625=0,解得：xr=x2=

I2516—

求得，=乃=3；

所以交點坐標為傳,3).

11.直線y=|x與雙曲線?一9=l(a>0)相交于A,8兩點，且A,B兩點的橫坐標

之積為—9,求離心率e.

【答案】e=亨.

y=-x

【分析】聯(lián)立x2y2，設4(xi，%)，B(x2,y2),由/=-9得a?=6.進而可得

。281

離心率.

2

y=-x

【詳解】聯(lián)立，//_],得6?一卷)/一1=0,設4(Xi，yJ,B(x2,y2),

。28

則％1,%2=]>黑=一9,解得。2=6.

滔一正

所以,離心率e=：==乒=卜”

習題3.2

復習鞏固

12.雙曲線4/-y2+64=0上的一點P到一個焦點的距離等于1,那么點P到另一個焦

點的距離為.

【答案】17.

里士=M|

【詳解】試題分析：首先將已知的雙曲線方程轉(zhuǎn)化為標準方程權(quán)Ia一;然后根據(jù)

雙曲線的定義知雙曲線上的點P到兩個焦點的距離之差的絕對值為16,即可求出點p到

另一個焦點的距離為17.

考點：雙曲線的定義.

13.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.

(1)焦點在％軸上，a=2V5,經(jīng)過點4(—5,2)；

(2)經(jīng)過4(-7,-6例、8(2夕,3)兩點.

【答案】(1)立一藝=1;(2)1.

20162575

【分析】(1)可設雙曲線的方程為1,將點A的坐標代入雙曲線的方程，求得從

20y

的值，即可得出雙曲線的標準方程；

(2)設雙曲線的方程為7n/+ny2=i,將點斗、B的坐標代入雙曲線方程，求出m、n

的值，即可求得雙曲線的標準方程.

【詳解】(1)因為a=2V5,且雙曲線的焦點在工軸上，可設雙曲線的標準方程為最-g=

20b"

1,

將點4的坐標代入雙曲線的方程得祟一卷=1,解得爐=16,

因此，雙曲線的標準方程為署-\=1；

(2)設雙曲線的方程為7n/+町^=i,

m=—

將點4、B的坐標代入雙曲線方程可得｛能;*二;,解得25

n=——

75

因此，雙曲線的標準方程為1-〈=1.

2575

14.已知下列雙曲線的方程，求它的焦點坐標、離心率和漸近線方程：

(1)16x2—9y2=144；

(2)16/-9y2=-144.

【答案】⑴焦點(一5,0),(5,0),離心率e=g,漸近線y=±如⑵焦點(0,-5),(0,5),

離心率e=￡漸近線y=±*

試卷第10頁，共17頁

【分析】(1)化為標準方程可得蕓-3=1,即可得4,從根據(jù)。，b,C的關(guān)系，可求

得C值，即可得焦點坐標，代入漸近線、離心率公式，即可得答案

(2)化為標準方程可得'一q=1,即可得a,b,根據(jù)“，b,c的關(guān)系，可求得c值，

即可得焦點坐標，代入漸近線、離心率公式，即可得答案

【詳解】⑴將16x2-9y2=144化為標準方程可得9一總=1,

由方程可得a?=9,爐=16,解得a=3,b=4,

所以漸近線方程為y=±gx,

又c2=a2+b2=9+16=25,解得c=5,即焦點坐標為(-5,0),(5,0),

離心率e=-=-；

a3

(2)將16/-9y=_144化為標準方程可得卷一9=1,

由方程可得M=16/2=9,解得a=4,6=3,

所以漸近線方程為y=±[x,

又c2=a2+f)2=i6+9=25,解得c=5,即焦點坐標為(0,-5),(0,5),

離心率e=-=|；

a4

15.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.

(1)焦點在x軸上，實軸長10,虛軸長8.

(2)焦點在y軸上，焦距是10,虛軸長8.

(3)離心率e=VL經(jīng)過點M(—5,3).

【答案】(1)亡一尤=1；(2)^--=1；(3)x2-y2=16.

2516916

【分析】(1)根據(jù)題意，得到a,b的值，結(jié)合雙曲線焦點所在軸，求得雙曲線的標準方

程；

(2)根據(jù)題意，得到c,b的值，利用雙曲線中a,b,c的關(guān)系，求得a的值，根據(jù)雙曲線焦

點所在軸，求得雙曲線的標準方程；

(3)根據(jù)題意，得到雙曲線為等軸雙曲線，設出方程，利用點在曲線上，點的坐標滿

足曲線的方程，求得結(jié)果.

【詳解】(1)根據(jù)題意，所求雙曲線的實軸長10,虛軸長8,

可得2Q=10,2b=8,則有a=5,b=4,

又因為雙曲線的焦點在x軸上，

所以雙曲線的標準方程為：^-g=1;

2516

(2)根據(jù)題意，雙曲線的焦距是10,虛軸長為8,

可得2c=10,2b=8,則c=5,b=4,所以a=Vc2—b2=3,

又因為雙曲線的焦點在y軸上，

所以雙曲線的標準方程為：

916

(3)根據(jù)題意，雙曲線的離心率6=魚，即￡=夜，則有c=V^a,

a

所以b=Vc2—a2=V2a2—a2=a,

所以該雙曲線為等軸雙曲線，設其方程為"一y2=t,

又因為雙曲線經(jīng)過點M(—5,3),則有25-9=3則t=16,

所以雙曲線的標準方程為：x2-y2=16.

【點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的問題，涉及到的知識點有雙曲線的標準方程的求法，

屬于基礎題目.

16.如圖，圓。的半徑為定長r,A是圓O外一個定點，P是圓O上任意一點.線段AP

的垂直平分線/與直線OP相交于點0，當點P在圓。上運動時，點。的軌跡是什么？

為什么？

【答案】點Q的軌跡是以。，A為焦點，/?為實軸的雙曲線，證明見解析.

【分析】連接QA,由題意可得|Q*=|QP|，所以||QA|-\QO\\=||QP|-|QO||=\OP\=

r,根據(jù)雙曲線的定義，即可得答案.

【詳解】連接QA,如圖所示：

因為/為用的垂直平分線,

所以IQ川=\QP\,

試卷第12頁，共17頁

所以||Q4|TQO||=||QP|-IQO||=\OP\=r為定值,

又因為點A在圓外,所以|0川>|OP|,

根據(jù)雙曲線定義，點。的軌跡是以O,4為焦點，廠為實軸的雙曲線.

17.求經(jīng)過點4(3,-1),并且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的標準方程.

【答案】［一］=1.

OO

【分析】根據(jù)等軸雙曲線可設為/-y2=A(A*0),點4(3,-1)代入直接求解即可.

【詳解】設所求的等軸雙曲線的方程為：x2-y2=AU^0),

將4(3,-1)代入得:32-(-1)2=A,即2=8,

所以等軸雙曲線的標準方程：［一<=1

88

綜合運用

18.m,”為何值時，方程式+e=1表示下列曲線：

mn

(1)圓；

(2)橢圓；

(3)雙曲線?

【答案】(1)m=n>0；(2)m>0,n>0,且m力？i；(3)mn<0

【分析】(1)若方程立+^=1表示圓，則巾=n>0,即可得答案.

mn

(2)若方程立+乃=1表示橢圓，則m>0,n>0,且m力n,即可得答案；

mn

(3)若方程立+爪=1表示雙曲線，則nm<0,即可得答案.

mn

【詳解】(1)若方程式+乃=1表示圓，則m=71>0,所以當m=n>0時，方程為圓;

mn

(2)若方程上+匕=1表示橢圓，則/n>0,n>0,且7nH九，

mn

所以當m>0,n>0,且7nHn時，方程為橢圓；

(3)若方程式+藝=1表示雙曲線，則znn<0,所以當7nn<0時，方程為雙曲線.

mn

19.求與橢圓盤+4=1有公共焦點，且離心率e=J的雙曲線的方程.

49244

【答案】卷一9=1

【解析】根據(jù)題意雙曲線方程可設為真-'=l(a>0,b>0),可得關(guān)于“,〃的方程組,

進而求出a,b的數(shù)值即可求出雙曲線的方程.

【詳解】依題意，雙曲線的焦點坐標是a(一5,0),尸2(5,0)，

故雙曲線方程可設為馬一言一l(a>0,b>0),

azb2

又雙曲線的離心率e=J,

4

(a2+爐=25

???

5=5

1a4

解之得Q=4,6=3

故雙曲線的方程為(一3=1.

【點睛】思路點睛：該題考查圓錐曲線的綜合，解題方法如下：

(1)根據(jù)橢圓方程，求得橢圓的焦點；

(2)設出雙曲線的方程，根據(jù)雙曲線的離心率，以及橢圓中a,b,c的關(guān)系，列出方程組，

求出a,。的值；

(3)最后寫出雙曲線的方程.

20.相距1400m的A,B兩個哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間相差3s,已知聲速是340m/s,

問炮彈爆炸點在怎樣的曲線上，并求出曲線的方程.

22

【答案】炮彈爆炸點在雙曲線上，方程為就6-最^=L

【分析】在適當位置建系，根據(jù)題意，可得11AMi-|MB||=340x3=1020<1400,

根據(jù)雙曲線定義，可得a,c,進而可得江即可得點M的方程.

【詳解】以AB所在直線為x軸，AB垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，

則4(-700,0),8(700,0),設爆炸點為M(x,y),

則||M4|-\MB\\=340X3=1020<1400,

根據(jù)雙曲線的定義可得，M在雙曲線上，且行=叱3

12c=1400

所以a=510,c=700,

2222

所以=c-a=700-510=229900,

所以點M的軌跡方程為：

260100229900

21.設動點M與定點F(c,0)(c>0)的距離和M到定直線?的距離的比是￡(a<c),

求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀.

【答案】動點〃的軌跡方程為捺+5=l(a>b>0),為焦點在x軸，長軸為2a,短

軸為功的橢圓.

【分析】設動點設d為點M到直線/的距離，根據(jù)題意可得隼%化

簡整理，令Q2-。2=爐，即可得動點M的軌跡方程，即可得答案.

【詳解】設動點M(x,y),設d為點M到直線/的距離，

試卷第14頁，共17頁

由題意得竽=二即啤蕓罕=￡,

左右同時平方，化簡可得(x-c)2+y2=X亍-x)=a2+^--2cx，

所以(蘇—c2)x2+a2y2=a2(a2—c2),

令/-c2=b2,

所以/)2%2+Q2y2=Q2b2,即a+￡=l(a>6>0),

22

所以動點M的軌跡方程為京+左=l(a>b>0),為焦點在x軸，長軸為2a,短軸為

2b的橢圓.

22.M是一個動點，MA與直線y=x垂直，垂足4位于第一象限，MB與直線y=-x垂

直，垂足8位于第四象限.若四邊形OAMB(。為原點)的面積為3,求動點M的軌跡

方程.

【答案】x2-y2=6(x>0).

【分析】首先利用點到直線的距離求阿川，\MB\,利用面積為3,列式求軌跡方程.

【詳解】設M(x,y),根據(jù)題意可知點M在y=x和y=—x相交的右側(cè)區(qū)域，

所以點M到直線y=x的距離刈=臂=黃，到直線y=-X的距離d2=甯=貴，

23.設橢圓盤+'=l(a>b>0)與雙曲線捻一,=1的離心率分別為e「e2,雙曲線

的漸近線的斜率小于等，求ei和e2的取值范圍.

【答案】e1C停,1),e2￡(1，亭)

【分析】根據(jù)題意，可得2范圍，進而可得號的范圍，根據(jù)橢圓、雙曲線離心率的公式，

aaz

化簡整理，即可得答案.

【詳解】設橢圓和雙曲線的焦半徑分別為q,C2，由題意得雙曲線的漸近線方程為y=

±-ax,

所以0＜5〈等，貝1」0＜真＜:,

所以％=段=岸=月6(今1)，

拓廣探索

24.已知雙曲線/一號=1,過點P(l,l)的直線/與雙曲線相交于A,B兩點,P能否是

線段AB的中點？為什么？

【答案】不能，證明見解析.

【分析】當直線/垂直x軸時，可得直線/方程，經(jīng)檢驗不符合題意；當直線/不垂直x

軸時，設4。1，%),8。2，丫2)，利用點差法，假設點P(L1)為線段A8的中點，可得直線

/的斜率，進而可得直線/的方程，與雙曲線聯(lián)立，判別式4＜0,方程無解，/不存在，

綜合即可得答案.

【詳解】當直線/垂直無軸時，因為過點所以直線/方程為41,

又雙曲線/一?=1,右頂點為(1,0)在直線/上

所以直線/與雙曲線只有一個交點，不滿足題意；

當直線/不垂直X軸時，斜率存在，設4(修